河北省衡水中学2014届高三内部测试（一）数学试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项填在答题卡相应位置.

1、已知是虚数单位，和都是实数，且，则等于（ ）

A． B． C．1 D．-1

2、若函 数的 表 达 式 是

A． B． C． D．

3、已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<的最小整数n是 （ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

4、阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）

A. B. C. D.

5、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正

三角形，则这个几何体的外接球的表面积为 ( )

A． B．

C． D．

6、.设点P(x,y)满足条件，点Q（a,b）满足恒成立，其中O是原点，，则Q点的轨迹所围成图形的面积是（ ）

A. B.1 C.2 D.4

7、已知在中，的平分线AD交边BC于点D，且，则AD的长为( )

（A） （B） （C）1 （D）2

8.如图的倒三角形数阵满足：（1）第行的，个数，分别

是，，，…，；（2）从第二行起，各行中的每

一个数都等于它肩上的两数之和；（3）数阵共有行．问：

当时，第行的第个数是（ ）

A． B． C． D．

9．如果关于的一元二次方程中，、分别是两次投掷骰子所得的点数，则该二次方程有两个正根的概率（ ）

A. B. C. D.

10．设直线与球O有且只有一个公共点P，从直线出发的两个半平面截球O的两个截面圆的半径分别为1和，二面角的平面角为，则球O的表面积为( )

A. B. C. D.

11、动点为椭圆上异于椭圆顶点的一点，为椭圆的两个焦点，动圆与线段的延长线及线段相切，则圆心的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ）

A．一条直线 B．双曲线右支 C．抛物线 D．椭圆

12、定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数

的所有零点之和为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题

13.已知的展开式中，二项式系数最大的项的值等于，则实数的值为 .

14. 用表示a，b两个数中的最大数，设，那么由函数的图象、x轴、直线和直线所围成的封闭图形的面积是 .

15. 已知，M，N是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k1，k2（k1 k2≠0），若的最小值为1，则椭圆的离心率为 。

16.已知的展开式中的常数项为T，f（x）是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=有4个零点，则实数k的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17、(本小题满分12分)△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列．

（I）若sin2B= sinAsinC，试判断△ABC的形状；

（Ⅱ）若△ABC为钝角三角形，且a>c，试求的取值范围

18、(本小题满分12分)在平面内，不等式确定的平面区域为，不等式组确定的平面区域为.

（Ⅰ）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”. 在区域任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域的概率；

（Ⅱ）在区域每次任取个点，连续取次，得到个点，记这个点在区域的个数为，求的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，分别是正三棱柱的棱、的中点，且棱，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使二面角的大小为，若存在，求的长，若不存在，说明理由。

20．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．

（1）求椭圆的方程；

（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

21、(本小题满分12分)设函数

(1)当时，求函数的最大值；

(2)令，（）

其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；

(3)当，，方程有唯一实数解，求正数的值．

22、4-1（几何证明选讲）（本小题10分）

如图,内接于⊙,是⊙的直径,是过点的直线, 且.

(Ⅰ) 求证:是⊙的切线;

(Ⅱ)如果弦交于点, , , , 求.

23.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中, 过点作倾斜角为的直线与曲线相交于不同的两点.

(Ⅰ) 写出直线的参数方程;

(Ⅱ) 求的取值范围.

24.选修4-5：不等式选讲

设不等式的解集为, 且.

(Ⅰ) 试比较与的大小;

(Ⅱ) 设表示数集中的最大数, 且, 求的范围.

25、实验班附加

已知函数，设曲线在与轴交点处的切线为，为的导函数，满足．

（Ⅰ）设，，求函数在上的最大值；

（Ⅱ）设，若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．

ABCDD AAAAD AB

13. 14. 15. 16.

17.

18. 解：（Ⅰ）依题可知平面区域的整点为：共有13个，上述整点在平面区域的为：共有3个，

∴. ……………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）依题可得，平面区域的面积为，

平面区域与平面区域相交部分的面积为.

（设扇形区域中心角为，则得，也可用向量的夹角公式求）.

在区域任取1个点，则该点在区域的概率为，随机变量的可能取值为：.

， ，

， ，

∴的分布列为

∴的数学期望：.………………（12分）

（或者：～，故）.

19、

解】【法一】（Ⅰ）在线段上取中点，连结、.

则，且，∴是平行四边形……3′

∴，又平面，平面，

∴平面.……5′

（Ⅱ）由，，得平面.

过点作于，连结.

则为二面角的平面角……8′

在中，由，得

边上的高为，∴，又，

∴，∴.……11′

∴在棱上时，二面角总大于.

故棱上不存在使二面角的大小为的点. ……12′

【法二】建立如图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、.

∴、、、、、

、.……4′

（Ⅰ）∵且平面，

∴平面.……5′

（Ⅱ）取，则，.

∴，，即为面的一个法向量………7′

同理，取，则，.

∴，，为平面的一个法向量……9′

，∴二面角为.

又∵，∴二面角大于. ……11′

∴在棱上时，二面角总大于.

故棱上不存在使二面角的大小为的点. ……12′

20. 解答：解：（1）由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0），则

则故

所以，椭圆方程为．

（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，

故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），

由消去y得

（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，

则△=64k2b2﹣16（1+4k2b2）（b2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，

且，．

故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．

因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，

所以=k2，

即+m2=0，又m≠0，

所以k2=，即k=．

由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得

0＜m2＜2且m2≠1．

设d为点O到直线l的距离，

则S△OPQ=d|PQ|=|x1﹣x2||m|=，

所以S△OPQ的取值范围为（0，1）．

21.

所以≥，

当时，取得最大值，所以≥………8分

(3)因为方程有唯一实数解，

因为，所以方程（*）的解为，即，解得……………12分

22. （Ⅰ）证明： 为直径， ，

为直径，为圆的切线…………………… 4分

（Ⅱ）

∽

∽

在直角三角形中

…………………… 10分

23. （Ⅰ） 为参数）…………………………………… 4分

（Ⅱ） 为参数）代入，得

，

……10分

24.（Ⅰ），

……………………………………… 4分

（Ⅱ）

………………………………………… 10分

25、（Ⅰ）， ，

函数的图像关于直线对称，则．

直线与轴的交点为，，且，

即，且，解得，．

则．

故，

其图像如图所示．当时，，根据图像得：

（ⅰ）当时，最大值为；

（ⅱ）当时，最大值为；

（ⅲ）当时，最大值为． ……………………………8分

（Ⅱ）方法一：，则，

， 当时，，

不等式恒成立等价于且恒成立，

由恒成立，得恒成立，

当时，，，，

又当时，由恒成立，得，

因此，实数的取值范围是．……………………………………12分

方法二：（数形结合法）作出函数的图像，其图像为线段（如图），

的图像过点时，或，

要使不等式对恒成立，

必须，

又当函数有意义时，，

当时，由恒成立，得，

因此，实数的取值范围是． …………………………………12分

方法三：， 的定义域是，

要使恒有意义，必须恒成立，

，，即或． ①

由得，

即对恒成立，

令，的对称轴为，

则有或或

解得． ②

综合①、②，实数的取值范围是． ………………………………12分

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/47fe8714b307e87100f69635.html