2019-2020学年八年级数学竞赛讲座 第三十三讲 代数式的化简与求值 人教新课标版

2019-2020学年八年级数学竞赛讲座 第三十三讲 代数式的化简与求值 人教新课标版

1．在前面几讲中我们分别学习了整式、分式以及根式的恒等变形与证明，其中也涉及到它们的化简与求值．本讲主要是把这兰种类型的代数式综合起来，其中求值问题是代数式运算中的非常重要的内容．

2．对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有：

(1)因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的；

(2)运算律，适当运用运算律，也有助于化简；

(3)换元、配方、待定系数法、倒数法等；

(4)有时对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法．

例题求解

【例1】已知word/media/image2_1.png，求word/media/image3_1.png的值．

思路点拨 由已知得(x－4)2=3，即x2－8x+13=0．所以原式=5．

注 本题使用了整体代换的作法．

【例2】已知：x+y+x=3a(a ≠0)，求：word/media/image4_1.png的值．

思路点拨 由word/media/image5_1.png得：word/media/image6_1.png

解设word/media/image7_1.png，word/media/image8_1.png，word/media/image9_1.png，∴word/media/image10_1.png

∴原式=word/media/image11_1.png（可将word/media/image12_1.png两边平方的得到）

【例3】已知word/media/image13_1.png，求word/media/image14_1.png的值．

思路点拨 设word/media/image15_1.png

∴word/media/image16_1.png，然后对word/media/image17_1.png和word/media/image18_1.png两种情况进行讨论，原式=word/media/image19_1.png和word/media/image20_1.png．

【例4】已知word/media/image21_1.png，word/media/image22_1.png，word/media/image23_1.png，求（1）word/media/image24_1.png的值：（2）word/media/image25_1.png的值．

思路点拨 先由条件求出word/media/image26_1.png，可得word/media/image27_1.png，word/media/image28_1.png．

注 这道题充分体现了三个数的平方和，三个数的立方和，及三个数四次方和的常规用法，这些常用处理方法对我们今后的学习是十分重要的．

【例5】 (2003年河北初中数学应用竞赛题)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a，第二次提价的百分率为b；乙商场：两次提价的百分率都是word/media/image29_1.png（a>0，b>0）；丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a，则提价最多的商场是( )

A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定

思路点拨 乙商场两次提价后，价格最高．选B

【例6】 已知非零实数 a、b、c满足word/media/image30_1.png，word/media/image31_1.png，求word/media/image32_1.png的值．

思路点拨 原条件变形为：word/media/image33_1.png

∴ word/media/image32_1.png为±1或0．

【例7】(2001年重庆市)阅读下面材料：

在计算3+5+7+9+11+13+15+17+19+21时；我机发现，从第一个数开始，以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值．具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式word/media/image34_1.png计算它们的和．(公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，d表示这个相差的定值．)

那么3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=word/media/image35_1.png．

用上面的知识解决下列问题：

为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林．从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地，由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统计数据．假设坡荒地全部种上树后，不再有水土流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．

思路点拨 1996年减少了25200－24000=1200，

1997年减少了24000－22400=1600，

…

m年减少了1200+400×(m—1996)．

1200+1600+…+1200+400(m—1996)=25200．

令n=m—1995，得 word/media/image36_1.png，word/media/image37_1.png或word/media/image38_1.png（舍去）

∴ m =1995+n =2004．

∴ 到2004年，可以将坡荒地全部种上树木．

【例8】 ( “信利杯”)某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵{排数≥3)，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( )

A．1种 B． 2种 C．4种 D．0种

思路点拨 设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k，k+1，k+2，…，k+(n—1)，由题意可知word/media/image39_1.png，即n[2k+(n－1)]=200．因为k，n都是正整数，且n≥3，所以n<2k+(n—1)，且n与2k+(n—1)的奇偶性不同．将200分解质因数，可知n=5或n=8．当n=5时，k=l8；当n=8时，k=9．共有两种不同方案．选B

【例9】 (江苏省竞赛初三)有两道算式：

好+好=妙，妙×好好×真好=妙题题妙，

其中每个汉字表示0~9中的一个数字，相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字．那么，“妙题题妙”所表示的四位数的所有因数的个数是 ．

思路点拨 从加法式得“好”<5，“妙”≠0，因此“好”=1，“妙”=2或“好”=2，“妙”=4或“好”=3，“妙”=6或“好”=4，“妙”=8．显然，中间两种情形不满足乘法式，所以只能是：

(1)“好”=1，“妙”=2，从而乘法式变为

2×11×(真×10+1)=2002+题×110，

即 真×10+1=91+题×5．

上式左边≤91，右边≥91，所以两边都等于91．

由此得“真”=，“题”=0“妙题题妙”=2002．

(2)“好”=4，“妙”=8，乘法式为

8×44×(真×10十4)=8008+题×110．

即704+1760×真=4004十题×55．

在0~9中，只有“真”=2，“题”=4满足上式，但此时“好”与“题”表示相同的数字，与题意不符．

故四位数“妙题题妙”有唯一解2002．

由2002=2×7×11×13，知2002的所有因数的个数为24=16．

【例9】设word/media/image40_1.png，，且word/media/image41_1.png．

求word/media/image42_1.png的值．

思路点拨 设word/media/image43_1.png，显然word/media/image44_1.png，于是word/media/image45_1.png，word/media/image46_1.png，word/media/image47_1.png，代入已知得word/media/image48_1.png，即word/media/image49_1.png，

由word/media/image44_1.png，word/media/image50_1.png，可知word/media/image51_1.png，word/media/image52_1.png，word/media/image53_1.png，∴ word/media/image54_1.png，原式=1．

学力训练

(A级))

1．当m在可取值范围内取不同的值时，代数式word/media/image55_1.png的最小值是( )

A．0 B．5 C．3word/media/image56_1.png D．9

2．已知：a、b都是负实数，且word/media/image57_1.png，那么word/media/image58_1.png的值为( )

A．word/media/image59_1.png B．word/media/image60_1.png C．word/media/image61_1.png D．word/media/image62_1.png

3．如a、b、c是三个任意整数，那么word/media/image63_1.png、word/media/image64_1.png、word/media/image65_1.png ( )

A．都不是整数 B．至少有两个整数 C．至少有一个整数 D．都是整数

4．如果word/media/image66_1.png，那么word/media/image67_1.png的值是( )

A．0 B．1 C．2 D．4

5．已知：word/media/image68_1.png，word/media/image69_1.png，word/media/image70_1.png，且word/media/image71_1.png，试求word/media/image72_1.png的值．

6．已知word/media/image73_1.png，那么word/media/image74_1.png的值是多少？

（B级）

1．设等式word/media/image75_1.png在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则word/media/image76_1.png的值是( )

A．3 B．word/media/image77_1.png C．2 D．word/media/image78_1.png

2．已知m>0， n>0，且word/media/image79_1.png，求word/media/image80_1.png的值．

3．已知word/media/image81_1.png2，试求word/media/image82_1.png的值．

4．已知word/media/image83_1.png，word/media/image84_1.png且x≠y，求word/media/image85_1.png的值．

5．设a、b、c均不为0，且word/media/image86_1.png，word/media/image87_1.png，求证：a、b、c中至少有一个等于1998．

6． 已知a、b、c为整数，且满足word/media/image88_1.png，求word/media/image89_1.png的值．

A级

1．B 2．C 3．C 4．D 5．1 6．20

B级

1．B．2．3 3．4 4．word/media/image91_1.png

5．提示：word/media/image92_1.png，分解得word/media/image93_1.png，于是word/media/image94_1.png，word/media/image95_1.png，word/media/image96_1.png中必有一个为0．6．word/media/image97_1.png

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/3b8eb681710abb68a98271fe910ef12d2bf9a95b.html