[人教A版]2019高中数学选修2-2同步测试：课时作业7 - 函数的最大（小）值与导数 - 含解析

课时作业7　函数的最大(小)值与导数

|基础巩固|(25分钟，60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．函数f(x)＝x＋2cosx在区间上的最小值是(　　)

A．－　　　　　　　　　B．2

C.＋ D.＋1

解析：f′(x)＝1－2sinx，

∵x∈，

∴sinx∈[－1,0]，∴－2sinx∈[0,2]．

∴f′(x)＝1－2sinx>0在上恒成立，

∴f(x)在上单调递增．

∴f(x)min＝－＋2cos＝－.

答案：A

2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是(　　)

A．5,15 B．5，－4

C．5，－15 D．5，－16

解析：y′＝6x2－6x－12＝6(x＋1)(x－2)，

令y′＝0得x＝－1或x＝2.

当x＝2时y＝－15，

当x＝0时y＝5，

当x＝3时，y＝－4.故选C.

答案：C

3．函数y＝的最大值为(　　)

A．e－1 B．e

C．e2 D.

解析：令y′＝＝0，则x＝e

当x∈(0，e)时，y′>0，当x∈(e，＋∞)时，y′<0.

∴当x＝e时y取最大值，故选A.

答案：A

4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是(　　)

A．－37 B．－29

C．－5 D．以上都不对

解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，

∵f(x)在(－2,0)上为增函数，

在(0,2)上为减函数，

∴当x＝0时，f(x)＝m最大．

∴当m＝3，从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5.

∴最小值为－37.故选A.

答案：A

5．下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是(　　)

①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}；

②f(－)是极小值，f()是极大值；

③f(x)没有最小值，也没有最大值．

A．①③ B．①②③

C．② D．①②

解析：由f(x)>0得0<x<2，

f′(x)＝(2－x2)ex，故①正确．

令f′(x)＝0，得x＝±，

当x<－或x>时，f′(x)<0.

当－ <x<时，f′(x)>0.

∴x＝－时，f(x)取得极小值，

当x＝时，f(x)取得极大值，故②正确．

当x→－∞时，f(x)<0，

当x→＋∞时，f(x)<0.

综合函数的单调性与极值画出函数草图(如下图)．

∴函数f(x)有最大值无最小值，故③不正确．

答案：D

二、填空题(每小题5分，共15分)

6．函数f(x)＝＋x(x∈[1,3])的值域为________．

解析：f′(x)＝－＋1＝，所以在[1,3]上f′(x)>0恒成立，即f(x)在[1,3]上单调递增，所以f(x)的最大值是f(3)＝，最小值是f(1)＝.故函数f(x)的值域为.

答案：

7．若函数f(x)在区间[a，b]上满足f′(x)>0，则f(a)是函数的最________值，f(b)是函数的最________值．

解析：由f′(x)>0知，函数f(x)在区间[a，b]上为增函数，所以f(a)为最小值，f(b)为最大值．

答案：小　大

8．函数f(x)＝ax3＋2ax＋1在区间[－3,2]上有最大值4，则实数a＝________.

解析：f′(x)＝3ax2＋2a＝a(3x2＋2)．当a>0时，f′(x)>0，∴f(x)max＝f(2)＝8a＋4a＋1＝4，解得a＝；当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)max＝f(－3)＝－27a－6a＋1＝4，解得a＝－

答案：或－

三、解答题(每小题10分，共20分)

9．求下列各函数的最值．

(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；

(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．

解析：(1)f′(x)＝－4x3＋4x，

令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0得

x＝－1，或x＝0，或x＝1.

当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：

∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；

当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.

(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，

∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，

∴f(x)在[－1,1]上为增函数．

故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；

x＝1时，f(x)最大值＝2.

即f(x)的最小值为－12，最大值为2.

10．已知h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围．

解析：h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，

h′(x)＝3x2＋6x－9.

令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，

当x变化时h′(x)及h(x)的变化情况如下表：

当x＝－3时，取极大值28；当x＝1时，取极小值－4.

而h(2)＝3<h(－3)＝28，如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则k≤－3.

|能力提升|(20分钟，40分)

11．若函数f(x)＝asinx＋sin3x在x＝处有最值，则a等于(　　)

A．2 B．1

C. D．0

解析：∵f(x)在x＝处有最值，

∴x＝是函数f(x)的极值点．

又∵f′(x)＝acosx＋cos3x(x∈R)，

∴f′＝acos＋cosπ＝0，解得a＝2.

答案：A

12．设函数f(x)＝x2ex，若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，则实数m的取值范围是________．

解析：f′(x)＝xex＋x2ex

＝·x(x＋2)，

由f′(x)＝0得x＝0或x＝－2.

当x∈[－2,2]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

∴当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝0，

要使f(x)>m对x∈[－2,2]恒成立，

只需m<f(x)min，∴m<0.

答案：m<0

13．已知函数f(x)＝lnx＋，若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．

解析：函数的定义域为[1，e]，

f′(x)＝－＝，

令f′(x)＝0，得x＝a，

①当a≤1时，f′(x)≥0，

函数f(x)在[1，e]上是增函数，

f(x)min＝f(1)＝ln1＋a＝，

∴a＝∉(－∞，1]，故舍去．

②当1<a时，令f′(x)＝0得x＝a，

函数f(x)在[1，a]上是减函数，在[a，e]上是增函数，

∴f(x)min＝f(a)＝lna＋＝.

∴a＝∈(1，e)，故符合题意．

③当a≥e时，f′(x)≤0，

函数f(x)在[1，e]上是减函数，

f(x)min＝f(e)＝lne＋＝，

∴a＝e∉[e，＋∞)，故舍去，

综上所述a＝.

14．已知函数f(x)＝－x＋＋lnx在上存在x0使得不等式f(x0)－c≤0成立，求c的取值范围．

解析：在上存在x0，使得不等式f(x0)－c≤0成立，只需c≥f(x)min，

由f′(x)＝－－＋

＝－＝－，

∴当x∈时，f′(x)<0，

故f(x)在上单调递减；当x∈时，f′(x)>0，

故f(x)在上单调递增；当x∈(1,2)时，f′(x)<0，

故f(x)在(1,2)上单调递减；

∴f是f(x)在上的极小值．

而f＝＋ln＝－ln2，f(2)＝－＋ln2，

且f－f(2)＝－ln4＝lne－ln4，

又e3－16>0，∴lne－ln4>0，

∴在上f(x)min＝f(2)，

∴c≥f(x)min＝－＋ln2.

∴c的取值范围为.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/332e6fef4a73f242336c1eb91a37f111f0850d4b.html