2019年中考数学二次函数的应用专题（解析版）

2019年中考数学二次函数的应用专题

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时间：45分钟 满分：100分

一、单选题（共7题，每题4分；共28分）

1．（2017•包头）已知一次函数y1＝4x，二次函数y2＝2x2＋2，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值为y1与y2，则下列关系正确的是（　　）

A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2

【分析】首先判断直线y＝4x与抛物线y＝2x2＋2只有一个交点，如图所示，利用图象法即可解决问题．

【解答】解：由消去y得到：x2－2x＋1＝0，

∵△＝0，∴直线y＝4x与抛物线y＝2x2＋2只有一个交点，如图所示

观察图象可知：．y1≤y2，

故答案：D．

2．（2018威海）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画，下列结论错误的是( )

A．当小球抛出高度达到7.5时，小球距O点水平距离为3m

B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势

C．小球落地点距O点水平距离为7米

D．斜坡的坡度为1∶2

【分析】根据二次函数图象和性质可解答

【解答】解：：根据函数图象可知，当抛出的高度为7．5时，小球距离O点的水平距离有两值（为3m或5m），A结论错误；由y＝4x－x2得y＝－（x－4）2＋8，则对称轴为直线x＝4，当x＞4时，y随x值的增大而减小，B结论正确；联立方程y＝4x－x2与y＝x解得，或；则抛物线与直线的交点坐标为（0，0）或（7，），C结论正确；由点（7，）知坡度为∶7＝1∶2（也可以根据y＝x中系数的意义判断坡度为1∶2），D结论正确；

故选A．

3．（2017•泰安）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（　　）

A．19cm2 B．16 cm2 C．15 cm2 D．12 cm2

【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC=6cm，设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ=t2﹣6t+24，利用二次函数性质即可求出四边形PABQ的面积最小值．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，∴AC==6cm．

设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，

∴S四边形PABQ=S△ABC﹣S△CPQ=AC•BC﹣PC•CQ=×6×8﹣（6﹣t）×2t=t2﹣6t+24=（t﹣3）2+15，∴当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15．

故答案：C．

4．（2017•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是(　　)

A．20cm B．18cm C．2cm D．3cm

【分析】根据已知条件得到CP＝6－t，得到PQ＝＝＝，可得到结论．

【解答】解：∵AP＝CQ＝t，∴CP＝6－t，∴PQ＝＝＝，∵0≤t≤2，∴当t＝2时，PQ的值最小，∴线段PQ的最小值是2，

故答案：C．

5．（2017•临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：

下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，可得y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．

【解答】解：由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，

∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，

∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，

∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，

∵t=1.5时，y=11.25，故④错误．

∴正确的有②③，

故答案：B．

6．（2018·哈尔滨）将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为( )

A．y＝－5(x＋1)2－1 B．y＝－5(x－1)2－1

C．y＝－5(x＋1)2＋3 D．y＝－5(x－1)2＋3

【分析】先写成顶点式,根据抛物线解析式平称规律(对x:在括号内左加右减;对y在左边直接上减下加)或转化为点的坐标平移规律(左减右加上加下减)直接求解

【解答】解：给的抛物线解析式可以看做顶点式，顶点为（0，1）平移可以看做是顶点在移动到（－1，－1），所以选A

故答案：A．

7．（2016•衢州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：

则该函数图象的对称轴是（　　）

A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0

【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．

【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2．

故答案：B．

二、填空题（共3题，每题4分；共12分）

8．(2018·沈阳)如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝______m时，矩形ABCD的面积最大．

【分析】利用二次函数增减性及最值解决实际问题．

【解答】解：设AB＝xm，因此AB＋EF＋CD＝3x，所以AD＝BC＝，矩形ABCD的面积设为y(平方米)，所以y＝x·＝，由于二次项系数小于0，所以y有最大值，当x＝＝＝150时，函数y取得最大值．

．

故答案：150

9．（2017•阿坝州）如图，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y轴交于点A(0，3)．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′(2，－2)，点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为______．

【分析】根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD，PP′的长，求出面积即可．

【解答】解：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，由题意可得出：AP∥A′P′，AP=A′P′，

∴四边形APP′A′是平行四边形，∵抛物线的顶点为P(－2，2)，与y轴交于点A(0，3)，平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′(2，－2)，∴PO=，∠AOP=45°，

又∵AD⊥OP，∴△ADO是等腰直角三角形，∴PP′=，∴AD=DO=sin45°•OA=，∴抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为： =12．

故答案：12．

10．(2018·武汉)飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y＝60t－t2，在飞机着陆滑行中，最后4 s滑行的距离是___________m.

【分析】会利用配方法把二次函数一般式表示成顶点式,利用二次函数最值解决实际问题

【解答】解： y＝60t－t2＝－(t－20)2＋600，即当t＝20时，飞机停止滑行，此时滑行距离为600m，当t＝16时，y＝576m，故最后4s滑行的距离是600－576＝24m.

故答案：24．

三、解答题（共6题，每题10分；共60分）

11．（2018·襄阳）襄阳精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y＝且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W元（利润＝销售收入－成本）．

（1）m＝______，n＝______；

（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？

（3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？

【分析】（1）根据“第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克”可知，x＝12时，y＝32；x＝26时，y＝25，将它们代入y关于x的函数解析式中即可求出m，n的值．（2）根据“在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克”可知，第x天的销售量为20＋4(x－1)＝4x＋16，于是由“当天利润＝当天销售量×每千克的销售利润”求得W关于x的函数关系式，注意是分段函数，然后利用二次函数的最值问题和一次函数的增减性讨论求解．（3）就是要求出使W≥870的整数x值有多少个，即为多少天．这需要根据（2）中的计算结果，结合二次函数与一元二次方程的关系及一元一次不等式知识求解．

【解答】解：（1）m＝－，n＝25．

（2）第x天的销售量为20＋4(x－1)＝4x＋16．

当1≤x＜20时，W＝(4x＋16)(－x＋38－18)＝－2x2＋72x＋320＝－2(x－18)2＋968．

∴当x＝18时，W最大值＝968．

当20≤x≤30时，W＝(4x＋16)(25－18)＝28x＋112．

∵28＞0，∴W随x的增大而增大．∴当x＝30时，W最大值＝952．

∵968＞952，∴当x＝18时，W最大值＝968．

即第18天当天的利润最大，最大利润为968元．

（3）当1≤x＜20时，令－2x2＋72x＋320＝870，解得x1＝25，x2＝11．

∵抛物线W＝－2x2＋72x＋320的开口向下，

∴11≤x≤25时，W≥870．∴11≤x＜20．

∵x为正整数，∴有9天利润不低于870元．

当20≤x≤30时，令28x＋112≥870，解得x≥27．∴27≤x≤30．

∵x为正整数，∴有3天利润不低于870元．

综上所述，当天利润不低于870元的共有12天．

12．（2018威海）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款，小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款，已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元，该产品每月销售量(万件)与销售单价(元)之间的函数关系如图所示．

(1)求该网店每月利润w(万元)与销售单价x(元)之间的函数表达式；

(2)小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？

【分析】：（1）先用待定系数法求出直线AB与BC的函数表达式，然后在4≤x≤6与6≤x≤8时，根据“每月利润＝销售单价×每月销售量－工资及其他费用”列出W与x之间的函数表达式；（2）先求出每月的最大利润，然后求出最快还款的时间．

【解答】解：(1)设直线的函数表达式为yAB＝kx＋b，代入A（4，4），B（6，2），得

，解得．∴直线AB的函数表达式为yAB＝－x＋8．

设直线的函数表达式为yBC＝k1x＋b1，代入B（6，2），C（8，1），得

，解得，∴直线BC的函数表达式为yBC＝－x＋5．

工资及其他费用为0.4×5＋1＝3（万元）．

当4≤x≤6时，∴，即．

当6≤x≤8时，∴，即．

(2)当4≤x≤6时，

，∴当时，取得最大值1．

当6≤x≤8时，，∴当x＝7时，取得最大值1.5．

∴，即第7个月可以还清全部贷款．

13(2018·吉林)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2ax－3a(a＜0)与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．

（1）当a＝－1时，抛物线顶点D的坐标为________，OE＝________；

（2）OE的长是否与a值无关，说明你的理由；

（3）设∠DEO＝β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；

（4）以DE为斜边，在直线DE的下方作等腰直角三角形PDE．设P(m，n)，直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．

【分析】（1）当a＝－1时，得到抛物线的解析式，求出相应顶点D和与y轴的交点坐标；进而求出OE的长；（2）与（1）类似，将字母a当作已知数即可；（3）分别求出β＝45°和β＝60°时a的值，进而确定a的取值范围；（4）利用等腰直角三角形构造三角形全等(或一线三直角)，得出m与n的关系式．

【解答】解：（1）(－1，4)，3；

（2）OE长与a值无关．理由：如图①，∵y＝ ax2＋2ax－3a，∴C(0，－3a)，D(－1，－4a)．∴直线CD的解析式为y＝ax－3a．当y＝0时，x＝3．∴OE＝3．∴OE的长与a值无关．

（3）当β＝45°时，在Rt△OCE中，OC＝OE．∵OE＝3，OC＝－3a，∴－3a＝3．∴a＝－1．当β＝60°时，在Rt△OCE中，OC＝OE．∵OE＝3，OC＝－3a，∴－3a＝3．∴a＝－．∴当45°≤β≤60°时，－≤x≤－1．

（4）n＝－m－1(m＜1)．(如图②)过点P向抛物线的对称轴作垂线，过点P向x轴作垂线，垂足分别为M、N．则∠MPN＝90°．∴∠NPE＋∠MPE＝90°．∵△PDE是等腰直角三角形，∴PD＝PE，∠DPE＝90°；∴∠DPM＋∠MPE＝90°，∴∠DPM＝∠NPE，∴Rt△DPM≌Rt△EPN，∴PM＝PN．∵P(m，n)，D(－1，－4a)，E(3，0)，∴－1－m＝n．即n＝－m－1(m＜1)．

14（2018河南)如图，抛物线y＝ax2＋6x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x－5经过点B，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线交直线BC于点M．

①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P(不与点B，C重合)，作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

【分析】（1）先利用一次函数解析式计算出B，C两点的坐标，再代入y＝ax2＋6x＋c中即可求得抛物线的解析式；

（2） ①当A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，注意要分“点P在直线BC上方”和“点P在直线BC下方”两种情况进行讨论求解；

②提示：作AC的垂直平分线，交BC于点，连接，过点A作AN⊥BC于点N，将沿AN翻折，得到，点、的坐标即为所求．

【解答】解：（1）∵直线交轴于点B，交轴于点C，∴ B(5，0)，C(0，－5)．

∵抛物线过点B，C，∴，∴，

∴抛物线的解析式为：．

（2）∵OB＝OC＝5，∠BOC＝90°，∴∠ABC＝45°，∵抛物线交轴于A，B两点，∴A(1，0)，∴AB＝4，∵AM⊥BC，∴AM＝，∵PQ∥AM，∴PQ⊥BC，

若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则PQ＝AM＝，

过点P作PD⊥轴交直线BC于点D，则∠PDQ＝45°，∴PD＝PQ＝4．

设P(，)，则D(，)．分两种情况讨论如下：

(ⅰ)当点P在直线BC上方时，

PD＝，∴ (舍去)，

(ⅱ)当点P在直线BC下方时，

PD＝，∴，．

综上，点P的横坐标为4或或．

②M(，)或(，)．

15（2018•日照）如图，已知点A（－1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2＋bx＋c上．

（1）求抛物线解析式；

（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；

（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）由待定系数法求抛物线解析式；

（2）作PD⊥x轴交直线BC于D，将△PBC转化为S△PDC＋S△PDB列方程求解；

（3）由∠BQC＝∠BAC推出点Q在△ABC外接圆上，外接圆圆心是弦AC与对称轴的交点，从而确定外接圆圆心坐标及半径长，进而求得点Q坐标．

【解答】解：（1）把点A（－1，0），B（3，0），C（0，1）代入y＝ax2＋bx＋c，得，

解得，所以抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋1．

（2）∵B（3，0），C（0，1）， ∴直线BC的解析式为y＝－x＋1．过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于D．设P(x，－ x2＋x＋1)，则D(x，－ x＋1)． ∴PD＝－x2＋x＋1－(－x＋1)＝ －x2＋x．∴S△PBC＝S△PDC＋S△PDB＝PD(xB－xC)＝(－x2＋x)(3－0)＝－x2＋x．又∵S△PBC＝1，∴－ x2＋x＝1，∴x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2．∴P1（1，），P2（2，1）．

（3）答：存在．理由：如图 ，∵A（－1，0），C（0，1），∴OC＝OA＝1，∴∠BAC＝45°．∵∠BAC＝∠BQC，∴∠BQC＝45°．∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．

设△ABC外接圆圆心为M，∵线段AC的垂直平分线为直线：y＝－x，线段AB的垂直平分线为：x＝1．∴点M为直线y＝－x与直线x＝1的交点，即M（1，－1），∴∠BMC＝2∠BQC＝90°，又∵MQ＝MB＝R＝，∴yQ＝－（1＋）＝－1－，∵Q在直线x＝1上，∴xQ＝1，∴Q（1，－1－）．

16．. (2018福建)已知抛物线过点A（0,2），且抛物线上任意不同两点,都满足：当时，；当时，，以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若MN与直线y＝平行，且M，N位于直线BC的两侧，，解决以上问题：

①求证：BC平分∠MBN；

②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．

【分析】（1）依据题中已知条件可知抛物线的增减性变化特征为当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．此时b＝0，c＝2，即可得到抛物线的解析式；（2）①先根据点M坐标为，点N坐标为，求出直线MN的解析式，然后分别构造Rt△BEM与Rt△BFN，求出tan∠MBE与tan∠NBF的值，从而得到∠MBE＝∠MBE即可．②先确定△MBC外心位置，然后利用垂直平分线的性质和勾股定理求解．

【解答】解：（1）∵抛物线过点A（0,2），∴c＝2，当时，，由得，∴当x＜0时，y随x的增大而增大；同理可得，当x＞0时，y随x的增大而减小．∴抛物线的对称轴为y轴且开口向下，则b＝0．∵O为圆心，OA为半径的圆与抛物线交于另两点B，C，∴△ABC是等腰三角形，又∵△ABC有一个内角为60°，故△ABC为等边三角形，且OC＝OA＝2．

设线段BC与y轴的交点为D，则BD＝CD，且∠OBD＝30°，所以BD＝OB·cos30°＝，OD＝OB·sin30°＝1，∵点B在点C的左侧，所以点B坐标为．∵点B在抛物线上，且c＝2,b＝0,所以3a+2＝－1,解得a＝－1，所以所求抛物线的解析式为．

（2）①由（1）知，点M坐标为，点N坐标为，∵MN与直线y＝平行，设直线MN的解析式为y＝，则＝，即＝，∴直线MN的解析式为，将代入得，

化为，解得，或，∴，则＝＝，作ME⊥BC，NF⊥BC，垂足分别为E，F，∵点M，N位于直线BC的两侧，且，则，且，∴ME＝－（－1）＝，BE＝＝，

NF＝（－1）－＝，BF＝，

在Rt△BEM中，tan∠MBE＝＝,

在Rt△BFN中，

tan∠NBF＝＝,

∵tan∠MBE＝ tan∠NBF，∴∠MBE＝ ∠NBF，

即BC平分∠MBN．

②∵y轴为BC的垂直平分线，∴可设△MBC的外心为P（0，），则PB＝PM，即．由勾股定理可得因为，∴，即．由①知，，∴，即△MBC的外心的纵坐标的取值范围为．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/3e1db458366baf1ffc4ffe4733687e21ae45ff63.html