极值点偏移定义及判定定理

发布时间：2018-12-20 15:05:08 来源：文档文库

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1极值点偏移定义及判定定理

所谓极值点偏移问题,是指对于单极值函数,由于函数极值点左右的增减速度不同,使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值,且函数与直线交于,两点,则的中点为,而往往.如下图所示.

极值点没有偏移

一、极值点偏移判定方法

1、极值点偏移的定义

对于函数在区间内只有一个极值点,方程的解分别为,且,（1）若,则称函数在区间上极值点偏移；（2）若,则函数在区间上极值点左偏,简称极值点左偏；（3）若,则函数在区间上极值点右偏,简称极值点右偏。

2、极值点偏移的判定定理

判定定理,对于可导函数,在区间上只有一个极大（小）值点,方程的解分别为,且,（1）若,则,即函数在区间上极大（小）值点右（左）偏；（2）0若,则,即函数在区间上极大（小）值点左（右）偏。

二、极值点偏移问题的一般题设形式：

1. 若函数word/media/image28_1.png存在两个零点word/media/image29_1.png且word/media/image30_1.png,求证：word/media/image31_1.png（word/media/image32_1.png为函数word/media/image28_1.png的极值点）；

2. 若函数word/media/image28_1.png中存在word/media/image29_1.png且word/media/image30_1.png满足word/media/image33_1.png,求证：word/media/image31_1.png（word/media/image32_1.png为函数word/media/image28_1.png的极值点）；

3. 若函数word/media/image28_1.png存在两个零点word/media/image29_1.png且word/media/image30_1.png,令word/media/image34_1.png,求证：word/media/image35_1.png；

4. 若函数word/media/image28_1.png中存在word/media/image29_1.png且word/media/image30_1.png满足word/media/image33_1.png,令word/media/image36_1.png,求证：word/media/image37_1.png

三、运用判定定理判定极值点偏移的方法

1、方法概述：

（1）求出函数word/media/image38_1.png的极值点word/media/image39_1.png；

（2）构造一元差函数word/media/image40_1.png；

（3）确定函数word/media/image41_1.png的单调性；

（4）结合word/media/image42_1.png,判断word/media/image43_1.png的符号,从而确定word/media/image44_1.png、word/media/image45_1.png的大小关系.

口诀：极值偏离对称轴,构造函数觅行踪；四个步骤环相扣,两次单调紧跟随.

2、抽化模型

答题模板：若已知函数word/media/image28_1.png满足word/media/image33_1.png,word/media/image32_1.png为函数word/media/image28_1.png的极值点,求证：word/media/image46_1.png.

（1）讨论函数word/media/image38_1.png的单调性并求出word/media/image38_1.png的极值点word/media/image39_1.png；

假设此处word/media/image38_1.png在word/media/image47_1.png上单调递减,在word/media/image48_1.png上单调递增.

（2）构造word/media/image40_1.png；

注：此处根据题意需要还可以构造成word/media/image49_1.png的形式.

（3）通过求导word/media/image50_1.png讨论word/media/image51_1.png的单调性,判断出word/media/image51_1.png在某段区间上的正负,并得出word/media/image44_1.png与word/media/image45_1.png的大小关系；

假设此处word/media/image51_1.png在word/media/image52_1.png上单调递增,那么我们便可得出word/media/image53_1.png,从而得到：word/media/image54_1.png时,word/media/image55_1.png.

（4）不妨设word/media/image56_1.png,通过word/media/image57_1.png的单调性,word/media/image33_1.png,word/media/image44_1.png与word/media/image45_1.png的大小关系得出结论；

接上述情况,由于word/media/image54_1.png时,word/media/image58_1.png且word/media/image56_1.png,word/media/image33_1.png,故word/media/image59_1.png,又因为word/media/image60_1.png,word/media/image61_1.png且word/media/image57_1.png在word/media/image47_1.png上单调递减,从而得到word/media/image62_1.png,从而word/media/image46_1.png得证.

此处只需继续证明：因为word/media/image46_1.png,故word/media/image67_1.png,由于word/media/image57_1.png在word/media/image47_1.png上单调递减,故word/media/image68_1.png.

【说明】

（1）此类试题由于思路固定,所以通常情况下求导比较复杂,计算时须细心；

（2）此类题目若试题难度较低,会分解为三问,前两问分别求word/media/image57_1.png的单调性、极值点,证明word/media/image44_1.png与word/media/image45_1.png（或word/media/image69_1.png与word/media/image70_1.png）的大小关系；若试题难度较大,则直接给出形如word/media/image46_1.png或word/media/image68_1.png的结论,让你给予证明,此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.2