不等式解法15种典型例题
典型例题一
例1 解不等式:(1)
分析:如果多项式
可用“穿根法”求解,但要注意处理好有重根的情况.
解:(1)原不等式可化为
把方程
(2)原不等式等价于
说明:用“穿根法”解不等式时应注意:①各一次项中
典型例题二
例2 解下列分式不等式:(1)
分析:当分式不等式化为
①
(1)解:原不等式等价于
用“穿根法”
∴原不等式解集为
(2)解法一:原不等式等价于
解法二:原不等式等价于
用“穿根法”∴原不等式解集为
典型例题三
例3 解不等式
分析:解此题的关键是去绝对值符号,而去绝对值符号有两种方法:一是根据绝对值的意义
解法一:原不等式
∴
解法二:原不等式等价于
即
典型例题四
例4 解不等式
分析:这是一个分式不等式,其左边是两个关于
解法一:原不等式等价下面两个不等式级的并集:
解法二:原不等式化为
∴原不等式解集是
说明:解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集,再求两组的解的并集,否则会产生误解.解法二中,“定符号”是关键.当每个因式
典型例题五
例5 解不等式
分析:不等式左右两边都是含有
解:移项整理,将原不等式化为
由
解之,得原不等式的解集为
说明:此题易出现去分母得
典型例题六
例6 设
分析:进行分类讨论求解.
解:当
当
若
综上:当
当
说明:解不等式时,由于
在解出
典型例题七
例7 解关于
分析:先按无理不等式的解法化为两个不等式组,然后分类讨论求解.
解:原不等式
由
由判别式
当
综上可知,当
说明:本题分类讨论标准“
典型例题八
例8 解不等式
分析:先去掉绝对值号,再找它的等价组并求各不等式的解,然后取它们的交集即可.
解答:去掉绝对值号得
∴原不等式等价于不等式组
∴原不等式的解集为
说明:解含绝对值的不等式,关键是要把它化为不含绝对值的不等式,然后把不等式等价转化为不等式组,变成求不等式组的解.
典型例题九
例9 解关于
分析:不等式中含有字母
解:原不等式可化为
(1)当
(2)当
(3)当
说明:对参数进行的讨论,是根据解题的需要而自然引出的,并非一开始就对参数加以分类、讨论.比如本题,为求不等式的解,需先求出方程的根
典型例题十
例10 已知不等式
分析:按照一元二次不等式的一般解法,先确定系数
解:(解法1)由题可判断出
∴
而
∴
又
(解法2)由题意可判断出
∴
而
对方程
令
∴
∵
说明:(1)万变不离其宗,解不等式的核心即是确定首项系数的正负,求出相应的方程的根;(2)结合使用韦达定理,本题中只有
典型例题十二
例12 若不等式
分析:不等式本身比较复杂,要先对不等式进行同解变形,再根据解集列出关于
解:∵
∴原不等式化为
说明:解有关一元二次方程的不等式,要注意判断二次项系数的符号,结合韦达定理来解.
典型例题十三
例13 不等式的解集为
分析:此题为一元二次不等式逆向思维题,要使解集为
解法一:设
∴
解法二:构造解集为
说明:本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系,同时还考查逆向思维的能力.对有关字母抽象问题,同学往往掌握得不好.
典型例题十四
例14 解关于
分析:本题考查一元一次不等式与一元二次不等式解法,因为含有字母系数,所以还考查分类思想.
解:分以下情况讨论
(1)当
(2)当
①当
②当
∵
说明:解本题要注意分类讨论思想的运用,关键是要找到分类的标准,就本题来说有三级分类:
分类应做到使所给参数
典型例题十五
例15 解不等式
分析:无理不等式转化为有理不等式,要注意平方的条件和根式有意义的条件,一般情况下,
解:原不等式等价于下面两个不等式组:
①
由①得
所以原不等式的解集为
说明:本题也可以转化为
这里,设全集
则所求不等式的解集为
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