2020年新高考数学自学检测黄金卷01（解析版）

2020年新高考数学自学检测黄金（01）卷(含答案)

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合, 那么集合

为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】解方程组得

,故选D

2．某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 815 人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ）

A．不全相等 B．均不相等

C．都相等，且为 D．都相等，且为

【答案】C

【解析】抽样要保证机会均等，故从名学生中抽取名，概率为，故选C.

3．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给丁看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给甲看丁的成绩．看后丁对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（　　）

A．甲、乙可以知道对方的成绩 B．甲、乙可以知道自己的成绩

C．乙可以知道四人的成绩 D．甲可以知道四人的成绩

【答案】B

【解析】由丁不知道自己的成绩可知：乙和丙只能一个是优秀，一个是良好；

当乙知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是乙不知道甲和丁的成绩；

由于丁和甲也是一个优秀，一个良好，

所以甲知道丁的成绩后，能够知道自己的成绩，但是甲不知道乙和丙的成绩．

综上所述，甲，乙可以知道自己的成绩．

故选B．

4．已知,设函数()的最大值为M , 最小值为N ,那么=( )

A．2025 B．2022 C．2020 D．2019

【答案】B

【解析】由题可知，

，

在为增函数，

故选：B

5．已知向量=(2，3)，=(−1，2)，若(m＋n)∥(−2)，则等于

A．−2 B．2

C．− D．

【答案】C

【解析】由题意得m＋n=(2m−n，3m＋2n)，−2=(4，−1)，∵(m＋n)∥(−2)，∴−(2m−n)−4(3m＋2n)=0，∴ ，故选C．

6．如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中为参数，），能形成这种效果的只可能是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由图形分析知转化为：原点到各圆周切线的距离为定值．

对A：，此时不是固定值，故舍去；

对B：，此时不是固定值，故舍去；

对C：，正确；

对D：，此时不是固定值，故舍去；

故选：C.

7．已知复数，且，则的最大值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵复数，且，

∴，

∴．

设圆的切线，则，

化为，解得．

∴的最大值为．

故选：C．

8．椭圆的左右焦点分别是、，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线恰好与圆相切于点P，则椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由恰好与圆相切于点P，可知，且 ，

又，可知，

在中，，

即

所以，

解得，

故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9．某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：，）（ ）

A．6 B．9 C．8 D．7

【答案】BC

【解析】设经过次过滤，产品达到市场要求，则 ，即，由 ，即 ，得 ，

故选:BC．

10．设离散型随机变量的分布列为

若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（）

A． B．，

C．， D．，

【答案】ACD

【解析】因为，所以，故A正确；

又，

，故C正确；因为，所以，，故D正确.

故选：ACD.

11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（　　）

A． B．平面

C．三棱锥的体积为定值 D．的面积与的面积相等

【答案】AD

【解析】A.因为，而，所以，即，若，则平面，即可得，由图像分析显然不成立，故A不正确；

B.因为平面，平面，所以平面，故B正确；

C.，所以体积是定值，故C正确；

D.设的中点是，点到直线的距离是，而点到直线的距离是，所以，，所以的面积与的面积不相等，D不正确.

故选AD.

12．定义域和值域均为[-a，a]的函数y=和y=g（x）的图象如图所示，其中a＞c＞b＞0，给出下列四个结论正确结论的是（　　 ）

A．方程f[g（x）]=0有且仅有三个解 B．方程g[f（x）]=0有且仅有三个解

C．方程f[f（x）]=0有且仅有九个解 D．方程g[g（x）]=0有且仅有一个解

【答案】AD

【解析】由图象可知对于函数，当时，方程有一解，当时，方程有两解，当时方程由三解，当时，方程有两解，当时，方程有一解，对于函数，由图象可知，函数为单调递减函数，当，方程有唯一解。

对于A中，设，则由，即，此时方程有三个的值，即有三个不同的值，又由函数为单调递减函数，所以方程有三个不同的解，所以是正确的；

对于B中，设，则由，即，此时只有唯一的解，即方程，此时可能有一解、两解或三解，所以不正确；

对于C中，设，则由，即，此时或或，

则方程可能有5个解或7个解，或9个解，所以不正确；

对于D中，设，则由，即，此时，对于方程，只有唯一的解，所以是正确的。

故选：AD。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．在的展开式中，项的系数为________（结果用数值表示）

【答案】

【解析】，

仅在第一部分中出现项的系数．

再由，令，可得，

项的系数为．

故答案为45．

14．设Sn为数列{an}的前n项和，已知，，则an=______，S100=______．

【答案】

【解析】由，，

可得=2，=2n，

∴=2，

，

…

，

以上n-1个式子相加可得，=2+22+…+2n-1==2n-2，

∴=2n，∴an=；

Sn=，

∴=，

两式相减可得，=

==，

∴，

∴．

故答案为：；．

15．为贯彻教育部关于全面推进素质教育的精神，某学校推行体育选修课.甲、乙、丙、丁四个人分别从太极拳、足球、击剑、游泳四门课程中选择一门课程作为选修课，他们分别有以下要求:

甲：我不选太极拳和足球； 乙：我不选太极拳和游泳；

丙：我的要求和乙一样； 丁：如果乙不选足球，我就不选太极拳.

已知每门课程都有人选择，且都满足四个人的要求，那么选击剑的是___________.

【答案】丙

【解析】在如下图中，用√表示该门课程被选择，用×表示该门课程未选，且每行每列只有一个勾，

从上述四个人的要求中知，太极拳甲、乙、丙都不选择，则丁选择太极拳，

丁所说的命题正确，其逆否命题为“我选太极拳，那么乙选足球”为真，则选足球的是乙，

由于乙、丙、丁都为选择游泳，那么甲选择游泳，最后只有丙选择击剑。故答案为：丙。

16．已知为常数，函数的最小值为，则的所有值为____．

【答案】

【解析】由题意得函数为奇函数.

∵函数

∴

令，得，则.

∵函数 的最小值为

∴

∴0' altImg='8baaf0ef5eac596ebf01a45909545fc1.png' w='75' h='21' class='_4'>，得.

①当时，函数的定义域为，由0' altImg='8baaf0ef5eac596ebf01a45909545fc1.png' w='75' h='21' class='_4'>得或，由得，函数在，上为增函数，在上为减函数.

∵，，

∴，则

②当时，函数的定义域为，由0' altImg='8baaf0ef5eac596ebf01a45909545fc1.png' w='75' h='21' class='_4'>得，得或，函数在上为增函数，在，为减函数.

∵，

∴，则.

综上所述，或.

故答案为，.

4、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）在数列中，，（，是常数）.

（1）当，时，求数列的通项公式；

（2）当，时，设，求证数列是等比数列；

（3）在（2）的条件下，记，，求证：.

【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】（1）由题意，当，时，，即.

又由，所以数列是以3为首项，1为公差的等差数列，

所以数列的通项公式为.

（2）当，时，可得，

因为，所以，

又由，所以，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.

（3）由（2）知，所以，所以，

所以.

18．（本小题满分12分）已知函数，.

（1）若，且，，求的值；

（2）在中，角的对边分别为，满足，,求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）

∵,∴.∵,∴.

∵,∴.∴.

∵,∴.

∴

（2）∵,∴.

∵,∴,∴,即.

∵,

∴∵，当且仅当时取“”.

∴

∴，即，当且仅当时取“”.

又∵，

∴的取值范围是.

19．（本小题满分12分）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数（万人）与年份的数据：

该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型：

模型①：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程；

模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．

（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．（精确到个位，精确到0．01）．

（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．

参考公式、参考数据及说明：

①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．②刻画回归效果的相关指数；③参考数据：，．

表中．

【答案】（1）；（2）回归模型②的拟合效果更好，987

【解析】（1）对取对数，得，设，，先建立关于的线性回归方程.

， ，

，模型②的回归方程为.

（2）由表格中的数据，有30407>14607，即，

即，，模型①的相关指数小于模型②的，

说明回归模型②的拟合效果更好.

2021年时，，

预测旅游人数为（万人）.

20．（本小题满分12分）如图，已知斜三棱柱中，，在底面上的射影恰为的中点，且.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）在线段上是否存在点，使得二面角的平面角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析（2）（3）不存在点满足要求.见解析

【解析】证明：（1）作交于点，分别以所在直线为 轴建系

所以，

，所以

（2）因为，所以面的一个法向量为

因为，所以，

设线与平面所成角为，

（3）不存在，设，（）

,

设面的一个法向量为

有

，得

所以不存在点满足要求.

21．（本小题满分12分）已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若，不等式对恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）.

【解析】（1）.

当时，令，得；令，得.

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

当时令，得；令，得.

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）因为，所以对恒成立等价于对恒成立.设，，

令，得；令0' altImg='8d724b1e0c43a6baab164310363afc4d.png' w='76' h='21' class='_6'>，得.

所以，所以.取，

则，即，

所以.

设，因为，，

所以方程必有解，

所以当且仅当时，函数得最小值，且最小值为2，所以，即m的取值范围为，

22．（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点是抛物线的焦点，直线与相交于不同的两点．

（1）求的方程；

（2）若直线经过点，求的面积的最小值(为坐标原点)；

（3）已知点，直线经过点，为线段的中点，求证：．

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】（1）∵椭圆的右焦点为，∴， ∴的方程为．

（2）（解法1）显然直线的斜率不为零，设直线的方程为，

由，得，则，

∴当，即直线垂直轴时，的面积取到最小值，最小值为．

（解法2）若直线的斜率不存在，由，得，

的面积，

若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，

由，得，，且，

，

即的面积的最小值为．

（3）（解法1）∵直线的斜率不可能为零，设直线方程为，

由得，∴，

，

∴

，即，

在中，为斜边的中点，所以．

（解法2）（前同解法1）

线段的中点的坐标为，

所以．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/4afd34061b37f111f18583d049649b6649d70901.html