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(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若实数a,b满足b>a>0,且a+b=1,则下列四个数最大的是( )
A.a2+b2B.2ab
C. D.a
答案 A
2.下面使用类比推理正确的是( )
A.“若a·3=b·3,则a=b”类推出“若a·0=b·0,则a=b”
B.“(a+b)·c=ac+bc”类推出“(a·b)·c=ac·bc”
C.“(a+b)·c=ac+bc”类推出“=+(c≠0)”
D.“(ab)n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn”
解析 由类比出的结果正确知,选C.
答案 C
3.下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质;
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°;
③某次考试张军成绩是100分,由此推出全班同学成绩都是100分;
④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得凸多边形内角和是(n-2)·180°.
A.①②B.①③④
C.①②④D.②④
答案 C
4.下面用“三段论”形式写出的演绎推理:因为指数函数y=ax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是增函数,y=()x是指数函数,所以y=()x在(0,+∞)上是增函数.
该结论显然是错误的,其原因是( )
A.大前提错误 B.小前提错误
C.推理形式错误 D.以上都可能
解析 大前提是:指数函数y=ax(a>0,且a≠1)在(0,
+∞)上是增函数,这是错误的.
答案 A
5.若a,b,c不全为0,必须且只需( )
A.abc≠0
B.a,b,c中至多有一个不为0
C.a,b,c中只有一个为0
D.a,b,c中至少有一个不为0
解析 不全为0即至少有一个不为0.
答案 D
6.下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适( )
A.三角形 B.梯形
C.平行四边形 D.矩形
解析 只有平行四边形与平行六面体比较接近.故选C.
答案 C
7.求证:+>.
证明:因为+和都是正数,
所以为了证明+>,
只需证明(+)2>()2,
展开得5+2>5,即2>0,
显然成立,
所以不等式+>.
上述证明过程应用了( )
A.综合法
B.分析法
C.综合法、分析法配合使用
D.间接证法
答案 B
8.若a,b,c均为实数,则下面四个结论均是正确的:
①ab=ba;②(ab)c=a(bc);③若ab=bc,b≠0,则a-c=0;④若ab=0,则a=0或b=0.
对向量a,b,c,用类比的思想可得到以下四个结论:
①a·b=b·a;②(a·b)c=a(b·c);③若a·b=b·c,b≠0,则a=c;④若a·b=0,则a=0或b=0.
其中结论正确的有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
解析 由向量数量积的性质知,只有①正确,其他均错.
答案 B
9.设S(n)=++++…+,则( )
A.S(n)共有n项,当n=2时,S(2)=+
B.S(n)共有n+1项,当n=2时,S(2)=++
C.S(n)共有n2-n项,当n=2时,S(2)=++
D.S(n)共有n2-n+1项,当n=2时,S(2)=++
解析 由分母的变化知S(n)共有n2-n+1项,当n=2时,S(2)=++.
答案 D
10.设f(x)=,又记f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n=1,2,…,则f2013(x)=( )
A. B.
C.xD.-
解析 f1(x)=,f2(x)==-,
f3(x)==,f4(x)=x,f5(x)=,…,
fn+4(x)=fn(x).
∴f2013(x)=f1(x)=.
答案 A
11.观察下表:
1 2 3 4…第一行
2 3 4 5…第二行
3 4 5 6…第三行
4 5 6 7…第四行
⋮⋮⋮⋮
第一列 第二列 第三列 第四列
根据数表所反映的规律,第n行第n列交叉点上的数应为( )
A.2n-1 B.2n+1
C.n2-1 D.n2
解析 观察数表可知,第n行第n列交叉点上的数依次为1,3,5,7,…,2n-1.
答案 A
12.对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定:
(a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d;运算“⊗”为:
(a,b)⊗(c,d)=(ac-bd,bc+ad);运算“⊕”为:
(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d).设p、q∈R,若(1,2)⊗(p,q)=(5,0),则(1,2)⊕(p,q)等于( )
A.(4,0) B.(2,0)
C.(0,2) D.(0,-4)
解析 由运算的定义知(1,2) (p,q)=(p-2q,2p+q)=(5,0),
∴解得
∴(1,2) (p,q)=(1,2) (1,-2)=(2,0).
答案 B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填在题中横线上)
13.对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题:“__________________________________________
_______________________________________________________”.
答案 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直,那么这两个二面角相等或互补
14.若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实数根,则实数a的取值范围是________.
解析 假设这两个方程都没有实数根,则
即
即
∴-2<a<-1.
故两个方程至少有一个有实数根,a的取值范围是a≤-2或a≥-1.
答案 (-∞,- 2]∪
(2) 使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”,这个论据是假的,因为两个无理数的和不一定是无理数,因此原题的真实性仍无法判定.
(3)利用反证法进行证明时,要把假设作为条件进行推理,得出矛盾,本题在证明过程中并没有用到假设的结论,也没有推出矛盾,所以不是反证法.
19.(12分)证明:若a>0,则-≥a+-2.
证明 ∵a>0,要证-≥a+-2,
只需证+2≥a++,
只需证(+2)2≥(a++)2,
即证a2++4+4≥a2++4+2 (a+),
即证≥(a+),
即证a2+≥(a2++2),
即证a2+≥2,
即证(a-)2≥0,
该不等式显然成立.
∴-≥a+-2.
20.(12分)已知数列{an}和{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn.
求证:数列{cn}不是等比数列.
证明 假设{cn}是等比数列,则c1,c2,c3成等比数列.设{an},{bn}的公比分别为p和q且p≠q,则a2=a1p,a3=a1p2,b2=b1q,b3=b1q2.
∵c1,c2,c3成等比数列,
∴c=c1·c3,
即(a2+b2)2=(a1+b1)(a3+b3).
∴(a1p+b1q)2=(a1+b1)(a1p2+b1q2).
∴2a1b1pq=a1b1p2+a1b1q2.
∴2pq=p2+q2,∴(p-q)2=0.
∴p=q与已知p≠q矛盾.
∴数列{cn}不是等比数列.
21.(12分)如右图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.
(1)求证:PC⊥BC;
(2)求点A到平面PBC的距离.
解 (1)∵PD⊥平面ABCD,
BC⊂平面ABCD,∴PD⊥BC.
由∠BCD=90°,得BC⊥DC.
又PD∩DC=D,∴BC⊥平面PDC.
∵PC⊂平面PDC,∴BC⊥PC,即PC⊥BC.
(2)连接AC.设点A到平面PBC的距离为h,
∵AB∥DC,∠BCD=90°,∴∠ABC=90°.
从而由AB=2,BC=1,得△ABC的面积S△ABC=1,
由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积V=S△ABC·PD=.
∵PD⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,
∴PD⊥DC,又PD=DC=1.
∴PC==.
由PC⊥BC,BC=1,得△PBC的面积S△PBC=,
由V=S△PBC·h=··h=,得h=.
因此,点A到平面PBC的距离为.
22.(12分)已知f(x)=(x≠-,a>0),且f(1)=log162,f(-2)=1.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)已知数列{xn}的项满足xn=…,试求x1,x2,x3,x4;
(3) 猜想{xn}的通项公式.
解 (1) 把f(1)=log162=,f(-2)=1,代入函数表达式得
即
解得(舍去a=-<0),
∴f(x)=(x≠-1).
(2) x1=1-f(1)=1-=
x2==×(1-)=
x3==×(1-)=,
x4=×(1-)=.
(3) 由(2)知,x1=,x2==,x3=,x4==,…,由此可以猜想xn=.
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