1、 费马点一定不在三角形外（证明略）
2、 当有一个内角大于或等于120°时
对三角形内任一点P延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）
则△APC ≌ △AP'C'∵∠BAC ≥ 120°∴∠PAP' = 180°-∠BAP-∠C'AP' = 180°-∠BAP-∠CAP = 180°-∠BAC ≤ 60°∴等腰三角形PAP'中，AP ≥ PP'∴PA + PB + PC ≥ PP' +PB + PC' > BC' = AB + AC
∴点A即费马点
3、 当三个内角都小于120°时
在△ABC内做一点P，使得∠APC =∠BPC =∠CPA = 120°，过A、B、C分别作PA、PB、PC的垂线，交于D、E、F三点，如图，再作任一异于P的点P'，连结P'A、P'B、P'C，过P'作P'H ⊥ EF于H易证明∠D =∠E =∠F = 60°，即△DEF为正三角形，设边长为d，面积为S
则有2S = d(PA + PB + PC)∵P'H ≤ P'A所以2S△EP'F ≤ P'A ·d ①同理有2S△DP'F ≤ P'B·d ②
2S△EP'D ≤ P'C·d ③
① + ② + ③，得2(S△EP'F + S△DP'F + S△EP'D) ≤ P'A·d + P'B·d + P'C·d ∴2S ≤ d(P'A + P'B + P'C)
又∵2S = d(PA + PB + PC) ∴d(PA + PB + PC) ≤ d(P'A + P'B + P'C)即PA + PB + PC ≤ P'A + P'B + P'C当且仅当P与P'重合时，等号成立∴点P即费马点
（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。
特殊三角形中：
(2).三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(3).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点.
(4)当△ABC为等边三角形时,此时内心与费马点重合
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