初高中衔接教材（自己修订版）

第一节 数与式的运算

1.1.1． 绝对值及零点分段法

一、知识点

1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．

3.两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．

二、例题

例1：在下列条件下去掉绝对值

（1）； (2)； (3)

例2：解绝对值不等式

（1）； （2）； （3）； （4）；

（5）； （6）；

练习：①； ②； ③； ④；

⑤； ⑥

例3：解不等式

（1）； （2）

例4：（1）求函数的最小值

（2）求函数的最大值

例5：作出下列函数图像

（1）； （2）； （3）；

（4）； （5）； （6）

例6：（1）方程有4个解，求的取值范围；

（2）不等式的解为一切实数，求的范围。

练习：不等式组 无解，求a的范围。

1.1.2. 乘法公式

一、知识点

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 ；

（2）完全平方公式 ．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 ；

（2）立方差公式 ；

（3）三数和平方公式 ；

（4）两数和立方公式 ；

（5）两数差立方公式 ．

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．

二、例题

例1 计算：．

例2 已知，，求的值．

练习

1．填空：

（1）（ ）；

（2） ；

（3） ．

2．选择题：

（1）若是一个完全平方式，则等于 （ ）

（A） （B） （C） （D）

（2）不论，为何实数，的值 （ ）

（A）总是正数 （B）总是负数

（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数

例3 （1）已知，求与的值；

（2）已知：，求与的值；

（3）已知：，求与的值；

（4）已知：，求值：①；②；③；

练习：

1．已知：，求的值；

2．已知：，求的值；

3．若，求的值；

4．设，求的值；

5．计算：（1）=________________；

（2）____________________________；

(3) ________________________；

(4) =__________________________；

(5) _________________________________；

(6) ________________________________；

6．已知：，求的值。

7．若，求的值；

8．已知：、、是正实数，且，求的值；

1.1.3．二次根式

一、知识点

一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如，等是无理式，而，，等是有理式．

1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等． 一般地，与，与，与互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

2．二次根式的意义

二、例题

例1 将下列式子化为最简二次根式：

（1）； （2）； （3）．

例2　计算：．

例3 试比较下列各组数的大小：

（1）和； （2）和.

例4　化简：．

例 5 化简：（1）； （2）

例 6 已知，求的值 ．

练习：

1．填空：

（1）＝__ ___；

（2）若，则的取值范围是_ _ ___；

（3）__ ___；

（4）若，则______ __．

2．选择题：

等式成立的条件是 （　　 ）

（A）　 （B）　　 （C）　　 （D）

1.1.4．分式

1．分式的意义

形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：

； ．

上述性质被称为分式的基本性质．

2．繁分式

像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

例1 若，求常数的值．

例2　（1）试证：（其中n是正整数）；

（2）计算：；

（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有．

拓展练习:

1． 解不等式

2． 设，求代数式的值．

3． 当，求的值．

4． 设，求的值．

5．化简或计算：

(1)

(2)

6．（1）已知，

求的值．

（2）若，

求

8.若，则( )　

（A） （B）　 （C）　 （D）

9.计算等于 （　 ）　　　　　　　　　　　

（A）　 （B）　 （C）　 （D）

10．解方程．

11．计算：．

12．试证：对任意的正整数n，有＜．

第二节 分解因式

1．公式法

常用的乘法公式：

[1]平方差公式： ；

[2]完全平方和公式： ；

[3]完全平方差公式： ．

[4]

[5] (立方和公式)

[6] (立方差公式)

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解．

2．分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．

常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式

3．十字相乘法

（1）型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．

∵，

∴

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．

（2）一般二次三项式型的因式分解

由我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．

4．其它因式分解的方法

其他常用的因式分解的方法：（1）配方法 （2）拆、添项法

例1 （公式法）分解因式：(1)； (2)

例2 （分组分解法）分解因式：（1）

（2）

例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：

(1) (2)

(3) (4)

例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) ；(2)

例5 （拆项法）分解因式

【巩固练习】

把下列各式分解因式：

(1) (2)

(3) (4)

拓展练习:

1分解因式 （1） （2）

（3） （4）

（5）

第三节 不等式解法

1．一元二次不等式解的各种情形

或（）图象解法：

注：的情形由学生行讨论

例1：解下列不等式：（1）； （2）；

（3）； （4）；

练习：（1）； （2）；

(3)； （4）；

2. 分式不等式

例2：解不等式：（1） （2）

练习：解下列不等式：

(1)； (2)； (3)； (4)；

(5)； (6) ； (7) ；

(8)； (9)

例3：（1）不等式的解为，求的值；

(2)函数的图像在轴上方，求的值；

(3)函数的自变量取值范围是全体实数R，求的

范围；

(4)不等式恒成立，求的范围；

3．解高次不等式：

例1：解下列不等式：(1)； (2)；

(3)；

例2：解下列不等式：(1)； (2) ；

(3)

4.解含参数的不等式：

(1)； (2)；

(3)； (4)；

拓展练习:

1．解下列不等式：

(1) (2)

(3) (4)

2．解下列不等式：

(1) (2) (3) (4)

3．解下列不等式：

(1) (2)

4．解关于的不等式．

5．已知关于的不等式的解是一切实数，求的取值范围．

6．若不等式的解是，求的值．

7．取何值时，代数式的值不小于0？

8.已知函数(a为常数)在－2≤x≤1上的最小值为n，试将n用a表示出来．

9.解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0（a为常数）．

10.不等式的解是求不等式的解．

第四节 一元二次方程及韦达定理

一、知识点

1.根的判别式

我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为

． ①

因为a≠0，所以，4a2＞0．于是

（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根

x1，2＝；

（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根

x1＝x2＝－；

（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．

由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有

（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根

x1，2＝；

（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根

x1＝x2＝－；

（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

注：(1)使用判别式时要保证二次项系数；

(2)一元二次方程有实数根；

(3)二次三项式为完全平方式；

(4)二次三项式恒正 或 ；

2.根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根

，，

则有

；

．

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知

x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，

即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，

所以，方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有

以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．

二、例题讲解

例1.判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数）

（1） （2）

（3） （4）x2－2x＋a＝0．

练习：1.当为何值时，直线与抛物线，

①有两个交点； ②有一个交点； ③无交点；

2. 若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，求的范围；

3.取何值时，多项式是一个完全平方式；

例2.若方程两根分别为与，求下列各式的值：

(1)； (2)； (3)； (4)；

例3. 二次函数与轴交于A、B两点，求的最小值；

练习：求二次函数与直线截得弦长的最小值；

例4：已知：实数、、满足，求的范围；

例5：设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实根、，

(1)若，求的值； (2)求的最大值；

例6：关于的一元二次方程，

(1)两根同号，求的范围； (2)两根异号，求的范围；

例7：是否存在常数，使关于的方程的两个实根、满

足，如果存在，试求出所有满足条件的值，如果不存在，请说明理由。

拓展练习:

1．若是方程的两个根，则的值为( )

A． B． C． D．

2．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )

A． B． C． D．大小关系不能确定

3．若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ）

A． m＜ B.m＞－

C．m＜，且m≠0 D .m＞－，且m≠0

4．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= ___ __ ， = _ ____ ．

5．已知实数满足，则= ___ __ ， = _____ ， = _____ ．

6．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11，求证：关于的方程有实数根．

7．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1．

(1) 求实数的取值范围；

(2) 若，求的值．

第五节 一元二次方程实根分布问题

一元二次方程实根的分布情况有很多，常见的有6种，见下表。表中的图像是的图像，是方程的根。

例1：已知二次方程有且只有一根在(0,1)内，且都不是方程的解求实数的取值范围；

例2：已知方程两根在之间，求的取值范围；

例3：已知二次方程的一根小于，另一根大于1，求的取值范围；

例4：已知：方程的两实根都大于1，求的取值范围；

练习：

1． 已知方程有且仅有一个根属于(1,2)，且都不是方程的解，求的范围；

2． 已知：方程有一个大于的负根，一个小于2的正根，求的范围；

3． 已知方程两个根都属于，求的范围；

4． 已知方程两根都大于，求的范围；

5． 已知方程一根小于1，一根大于1，求的范围；

第六节 二次函数在闭区间上的最值

知识要点：

1.次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值．

2．介绍区间；

3．值域；

例1：在以下条件下，求函数的值域：

(1)； (2)； (3)； (4)； (5)；

例2：求函数在时的最大值和最小值；

例3：求函数在上的最大值和最小值；

练习：

1． 求函数在上的最大值；

2． 求函数在上的最小值；

3． 函数的最大值是____________，最小值是________________；

4． 求二次函数在上的最值；

5． 求函数在区间上的最大值和最小值；

6． 求函数在区间上的最值；

7． 求函数的最大值或最小值；

8． 求函数的最小值；

9． 求函数的值域；

拓展练习:

1．抛物线，当= _____ 时，图象的顶点在轴上；当= _____ 时，图象的顶点在轴上；当= _____ 时，图象过原点．

2．用一长度为米的铁丝围成一个矩形，则其所围成的最大面积为 ____

3．设，当时，函数的最小值是，最大值是0，求的值．

4．已知函数在上的最大值为4，求的值．

5．求函数的最大值和最小值．

6．已知关于的函数，当取何值时，的最小值为0？

第七节 集合

7.1 集合的含义和表示

一． 什么是集合

在数学语言里，把一些对象放在一起考虑时，就说这些事物组成了一个集合（set），给这些对象的总的名称，就是这个集合的的名称，就是这个集合的名字，这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素（）.

约定：（1）集合用大写字母表示，元素用小写字母表示。如：集合A,B,M,N, 元素

（2）同一集合中的元素互不相同的也与顺序无关

二．集合与元素的关系

只有属于和不属于两种关系。

设是集合，是元素。若是的一个元素，则属于（），记作。

若不是的一个元素，则不属于，记作。

三． 常见集合

1. 全体整数组成的集合叫整数集（set of integer）,记作

2. 全体有理数组成的集合叫有理数集（set of rational number）,记作

3. 全体实数组成的集合叫实数集（set of real number）,记作

4. 全体自然数数组成的集合叫自然数数集（set of natural number）,记作,

用分别表示正实数和负实数，类似地有

有时也可临时取一个，如一副扑克牌有54张，组成一个集合，这个集合不妨叫

12种生肖属相，组成一个集合，这个集合不妨叫

四． 集合的分类

1. 有限集：元素个数有限。2 无限集：元素个数无限多个。

2. 空集（empty set）：没有元素的集合,记作，如一元二次方程的解组成的集合

五． 集合的表示方法

1. 列举法：把集合中的元素一个一个地列举出来，元素之间用逗号隔开，写在大括号内表示集合的方法叫列举法。如：小于10的正偶数组成的集合或

无穷集一般不能用列举表示.特殊的可以如自然数集

2. 描述法：把集合中元素共有的，也只有该集合才有的属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

基本格式为 代表元素；：公共属性。或

如：（1）一元二次方程的解组成的集合

（2）一元二次不等式的解组成的集合

（3）一元二次函数的图象上所有的点组成的集合

运用举例：

例1．用或填空

（1）0 ； ； ； ； ；

（2）；

0 A； 3 A； 3.5 A 10 A (1,2) A

(0,0) B; (1,1) B; 2 B

例2.用列举法表示下列集合.

(1) 不大于10的非负偶数集;

(2) 自然数中不大于10的质数集;

(3)

例3.用描述法表示下列集合

(1) 使有意义的实数的集合;

(2) 坐标平面上第一,三象限上的点;

(3) 函数的图象上所有的点的集合;

(4) 方程的解集.

例4.用列举法表示下列集合

(1); (2)

例5.设为满足下列两个条件的实数所构成的集合： 内不含1；若,则

（1） 若,则中必有其他两个数，求出这两个数。

（2） 求证：若,则;

（3） 集合中元素的个数能否只有一个？请说明理由。

练习:1为非零实数,则的所有值组成的集合为 .

2. 已知集合

(1) 若中有两个元素，求实数的取值范围；

（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围；

3.是否存在实数和，使集合与的元素完全相同。

4.由正整数组成的集合满足：（1）若则；(2)中有三个元素.试用列举法表示集合.

7.2 集合与集合的关系

一． 集合的子集和真子集

二． 子集的性质

（1） （2） （3）

（4） （5）

三．全集与补集

四． 真子集的性质

（1） （2） （3）

举例：

例1． 写出集合的所有子集

例2． 已知集合，且，求的值。

例3． 已知全集，求实数的值。

例4． 若集合，求的值。

例5． 已知集合，求

例6． 已知，求实数的范围。

练习：

1.已知集合，且,则实数的取值范围是 。

2.已知集合，集合，若,则实数 .

3.已知三元素集合，且,求与的值。

4.若不等式成立，则关于的不等式也成立，求实数的范围。

5.求集合的所有子集的元素之和。

7.3 交集，并集

1. 交集,并集

2．性质

（1）交集的性质：；

；

（2）并集的性质：

；

3．运用举例：

例1．已知集合，分别求适合下列条件的的值。

（1）；（2）

例2．已知集合，求

例3．设集合，集合，当时，求

例4．设

（1） 若，求的值。 （2）若，求的值。

例5．设集合，全集，求

例6．设集合，

，求集合A 和B

例7．向50名学生调查对A，B两事件的态度有如下结果：赞成A的人数是全体人数的，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外对A，B都不赞成的人数比对A，B都赞成的学生人数的多1人，问A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

练习：1。高一年级学生参加数学竞赛集训的有55人，参加物理竞赛集训的有52人，其中同时参加数学竞赛集训和物理竞赛集训的有30人，两个小组都不参加的有463人，求全年级的人数。

2．已知集合

且，求实数的值。

3．已知非空集合，是否存在实数，使得，若存在，求出值；若不存在，说明理由。

4.已知，且，求实数的取值范围。

7.4 集合与推理（充要条件）

1. 充要条件

如果已知命题“若则”为真，即，那么就说是的充分条件，是的必要条件。也就是说能由条件推出结论时，则其条件叫结论的充分条件，而能由结论推出条件时，则条件叫做结论的必要条件。两者能相互推出的叫做充要条件；两者之间互不能推出的则是既不充分也不必要条件。

2. 充要条件的判断。

（1） 定义法：分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论；找推式：判断“” 及“”的真假；下结论：根据推式及定义下结论。

（2） 等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断的命题。

3.用集合法判断充要条件

例1. 下列各题中，是的什么条件？

（1）或；

（2）一个四边形是矩形：四边形的对角线相等

例2．给出下列各组与：

（1） （2）

（3）内错角相等；两条直线互相平行 （4）两个角相等；两个角是对顶角

（5）且；

其中是的充分不必要条件的组的序号是 。

例3．填空：（1），则是的 条件。

（2）无实根。则是的 条件。

（3）平行四边形：正方形。则是的 条件。

（4），则是的 条件。

例4．已知是的充分条件，是的必要条件，是的充分条件，是的必要条件。试判断：

（1）是的什么条件？（2）是的什么条件？（3）其中哪几对互为充要条件？

例5已知“”是“”的必要条件，求实数的取值范围。

练习：

1．设集合，那么“”是“”的 条件

2．已知，则是的 条件。

3．集合，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 。

4．若集合，则是的 条件

5．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是

A B C D

6．对于任意实数，给出下列命题：

（1）“”是“”的充要条件；

（2）“是无理数”是“是无理数”的充要条件

（3）“”是“”的充分条件

（4）“”是“”的必要条件

其中真命题的个数是

A 1 B 2 C 3 D 4

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/4869c14ee97101f69e3143323968011ca300f727.html