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高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题13 导数与函数的单调性问题

发布时间：2020-10-17 17:19:01 来源：文档文库

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专题13 导数与函数的单调性问题

【高考地位】

在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.

【方法点评】

类型一求已知函数的单调区间

使用情景：已知函数word/media/image1_1.png的解析式判断函数的单调性

解题模板：第一步计算函数word/media/image1_1.png的定义域；

第二步求出函数word/media/image1_1.png的导函数word/media/image2_1.png；

第三步若word/media/image3_1.png，则word/media/image1_1.png为增函数；若word/media/image4_1.png，则word/media/image1_1.png为减函数.

例1 函数的单调递增区间为___________．

【答案】

【解析】

考点：导数与单调性．

【点评】求已知函数word/media/image1_1.png的单调区间的关键是正确求出函数word/media/image1_1.png的导函数word/media/image8_1.png，并正确计算word/media/image9_1.png和word/media/image10_1.png相应的自变量word/media/image11_1.png的取值范围.

【变式演练1】若word/media/image12_1.png，word/media/image13_1.png，则有（）

A． B．

C．word/media/image16_1.png D．

【答案】C

【解析】

试题分析：word/media/image18_1.png，word/media/image19_1.png，word/media/image20_1.png时，word/media/image21_1.png；word/media/image22_1.png在word/media/image23_1.png上是增函数，又word/media/image13_1.png，.故选C．

考点：利用导数研究函数的单调性．

【变式演练2】函数，的单调减区间为．

【答案】（0，word/media/image27_1.png）（可写为word/media/image28_1.png）

【解析】

考点：1.函数的求导法则；2.利用导数求单调区间；

【变式演练3】设word/media/image30_1.png，则word/media/image31_1.png，word/media/image32_1.png，word/media/image33_1.png的大小关系是（）

A．word/media/image34_1.png B． C． D．

【答案】A

【解析】

试题分析：令word/media/image38_1.png，则word/media/image39_1.png，所以函数word/media/image40_1.png为增函数，所以word/media/image41_1.png，所以word/media/image42_1.png，即word/media/image43_1.png，所以word/media/image44_1.png；又因为，所以，故应选word/media/image47_1.png.

考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用.

【变式演练4】若，则word/media/image49_1.png的解集为（）

A．word/media/image50_1.png B．word/media/image51_1.png C．word/media/image52_1.png D．word/media/image53_1.png

【答案】C

【解析】

试题分析：函数word/media/image54_1.png的定义域为word/media/image55_1.png，,所以word/media/image49_1.png的解集为word/media/image52_1.png,故选C．

考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用.

类型二求含参数的函数的单调区间

使用情景：函数word/media/image1_1.png的解析式中含有参数

解题模板：第一步计算函数word/media/image1_1.png的定义域并求出函数word/media/image1_1.png的导函数word/media/image2_1.png；

第二步讨论参数的取值范围，何时使得导函数word/media/image2_1.png按照给定的区间大于0或小于0；

第三步求出不同情况下的极值点进而判断其单调区间.

例2 已知函数．讨论函数word/media/image58_1.png的单调区间.

【答案】当时，word/media/image60_1.png在word/media/image61_1.png内单调递增，word/media/image60_1.png在word/media/image62_1.png内单调递减；当word/media/image63_1.png时，word/media/image64_1.png在word/media/image65_1.png单调递增；当时，word/media/image60_1.png在内单调递增，word/media/image60_1.png在内单调递减．（其中word/media/image69_1.png ）.

【点评】解决含参数的函数的单调区间的关键是正确地讨论word/media/image71_1.png与word/media/image72_1.png的大小关系，并正确地判断导数的符号，进而确定函数的单调区间.

【变式演练5】若函数word/media/image73_1.png在区间word/media/image74_1.png上单调递增，则实数word/media/image75_1.png的取值范围是__________．

【答案】word/media/image76_1.png

【解析】

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．

【变式演练6】已知.

（1）讨论的单调性；

（2）当word/media/image80_1.png时, 证明word/media/image81_1.png对于任意的word/media/image82_1.png成立.

【答案】（1）当word/media/image83_1.png时,word/media/image84_1.png在word/media/image85_1.png内单调递增,在word/media/image86_1.png内单调递减, 当时,word/media/image84_1.png在word/media/image85_1.png内单调递增,在内单调递减,在内单调递增,当时,word/media/image84_1.png在word/media/image91_1.png内单调递增, 当word/media/image92_1.png时,word/media/image84_1.png在word/media/image93_1.png内单调递增,在word/media/image94_1.png内单调递减, 在word/media/image86_1.png单调递增；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）求出原函数的导函数，然后对word/media/image95_1.png分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；

（2）构造函数word/media/image96_1.png，令word/media/image97_1.png，word/media/image98_1.png．则

，利用导数分别求与的最小值得到恒成立．由此可得word/media/image103_1.png对于任意的word/media/image104_1.png成立．

试题解析：（1）word/media/image105_1.png的定义域为word/media/image106_1.png,当word/media/image83_1.png时,word/media/image107_1.png 时,word/media/image108_1.png 单调递增, word/media/image109_1.png时, 单调递减,当时,word/media/image112_1.png.

①时,, 当word/media/image114_1.png或word/media/image115_1.png时,word/media/image116_1.png 单调递增, 当word/media/image117_1.png时, word/media/image118_1.png 单调递减.

②时,word/media/image119_1.png, 在内, 单调递增.

（2）证明: 由（1）知word/media/image123_1.png时,

word/media/image124_1.png,

设word/media/image125_1.png,则word/media/image126_1.png,

由word/media/image127_1.png,可得word/media/image128_1.png,当且仅当word/media/image129_1.png时取得等号, 又word/media/image130_1.png,

设,则在单调递减, 因为word/media/image134_1.png,

使得word/media/image135_1.png时,word/media/image136_1.png 时,word/media/image137_1.png 在word/media/image138_1.png内单调递增, 在word/media/image139_1.png内单调递减, 由word/media/image140_1.png,可得,当且仅当时取得等号, 所以,即对于任意的成立.

考点：（1）利用导函数求闭区间上的最值；（2）利用导数研究函数的单调性.

【变式演练7】已知函数word/media/image145_1.png.

（1）若曲线word/media/image146_1.png在点word/media/image147_1.png处的切线与直线word/media/image148_1.png平行，求实数word/media/image149_1.png的值；

（2）若word/media/image150_1.png在定义域上是增函数，求实数word/media/image151_1.png的取值范围；

（3）若，求证.

【答案】（1）word/media/image154_1.png；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用两直线平行,求出word/media/image156_1.png的值；（2）利用恒成立,转化为求word/media/image157_1.png的最小值；（3）由函数word/media/image158_1.png的单调性, 所以word/media/image159_1.png,代入化简得证.

（3）∵，∴word/media/image161_1.png，要证，即证

令，word/media/image158_1.png

由（2）知，在word/media/image165_1.png上是增函数，∴word/media/image159_1.png.

故，即.

考点：1.两直线平行的条件；2.基本不等式；3.导数的应用.

【变式演练8】函数．讨论word/media/image167_1.png的单调性．

【答案】当word/media/image168_1.png时，word/media/image169_1.png在word/media/image170_1.png上单调递减，当word/media/image171_1.png时，word/media/image172_1.png在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，当word/media/image176_1.png时，word/media/image177_1.png在word/media/image178_1.png上单调递减，在word/media/image179_1.png上单调递增，在word/media/image180_1.png上单调递减．

【解析】

考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）根的存在性及根的个数判断．

【变式演练9】已知函数word/media/image182_1.png，，其中a∈R.

（Ⅰ）当a＝1时，判断f（x）的单调性；

（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围

【答案】（Ⅰ）在（0，＋∞）上单调递增．（Ⅱ）a≥word/media/image184_1.png

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求函数导数并确定导函数符号：，即得函数在定义域上单调递增（Ⅱ）g（x）在其定义域内为增函数，等价于g′（x）≥0恒成立，再利用变量分离法将其转化为对应函数最值：的最大值，最后利用基本不等式求word/media/image187_1.png最大值word/media/image188_1.png得正实数a的取值范围.

试题解析：（1）由word/media/image189_1.png得定义域为（0，＋∞），word/media/image190_1.png，

当a＝1时，word/media/image191_1.png， f（x）在（0，＋∞）上单调递增．

考点：利用导数研究函数单调性

【思路点睛】导数与函数的单调性

（1）函数单调性的判定方法：设函数y＝f（x）在某个区间内可导，如果f′（x）＞0，则

y＝f（x）在该区间为增函数；如果f′（x）＜0，则y＝f（x）在该区间为减函数.

（2）函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.

【高考再现】

1.【2016高考天津理数】（本小题满分14分）

设函数word/media/image193_1.png,，其中word/media/image195_1.png，(I)求word/media/image196_1.png的单调区间；

【答案】（Ⅰ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：word/media/image197_1.png，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当时，有恒成立，所以的单调增区间为word/media/image201_1.png.②当word/media/image202_1.png时，存在三个单调区间

试题解析：（Ⅰ）解：由word/media/image203_1.png，可得word/media/image197_1.png.

下面分两种情况讨论：

（1）当word/media/image204_1.png时，有word/media/image205_1.png恒成立，所以word/media/image196_1.png的单调递增区间为word/media/image206_1.png.

（2）当word/media/image207_1.png时，令，解得，或.

当变化时，word/media/image212_1.png，word/media/image213_1.png的变化情况如下表：

所以word/media/image213_1.png的单调递减区间为word/media/image217_1.png，单调递增区间为word/media/image215_1.png，.

【名师点睛】求可导函数单调区间的一般步骤：

(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；

(2)求导函数f′(x)；

(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．

(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．

2.【2015高考湖南，文8】设函数，则word/media/image221_1.png是( )

A、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B、奇函数，且在（0,1）上是减函数

C、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D、偶函数，且在（0,1）上是减函数

【答案】A

【解析】

【考点定位】利用导数研究函数的性质

【名师点睛】利用导数研究函数word/media/image221_1.png在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求word/media/image223_1.png；(2)确认word/media/image223_1.png在(a，b)内的符号；(3)作出结论：word/media/image224_1.png时为增函数；word/media/image225_1.png时为减函数．研究函数性质时，首先要明确函数定义域.

3. 【2015课标2理12】设函数word/media/image226_1.png是奇函数word/media/image227_1.png的导函数，word/media/image228_1.png，当时，

，则使得成立的word/media/image232_1.png的取值范围是（）

A．word/media/image233_1.png 　　　B．word/media/image234_1.png

C．word/media/image235_1.png 　　　D．word/media/image236_1.png

【答案】A

【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质．

【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．

4.【2015高考安徽，文21】已知函数word/media/image238_1.png

（Ⅰ）求word/media/image239_1.png的定义域，并讨论的单调性；

【答案】（Ⅰ）递增区间是（-r,r）;递减区间为（-∞，-r）和（r，+∞）；（Ⅱ）极大值为100；无极小值.

【考点定位】本题主要考查了函数的定义域、利用导数求函数的单调性，以及求函数的极值等基础知识.

【名师点睛】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求和word/media/image243_1.png时要注意，本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力.

5.【2015高考福建，文22】已知函数word/media/image244_1.png．(Ⅰ)求函数word/media/image245_1.png的单调递增区间；

【答案】(Ⅰ) word/media/image246_1.png；

【解析】（I）word/media/image247_1.png，word/media/image248_1.png．

由word/media/image249_1.png得解得．

故word/media/image245_1.png的单调递增区间是word/media/image246_1.png．

【考点定位】导数的综合应用．

【名师点睛】利用导数判断或求函数的单调区间，通过不等式或求解，但是要兼顾定义域；利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意word/media/image254_1.png与word/media/image255_1.png不等价，word/media/image255_1.png只是word/media/image254_1.png的特例，但是也可以利用它来证明，在2014年全国Ⅰ卷理科高考21题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续．

6.【2015高考福建，理10】若定义在word/media/image256_1.png上的函数word/media/image257_1.png 满足word/media/image258_1.png ，其导函数word/media/image259_1.png 满足word/media/image260_1.png ，则下列结论中一定错误的是（）

A． B． C．word/media/image263_1.png D．

【答案】C

【考点定位】函数与导数．

【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．

7.【2015高考江苏，19】（本小题满分16分）

已知函数word/media/image266_1.png.（1）试讨论word/media/image267_1.png的单调性；

【答案】（1）当word/media/image268_1.png时， word/media/image269_1.png在word/media/image270_1.png上单调递增；

当时，在，word/media/image274_1.png上单调递增，在word/media/image275_1.png上单调递减；

当word/media/image276_1.png时，在word/media/image277_1.png，word/media/image278_1.png上单调递增，在word/media/image279_1.png上单调递减．

【考点定位】利用导数求函数单调性.

【名师点晴】求函数的单调区间的步骤：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；④确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．

8.【2015高考天津，理20（本小题满分14分）已知函数word/media/image281_1.png，其中.

(I)讨论的单调性；

【答案】(I) 当word/media/image284_1.png为奇数时，word/media/image285_1.png在word/media/image286_1.png，word/media/image287_1.png上单调递减，在word/media/image288_1.png内单调递增；当word/media/image289_1.png为偶数时，word/media/image285_1.png在word/media/image286_1.png上单调递增，word/media/image285_1.png在word/media/image287_1.png上单调递减.

【解析】(I)由word/media/image290_1.png，可得，其中word/media/image291_1.png且，

下面分两种情况讨论：

(2)当word/media/image289_1.png为偶数时，

当word/media/image294_1.png，即word/media/image295_1.png时，函数word/media/image285_1.png单调递增；

当，即时，函数word/media/image285_1.png单调递减.

所以，word/media/image285_1.png在word/media/image286_1.png上单调递增，word/media/image285_1.png在word/media/image287_1.png上单调递减.

9.【2015高考四川，理21】已知函数，其中word/media/image299_1.png.

（1）设word/media/image300_1.png是word/media/image301_1.png的导函数，评论word/media/image300_1.png的单调性；

【答案】（1）当word/media/image302_1.png时，word/media/image303_1.png在区间word/media/image304_1.png上单调递增，在区间word/media/image305_1.png上单调递减；当时，word/media/image303_1.png在区间上单调递增.

【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.

【名师点睛】本题作为压轴题，难度系数应在0.3以下.导数与微积分作为大学重要内容，在中学要求学生掌握其基础知识，在高考题中也必有体现.一般地，只要掌握了课本知识，是完全可以解决第（1）题的，所以对难度最大的最后一个题，任何人都不能完全放弃，这里还有不少的分是志在必得的.解决函数题需要的一个重要数学思想是数形结合，联系图形大胆猜想. 在本题中，结合待证结论，可以想象出的大致图象，要使得word/media/image310_1.png在区间word/media/image311_1.png内恒成立，且word/media/image312_1.png在word/media/image313_1.png内有唯一解，则这个解word/media/image314_1.png应为极小值点，且极小值为0，当word/media/image315_1.png时，的图象递减；当word/media/image316_1.png时，的图象单调递增，顺着这个思想，便可找到解决方法.

【反馈练习】

1. 【2015-2016年河北保定一中高二下第一次段考数学试卷，文5】函数的单调递减区间是（）

A． word/media/image319_1.png B． C．word/media/image321_1.png D． word/media/image322_1.png

【答案】B

【解析】

试题分析：word/media/image323_1.png,令word/media/image324_1.png得word/media/image325_1.png.所以函数word/media/image326_1.png的单调减区间为.故B正确.

考点：用导数求单调性.

2. 【2015-2016学年四川省达州市高二下学期期末考试数学，试卷理3】函数的单调递增区间是（）

A． B．word/media/image330_1.png C．word/media/image331_1.png D．word/media/image332_1.png

【答案】C

考点：用导数求函数的单调性．

3. 【2017届新疆生产建设兵团二中高三上月考二数学试卷，文10】若函数word/media/image334_1.png在word/media/image335_1.png内是减函数，则实数word/media/image336_1.png的取值范围为（）

A．word/media/image337_1.png B．

C． D．

【答案】B

【解析】

试题分析：word/media/image341_1.png，由函数word/media/image334_1.png在word/media/image335_1.png内是减函数等价于word/media/image342_1.png，word/media/image343_1.png恒成立，即word/media/image344_1.png，

得word/media/image345_1.png，解得word/media/image346_1.png，故选B．

考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）恒成立问题．

4. 【2016届新疆乌鲁木齐八一中学高三上学期月考一数学试卷，理8】word/media/image347_1.png是函数的导数，函数是增函数（是自然对数的底数），与word/media/image352_1.png的大小关系是（）

A．word/media/image353_1.png B．word/media/image354_1.png

C．word/media/image355_1.png D．word/media/image356_1.png

【答案】D

【解析】

试题分析：令word/media/image357_1.png，则word/media/image358_1.png，∵函数是增函数，，即word/media/image361_1.png，故选D．

考点：利用导数研究函数的单调性

5. 【2016届河南郑州一中教育集团高三押题二数学试卷，文12】定义在上的函数word/media/image363_1.png满足：word/media/image364_1.png，word/media/image365_1.png，则不等式word/media/image366_1.png（其中word/media/image367_1.png为自然对数的底数）的解集为．

【答案】word/media/image368_1.png

【解析】

考点：利用导数研究函数的单调性．

6. 【2014-2015学年四川省达州市高二下学期期末考试数学试卷，理6】已知，是word/media/image372_1.png的导数，word/media/image373_1.png和word/media/image374_1.png单调性相同的区间是（）

A．word/media/image375_1.png B．word/media/image376_1.png和word/media/image377_1.png

C．word/media/image378_1.png D．word/media/image379_1.png

【答案】B

【解析】

试题分析：，在区间与上，word/media/image383_1.png，所以函数word/media/image384_1.png单调递增区间为word/media/image385_1.png与word/media/image386_1.png，在区间word/media/image387_1.png上，word/media/image388_1.png，所以函数word/media/image384_1.png单调递减区间为word/media/image389_1.png。函数的递增区间为，递减区间为，所以word/media/image384_1.png和单调性相同的区间为：在区间上均为减函数，在区间word/media/image386_1.png上均为增函数，故选B.

考点：导数与函数的单调性.

7. 【2014-2015学年山东省济南一中高二下学期期末理科数学试卷，理7】已知函数word/media/image394_1.png在上是单调函数，则实数a的取值范围是（）

A． B．word/media/image397_1.png

C．word/media/image398_1.png D．word/media/image399_1.png

【答案】A

【解析】

考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．

8. 【2016届江西省临川一中高三上学期期中数学试卷，文9】若函数word/media/image401_1.png不是单调函数，则实数word/media/image402_1.png的取值范围是（）．

A．word/media/image403_1.png B． C． D．

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意知，word/media/image408_1.png，要使函数word/media/image401_1.png不是单调函数，则需方程word/media/image409_1.png在上有解，即word/media/image410_1.png，所以word/media/image411_1.png，故选C．

考点：利用导数研究函数的单调性．

9. 【2017届重庆市育才中学高三上学期入学考试数学试卷，文14】函数word/media/image412_1.png在定义域word/media/image413_1.png内可导，若word/media/image414_1.png，且当时，，设，，word/media/image419_1.png，则word/media/image420_1.png，word/media/image421_1.png，word/media/image422_1.png的大小关系为 .