2015秋高中数学 2.1.2指数函数及其性质（第1课时）学案设计 新人教A版必修1

第二章　基本初等函数(Ⅰ)

2.1　指数函数

2.1.2　指数函数及其性质(第一课时)

学习目标

①通过实际问题了解指数函数的实际背景;

②理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质;

③体会从具体到一般的数学讨论方式及数形结合的思想.

合作学习

一、设计问题,创设情境

情境1:我们来考虑一个与医学有关的例子:大家对“水痘”应该并不陌生,它与其他的传染病一样,有一定的潜伏期,这段时间里病原体在机体内不断地繁殖,病原体的繁殖方式有很多种,分裂就是其中的一种.我们来看一种球菌的分裂过程:

某种球菌分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个,…一个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与x的关系式是y=2x.

情景2:某种机器设备每年按6%的折旧率折旧,设机器的原来价值为1,经过x年后,机器的价值为原来的y倍,则y与x的关系为y=0.94x.

问题1:你能从上面的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗?

共同点:　; 

不同点:　. 

二、自主探索,尝试解决

指数函数的概念:

一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.

问题2:为什么指数函数对底数有“a>0,且a≠1”的要求呢?

三、信息交流,揭示规律

问题3:你能类比以前研究函数性质的思路,提出研究指数函数性质的方法和内容吗?

研究方法:　. 

研究内容:定义域、值域、　　　　、　　　　、　　　　. 

问题4:如何来画指数函数的图象呢?

画函数图象通常采用:　　　　、　　　　、　　　　.有时,也可以利用函数的有关性质画图. 

问题5:画出指数函数y=2x,y=()x的图象并观察图象有什么特征?

问题6:函数y=2x与y=()x的图象有什么关系?能否由y=2x的图象得到y=()x的图象?

问题7:选取底数a的若干不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的指数函数的图象.观察图象,能否发现它们有类似于问题5与问题6中的性质?

问题8:通过你们画的图象以及老师的演示,你们能发现怎样的规律呢?

问题9:从特殊到一般,指数函数y=ax(a>1)有哪些性质?并类比得出y=ax(01)的性质.

指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象和性质如下表所示:

强调:利用函数图象研究函数性质是一种直观而形象的方法,记忆指数函数性质时可以联想它的图象,记住性质的关键在于要脑中有图.

四、运用规律,解决问题

【例1】已知指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点(3,π),求f(0),f(1),f(-3)的值.

【例2】指出下列函数哪些是指数函数.

(1)y=4x;(2)y=x4;

(3)y=-4x;(4)y=(-4)x;

(5)y=πx;(6)y=4x2;

(7)y=xx;(8)y=(2a-1)x(a>,且a≠1).

五、变式演练,深化提高

1.若函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数,则a=　　　　. 

2.函数f(x)=(a2-1)x在R上是减函数,则a的取值范围是(　　)

A.|a|>1 B.|a|<2 C.a< D.1<|a|<

3.函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)对于任意的实数x,y都有(　　)

A.f(xy)=f(x)f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y)

C.f(x+y)=f(x)f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y)

4.函数f(x)=ax与g(x)=ax-a的图象大致是(　　)

5.若a>1,-10,则函数y=ax+b的图象一定在(　　)

A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限

C.第二、三、四象限 D.第一、二、四象限

6.函数y=a|x|(a>1)的图象是(　　)

六、反思小结,观点提炼

本节课的目的是掌握指数函数的概念、图象和性质.在理解指数函数的定义的基础上,掌握指数函数的图象和性质是本节课的重点.

1.知识点:　　　　、　　　　和　　　　. 

2.研究步骤:定义→图象→性质→应用.

3.思想方法:　　　　、　　　　. 

七、作业精选,巩固提高

1.课本P59习题2.1A组第6,9题;

2.课本P60习题2.1B组第3题.

参考答案

一、设计问题,创设情境

问题1:共同点:变量x与y构成函数关系式,是指数的形式,自变量在指数位置,底数是常数

不同点:底数的取值不同

二、自主探索,尝试解决

问题2:若a=0,当x>0时,ax恒等于0,没有研究价值;当x≤0时,ax无意义;

若a<0,例如当a=-2,x=时,无意义,没有研究价值;

若a=1,则1x=1,ax是一个常量,也没有研究的必要.

所以规定a>0且a≠1.

三、信息交流,揭示规律

问题3:研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质

研究内容:图象　单调性　奇偶性

问题4:列表　描点　连线

问题5:函数y=2x的图象位于x轴的上方,向左无限接近 x轴,向上无限延伸,从左向右看,图象是上升的,与y轴交于(0,1)点.

函数y=()x的图象位于x轴的上方,向右无限接近x轴,向上无限延伸,从左向右看,图象是下降的,与y轴交于(0,1)点.

问题6:y=2x与y=()x的图象关于y轴对称.实质是y=2x上的点(-x,y)与y=()x上的点(x,y)关于y轴对称.所以可以先画其中一个函数的图象,利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象.

问题7:分别取a=3,,4,,即在同一平面直角坐标系内作出指数函数y=3x,y=()x,y=4x,y=()x的图象.

可用多媒体画出y=3x,y=()x,y=4x,y=()x的图象如下:

问题8:底数分a>1和01两种情况.

问题9:R　(0,+∞)　(0,1)　R　R

四、运用规律,解决问题

【例1】解:因为f(x)=ax的图象经过点(3,π),所以f(3)=π,

即a3=π,解得a=,于是f(x)=.

所以,f(0)=π0=1,f(1)=,f(-3)=π-1=.

【例2】解:(1)(5)(8)为指数函数;

(2)是幂函数(后面2.3节中将会学习);

(3)是-1与指数函数4x的乘积;

(4)底数-4<0,故不是指数函数;

(6)指数不是自变量x,而底数是x的函数;

(7)底数x不是常数.

除(1)(5)(8)外,其他都不符合指数函数的定义.

五、变式演练,深化提高

1.2　2.D　3.C　4.D　5.B　6.B

六、反思小结,观点提炼

1.知识点:指数函数的概念　图象　性质

3.思想方法:数形结合　分类讨论

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/344ed1bfb7360b4c2f3f645e.html