2016年山东省威海市中考数学试卷附详细答案（原版+解析版）

2016年山东省威海市中考数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分

1．﹣的相反数是（　　）

A．3 B．﹣3 C． D．﹣

2．函数y=的自变量x的取值范围是（　　）

A．x≥﹣2 B．x≥﹣2且x≠0 C．x≠0 D．x＞0且x≠﹣2

3．如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，若∠ADC=35°，则∠1的度数为（　　）

A．65° B．55° C．45° D．35°

4．下列运算正确的是（　　）

A．x3+x2=x5 B．a3•a4=a12

C．（﹣x3）2÷x5=1 D．（﹣xy）3•（﹣xy）﹣2=﹣xy

5．已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则ba的值是（　　）

A． B．﹣ C．4 D．﹣1

6．一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，其左视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．若x2﹣3y﹣5=0，则6y﹣2x2﹣6的值为（　　）

A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16

8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|b|可化简为（　　）

A．a﹣b B．b﹣a C．a+b D．﹣a﹣b

9．某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是（　　）

A．19，20，14 B．19，20，20 C．18.4，20，20 D．18.4，25，20

10．如图，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（　　）

A． = B．AD，AE将∠BAC三等分

C．△ABE≌△ACD D．S△ADH=S△CEG

11．已知二次函数y=﹣（x﹣a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分

13．蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为　　　　　　．

14．化简： =　　　　　　．

15．分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2=　　　　　　．

16．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为　　　　　　．

17．如图，直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为　　　　　　．

18．如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O=30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为　　　　　　．

三、解答题：本大题共7小题，共66分

19．解不等式组，并把解集表示在数轴上．

．

20．某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有48人达标，乙班有45人达标，甲班的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率．

21．一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除标号数字外都相同．

（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；

（2）甲、乙两人用着六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．

22．如图，在△BCE中，点A时边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF．

（1）求证：CB是⊙O的切线；

（2）若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积．

23．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，求点E的坐标．

24．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延长CA至点E，使AE=AC；延长CB至点F，使BF=BC．连接AD，AF，DF，EF．延长DB交EF于点N．

（1）求证：AD=AF；

（2）求证：BD=EF；

（3）试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．

25．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；

（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．

2016年山东省威海市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分

1．﹣的相反数是（　　）

A．3 B．﹣3 C． D．﹣

【考点】相反数．

【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．

【解答】解：﹣的相反数是，

故选C

2．函数y=的自变量x的取值范围是（　　）

A．x≥﹣2 B．x≥﹣2且x≠0 C．x≠0 D．x＞0且x≠﹣2

【考点】函数自变量的取值范围．

【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

【解答】解：由题意得，x+2≥0且x≠0，

解得x≥﹣2且x≠0，

故选：B．

3．如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，若∠ADC=35°，则∠1的度数为（　　）

A．65° B．55° C．45° D．35°

【考点】平行线的性质．

【分析】利用已知条件易求∠ACD的度数，再根据两线平行同位角相等即可求出∠1的度数．

【解答】解：

∵DA⊥AC，垂足为A，

∴∠CAD=90°，

∵∠ADC=35°，

∴∠ACD=55°，

∵AB∥CD，

∴∠1=∠ACD=55°，

故选B．

4．下列运算正确的是（　　）

A．x3+x2=x5 B．a3•a4=a12

C．（﹣x3）2÷x5=1 D．（﹣xy）3•（﹣xy）﹣2=﹣xy

【考点】整式的混合运算；负整数指数幂．

【分析】A、原式不能合并，即可作出判断；

B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；

C、原式利用幂的乘方及单项式除以单项式法则计算得到结果，即可作出判断；

D、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断．

【解答】解：A、原式不能合并，错误；

B、原式=a7，错误；

C、原式=x6÷x5=x，错误；

D、原式=﹣xy，正确．

故选D．

5．已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则ba的值是（　　）

A． B．﹣ C．4 D．﹣1

【考点】根与系数的关系．

【分析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1•x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可．

【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，

∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1，

解得a=2，b=﹣，

∴ba=（﹣）2=．

故选：A．

6．一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，其左视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【考点】由三视图判断几何体．

【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由左视图可得第二层立方体的个数，相加即可．

【解答】解：由题中所给出的俯视图知，底层有3个小正方体；

由左视图可知，第2层有1个小正方体．

故则搭成这个几何体的小正方体的个数是3+1=4个．

故选：B．

7．若x2﹣3y﹣5=0，则6y﹣2x2﹣6的值为（　　）

A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16

【考点】代数式求值．

【分析】把（x2﹣3y）看作一个整体并求出其值，然后代入代数式进行计算即可得解．

【解答】解：∵x2﹣3y﹣5=0，

∴x2﹣3y=5，

则6y﹣2x2﹣6=﹣2（x2﹣3y）﹣6

=﹣2×5﹣6

=﹣16，

故选：D．

8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|b|可化简为（　　）

A．a﹣b B．b﹣a C．a+b D．﹣a﹣b

【考点】实数与数轴．

【分析】根据数轴可以判断a、b的正负，从而可以化简|a|﹣|b|，本题得以解决．

【解答】解：由数轴可得：a＞0，b＜0，

则|a|﹣|b|=a﹣（﹣b）=a+b．

故选C．

9．某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是（　　）

A．19，20，14 B．19，20，20 C．18.4，20，20 D．18.4，25，20

【考点】众数；扇形统计图；加权平均数；中位数．

【分析】根据扇形统计图给出的数据，先求出销售各台的人数，再根据平均数、中位数和众数的定义分别进行求解即可．

【解答】解：根据题意得：

销售20台的人数是：20×40%=8（人），

销售30台的人数是：20×15%=3（人），

销售12台的人数是：20×20%=4（人），

销售14台的人数是：20×25%=5（人），

则这20位销售人员本月销售量的平均数是=18.4（台）；

把这些数从小到大排列，最中间的数是第10、11个数的平均数，

则中位数是=20（台）；

∵销售20台的人数最多，

∴这组数据的众数是20．

故选C．

10．如图，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（　　）

A． = B．AD，AE将∠BAC三等分

C．△ABE≌△ACD D．S△ADH=S△CEG

【考点】黄金分割；全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质．

【分析】由题意知AB=AC、∠BAC=108°，根据中垂线性质得∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，从而知△BDA∽△BAC，得=，由∠ADC=∠DAC=72°得CD=CA=BA，进而根据黄金分割定义知==，可判断A；根据∠DAB=∠CAE=36°知∠DAE=36°可判断B；根据∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE=72°可得∠BAE=∠CAD，可证△BAE≌△CAD，即可判断C；由△BAE≌△CAD知S△BAD=S△CAE，根据DH垂直平分AB，EG垂直平分AC可得S△ADH=S△CEG，可判断D．

【解答】解：∵∠B=∠C=36°，

∴AB=AC，∠BAC=108°，

∵DH垂直平分AB，EG垂直平分AC，

∴DB=DA，EA=EC，

∴∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，

∴△BDA∽△BAC，

∴=，

又∵∠ADC=∠B+∠BAD=72°，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=72°，

∴∠ADC=∠DAC，

∴CD=CA=BA，

∴BD=BC﹣CD=BC﹣AB，

则=，即==，故A错误；

∵∠BAC=108°，∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，

∴∠DAE=∠BAC﹣∠DAB﹣∠CAE=36°，

即∠DAB=∠DAE=∠CAE=36°，

∴AD，AE将∠BAC三等分，故B正确；

∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=72°，∠CAD=∠CAE+∠DAE=72°，

∴∠BAE=∠CAD，

在△BAE和△CAD中，

∵，

∴△BAE≌△CAD，故C正确；

由△BAE≌△CAD可得S△BAE=S△CAD，即S△BAD+S△ADE=S△CAE+S△ADE，

∴S△BAD=S△CAE，

又∵DH垂直平分AB，EG垂直平分AC，

∴S△ADH=S△ABD，S△CEG=S△CAE，

∴S△ADH=S△CEG，故D正确．

故选：A．

11．已知二次函数y=﹣（x﹣a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象；二次函数的图象．

【分析】观察二次函数图象，找出a＞0，b＞0，再结合反比例（一次）函数图象与系数的关系，即可得出结论．

【解答】解：观察二次函数图象，发现：

图象与y轴交于负半轴，﹣b＜0，b＞0；

抛物线的对称轴a＞0．

∵反比例函数y=中ab＞0，

∴反比例函数图象在第一、三象限；

∵一次函数y=ax+b，a＞0，b＞0，

∴一次函数y=ax+b的图象过第一、二、三象限．

故选B．

12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（　　）

A． B． C． D．

【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．

【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．

【解答】解：连接BF，

∵BC=6，点E为BC的中点，

∴BE=3，

又∵AB=4，

∴AE==5，

∴BH=，

则BF=，

∵FE=BE=EC，

∴∠BFC=90°，

∴CF==．

故选：D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分

13．蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为　7.3×10﹣5　．

【考点】科学记数法—表示较小的数．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：将0.000073用科学记数法表示为7.3×10﹣5．

故答案为：7.3×10﹣5．

14．化简： =　　．

【考点】二次根式的加减法．

【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．

【解答】解：原式=3﹣2=．

故答案为：．

15．分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2=　3（a+b）（a﹣b）　．

【考点】因式分解-运用公式法．

【分析】原式利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式=（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）

=3（a+b）（a﹣b）．

故答案为：3（a+b）（a﹣b）．

16．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为　2　．

【考点】正多边形和圆．

【分析】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，先求出圆的半径，在RT△OEM中利用30度角的性质即可解决问题．

【解答】解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=4，∠ABC=90°，

∴AC是直径，AC=4，

∴OE=OF=2，∵OM⊥EF，

∴EM=MF，

∵△EFG是等边三角形，

∴∠GEF=60°，

在RT△OME中，∵OE=2，∠OEM=∠CEF=30°，

∴OM=，EM=OM=，

∴EF=2．

故答案为2．

17．如图，直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为　（﹣8，﹣3）或（4，3）　．

【考点】位似变换；一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】首先解得点A和点B的坐标，再利用位似变换可得结果．

【解答】解：∵直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，

令x=0可得y=1；

令y=0可得x=﹣2，

∴点A和点B的坐标分别为（﹣2，0）；（0，1），

∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，

∴==，

∴O′B′=3，AO′=6，

∴B′的坐标为（﹣8，﹣3）或（4，3）．

故答案为：（﹣8，﹣3）或（4，3）．

18．如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O=30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为　﹣（）2015　．

【考点】坐标与图形性质．

【分析】先求出A1、A2、A3、A4、A5坐标，探究规律，利用规律解决问题．

【解答】解：∵A1（1，0），A2[0，（）1]，A3[﹣（）2，0]．A4[0，﹣（）3]，A5[（）4，0]…，

∴序号除以4整除的话在y轴的负半轴上，余数是1在x轴的正半轴上，余数是2在y轴的正半轴上，余数是3在x轴的负半轴上，

∵2016÷4=504，

∴A2016在y轴的负半轴上，纵坐标为﹣（）2015．

故答案为﹣（）2015．

三、解答题：本大题共7小题，共66分

19．解不等式组，并把解集表示在数轴上．

．

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．

【解答】解：由①得：x≥﹣1，

由②得：x＜，

∴不等式组的解集为﹣1≤x＜，

表示在数轴上，如图所示：

20．某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有48人达标，乙班有45人达标，甲班的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率．

【考点】分式方程的应用．

【分析】设乙班的达标率是x，则甲班的达标率为（x+6%），根据“甲、乙两班的学生数相同”列出方程并解答．

【解答】解：设乙班的达标率是x，则甲班的达标率为（x+6%），

依题意得： =，

解这个方程，得x=0.9，

经检验，x=0.9是所列方程的根，并符合题意．

答：乙班的达标率为90%．

21．一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除标号数字外都相同．

（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；

（2）甲、乙两人用着六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．

【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．

【分析】（1）直接利用概率公式进而得出答案；

（2）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的情况数，即可求出所求的概率．

【解答】解：（1）∵1，2，3，4，5，6六个小球，

∴摸到标号数字为奇数的小球的概率为： =；

（2）画树状图：

如图所示，共有36种等可能的情况，两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的有18种，

摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果有18种，

∴P（甲）==，P（乙）==，

∴这个游戏对甲、乙两人是公平的．

22．如图，在△BCE中，点A时边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF．

（1）求证：CB是⊙O的切线；

（2）若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积．

【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算．

【分析】（1）欲证明CB是⊙O的切线，只要证明BC⊥OB，可以证明△CDO≌△CBO解决问题．

（2）首先证明S阴=S扇形ODF，然后利用扇形面积公式计算即可．

【解答】（1）证明：连接OD，与AF相交于点G，

∵CE与⊙O相切于点D，

∴OD⊥CE，

∴∠CDO=90°，

∵AD∥OC，

∴∠ADO=∠1，∠DAO=∠2，

∵OA=OD，

∴∠ADO=∠DAO，

∴∠1=∠2，

在△CDO和△CBO中，

，

∴△CDO≌△CBO，

∴∠CBO=∠CDO=90°，

∴CB是⊙O的切线．

（2）由（1）可知∠3=∠BCO，∠1=∠2，

∵∠ECB=60°，

∴∠3=∠ECB=30°，

∴∠1=∠2=60°，

∴∠4=60°，

∵OA=OD，

∴△OAD是等边三角形，

∴AD=OD=OF，∵∠1=∠ADO，

在△ADG和△FOG中，

，

∴△ADG≌△FOG，

∴S△ADG=S△FOG，

∵AB=6，

∴⊙O的半径r=3，

∴S阴=S扇形ODF==π．

23．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，求点E的坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）把点A的坐标代入y=，求出反比例函数的解析式，把点B的坐标代入y=，得出n的值，得出点B的坐标，再把A、B的坐标代入直线y=kx+b，求出k、b的值，从而得出一次函数的解析式；

（2）设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，先求出点P的坐标（0，7），得出PE=|m﹣7|，根据S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5，求出m的值，从而得出点E的坐标．

【解答】解：（1）把点A（2，6）代入y=，得m=12，

则y=．

把点B（n，1）代入y=，得n=12，

则点B的坐标为（12，1）．

由直线y=kx+b过点A（2，6），点B（12，1）得，

解得，

则所求一次函数的表达式为y=﹣x+7．

（2）如图，直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，

则点P的坐标为（0，7）．

∴PE=|m﹣7|．

∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5，

∴×|m﹣7|×（12﹣2）=5．

∴|m﹣7|=1．

∴m1=6，m2=8．

∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．

24．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延长CA至点E，使AE=AC；延长CB至点F，使BF=BC．连接AD，AF，DF，EF．延长DB交EF于点N．

（1）求证：AD=AF；

（2）求证：BD=EF；

（3）试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定．

【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=45°，求出∠ABF=135°，∠ABF=∠ACD，证出BF=CD，由SAS证明△ABF≌△ACD，即可得出AD=AF；

（2）由（1）知AF=AD，△ABF≌△ACD，得出∠FAB=∠DAC，证出∠EAF=∠BAD，由SAS证明△AEF≌△ABD，得出对应边相等即可；

（3）由全等三角形的性质得出得出∠AEF=∠ABD=90°，证出四边形ABNE是矩形，由AE=AB，即可得出四边形ABNE是正方形．

【解答】（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠ABF=135°，

∵∠BCD=90°，

∴∠ABF=∠ACD，

∵CB=CD，CB=BF，∴BF=CD，

在△ABF和△ACD中，

，

∴△ABF≌△ACD（SAS），

∴AD=AF；

（2）证明：由（1）知，AF=AD，△ABF≌△ACD，

∴∠FAB=∠DAC，

∵∠BAC=90°，

∴∠EAB=∠BAC=90°，

∴∠EAF=∠BAD，

在△AEF和△ABD中，

，

∴△AEF≌△ABD（SAS），

∴BD=EF；

（3）解：四边形ABNE是正方形；理由如下：

∵CD=CB，∠BCD=90°，

∴∠CBD=45°，

由（2）知，∠EAB=90°，△AEF≌△ABD，

∴∠AEF=∠ABD=90°，

∴四边形ABNE是矩形，

又∵AE=AB，

∴四边形ABNE是正方形．

25．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；

（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可．

（2）分①点E在直线CD上方的抛物线上和②点E在直线CD下方的抛物线上两种情况，用三角函数求解即可；

（3）分①CM为菱形的边和②CM为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算；

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），

∴设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），

∴﹣8a=4，

∴a=﹣，

∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+4；

（2）如图1，

①点E在直线CD上方的抛物线上，记E′，

连接CE′，过E′作E′F′⊥CD，垂足为F′，

由（1）知，OC=4，

∵∠ACO=∠E′CF′，

∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，

∴=，

设线段E′F′=h，则CF′=2h，

∴点E′（2h，h+4）

∵点E′在抛物线上，

∴﹣（2h）2+2h+4=h+4，

∴h=0（舍）h=

∴E′（1，），

②点E在直线CD下方的抛物线上，记E，

同①的方法得，E（3，），

点E的坐标为（1，），（3，）

（3）①CM为菱形的边，如图2，

在第一象限内取点P′，过点

P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，

交y轴于M′，

∴四边形CM′P′N′是平行四边形，

∵四边形CM′P′N′是菱形，

∴P′M′=P′N′，

过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，

∵OC=OB，∠BOC=90°，

∴∠OCB=45°，

∴∠P′M′C=45°，

设点P′（m，﹣ m2+m+4），

在Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′=m，

∵B（4，0），C（0，4），

∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，

∵P′N′∥y轴，

∴N′（m，﹣m+4），

∴P′N′=﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）=﹣m2+2m，

∴m=﹣m2+2m，

∴m=0（舍）或m=4﹣2，

菱形CM′P′N′的边长为（4﹣2）=4﹣4．

②CM为菱形的对角线，如图3，

在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，

交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，

∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，

∵四边形CPMN是菱形，

∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，

∵∠OCB=45°，

∴∠NCQ=45°，

∴∠PCQ=45°，

∴∠CPQ=∠PCQ=45°，

∴PQ=CQ，

设点P（n，﹣ n2+n+4），

∴CQ=n，OQ=n+2，

∴n+4=﹣n2+n+4，

∴n=0（舍），

∴此种情况不存在．

∴菱形的边长为4﹣4．

2016年6月23日

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/38f84884e418964bcf84b9d528ea81c758f52eb2.html