微专题：椭圆中斜率之积为定值的问题探究

微专题：解析几何中斜率之积为定值（8458ed75b789788687e7f937e21a4994.png）的问题探究

【教学重点】掌握椭圆中8458ed75b789788687e7f937e21a4994.png的形成的路径探寻及成果运用理性判断

【教学难点】运算的设计和化简

活动一：8458ed75b789788687e7f937e21a4994.png形成的路径探寻

1. 若AB是椭圆3edead31d5bc3b76f260246dc82b727d.png上的不过原点的弦，点P是弦AB的中点，且直线OP,AB 的斜率都存在，求0343f784c253c390225656bebcf1c106.png．

【解析】 ：设点3dd2b46fe0a6e95d1eed6b4e912a5229.png，36d096f7d525a6f569ea030c7e84d4c3.png，0ff78994e25d20f2d72e310f8fa2a767.png，

则有2b15870e782418fa0ad3e09ea5fd4a41.png（代点作差）

将①式减②式得，，，

所以所以，

即0fa4bbbc2c0c2f9b9d9a192914ce5e32.png．

【结论形成总结】

2.已知AB是椭圆3edead31d5bc3b76f260246dc82b727d.png上过原点的弦，点P是椭圆异于A,B的任意一点，

若直线PA,PB的斜率都存在，记直线PA,PB的斜率分别为3b18bd697b6d8ffe0b28fd24e1f9b861.png．求f8fc48990499fb478923bd24dcdf0c52.png的值。

【解法1】：设3dd2b46fe0a6e95d1eed6b4e912a5229.png，36d096f7d525a6f569ea030c7e84d4c3.png又因为A,B是关于原点对称，

所以点B的坐标为f6387ea045e6b98f3ebfb415239278e9.png，所以be1e0517fc797c9220515bfe79130dd4.png．

又因为点3dd2b46fe0a6e95d1eed6b4e912a5229.png，36d096f7d525a6f569ea030c7e84d4c3.png在椭圆上，所以有ffb33acaf71542c507feb5e587369527.png

两式相减得，

03a3ecaf752f538888c311174ac13ec8.png，所以8458ed75b789788687e7f937e21a4994.png．

【方法小结】本解法从设点入手，利用“点在曲线上”代点作差使用“点差法”。

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【解法2】椭圆圆化；由圆的结论类比到椭圆中。

过圆96597b64664f07a4c5cd937756976fa1.png上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值bb6b87450c6ba99009c31877205e046b.png

类比上述圆的结论通过伸缩变换椭圆圆化

令bb0ad7266c04fdeb1382f0e8359ff55e.png 则有 a21434dfc9da085834244a8e64fc115f.png

68f6e41560f087f02815f8a32db34968.png； 点P,A,B为椭圆上点

0edac32b0cd6eef7274c2e3314e25e19.png 点p’,A’,B’为新圆上点

9048a6ae06fe63eecbf34de75b3c3425.png 由圆上的b47ccf46553980f9116a5a1564629fdb.png的关系过渡到PA,PB上

d059aabaf08e393179a6028c5c7cde48.png

【方法小结】解法2运用类比联想的方法；由圆的结论过渡到椭圆，学生易于理解，但通过伸缩变换将椭圆圆化的过程对于学生的能力具有一定的要求。这也正是我们要加强训练的地方。

【结论形成总结】

活动二：8458ed75b789788687e7f937e21a4994.png结论的应用

【例1】

（1）已知椭圆C：a780419b4176b5d9bb649ea7fc455bbc.png，直线m与椭圆C相交于A,B两点，且AB的中点为P(1,1)

则直线m的方程为

【解析】本题具有弦中点的特征所以应用结论1e726b8f1726487087ab802e6e1486a25.png

因为P(1,1)易求ae5c43659af168e221796b107f7673ca.png的，所以d281b7a903fc9eee78567319373a2253.png

所以直线m的方程为：x+2y-3=0

（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆055e12fe9d07e12b9d419044d9cbdcb8.png的左、右焦点，B，

word/media/image35.gifC 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为word/media/image36_1.png. 若f05fddcc756e1422c523591253aefefe.png，则直线word/media/image38_1.png的斜率为 .

【解析】观察图形易发现BC具有中心弦的特征选用结论2

因为f05fddcc756e1422c523591253aefefe.png所以0b90f46a3acea78bba13605b9c983b06.png

所以8f821753b4519f624dabfa4f0e90ef5b.png;在352d4a114a9cdb9d213060cdce176107.png中易知0ea128969c5077737afc95a1f6c340f8.png

c47c704adc79f4da449aae39786e9308.png 66daabc8e9be69fe0f65c072b76e1cd5.png

所以直线BD的倾斜角为ae2c74a8e04142978bc6332847906c09.png所以直线BD的斜率为e2936f02612f23ef4a45b5d32590b203.png;

由结论可知1ca72304d5f9304a831ee02a71a9cdb9.png所以58c8b2916a237a92d6747b31ca48e736.png

【方法小结】通过两道小题强化结论的应用；并让学生能够通过图形自主发现中点弦，中心弦的特征，从而合理巧妙的应用结论。

【例2】如图，椭圆9824c84865112a34ecf9cd741f274250.png中，A,B分别为椭圆的左右顶点，c7b5cb501695b127a4a5203ecdf63d70.png是椭圆的右准线，

P是椭圆上的动点，直线AP,BP分别交c7b5cb501695b127a4a5203ecdf63d70.png于M,N，求线段MN的最小值。

【解析】【设K法】

设直线AP的斜率为K（k>0），则直线AP的方程为：y=k(x+2);

又MN的方程为x=4.易求M(4,6K);

de3b57ae70159f4ce1dd8a008594d5c1.png又A(-2,0);设3dd2b46fe0a6e95d1eed6b4e912a5229.png

17a4a21f80fa6d9c92acbfc9d6772586.png1e262e9317476bcfc85939d7e1ed7340.png6464fd52ab9df1b98e7e0e22fdd2d290.png

又点B（2,0）；所以0d257e919dfb30eb60afe9d7325785f5.png；所以直线PB的方程为：a8a0ae7f5d794b76211f2fa14a8b6f03.png；令x=4得

ddc97e3d8b780e802b10eb4596184980.png；所以16d8d89bb6fbfe8bd66e4d23033c08a8.png

解法二：【利用中心弦结论06a4f0190bdc10f9fc78656d49353f3f.png】

设直线AP的方程为：y=k(x+2);因为6758a485703546d3da96d67db25c760f.png

所以直线PB的方程为：a8a0ae7f5d794b76211f2fa14a8b6f03.png；易得M(4,6K)；ddc97e3d8b780e802b10eb4596184980.png

所以16d8d89bb6fbfe8bd66e4d23033c08a8.png

解法三：【设点法】

设M(4,m)(m>0);N(4,n)(n<0);A(-2,),B(2,0)e5d7cbd114aae9d6075d4c9af152d7b7.png

6291c18ce27a77d2967d49b2df630519.png

b0d5c4f209cbb7464ac1e0ac9c636ede.png

【点评】三种方法两个角度：显然从设点和设K的角度处理问题结合中心弦的结论能够快速计算找到解题的突破口。

【拓展延伸】

在平面直角坐标系xOy中，设A,B为椭圆6b27131f0c0b2338c0191265e22b7e27.png 上异于顶点的两点。

（1）若OA,OB的斜率之积为b5a9867e53fa53c95c2bea1cdedc0a4e.png，求证：e40233f19fa33225117f621f07c96328.png为定值；

（2）若OA,OB的斜率之积为b5a9867e53fa53c95c2bea1cdedc0a4e.png，求证：线段AB的中点C在某个定椭圆上。

【解析】第一小问设7c70bc6f262177f91476159ab728b407.png；66155eeddea7c6e2ea8d5587c165ed35.png

9b4fa5944e8d86ca8a9038dc7f89fed8.png；又因为点A,B在椭圆上

208134c4eb88c4942f95f83a375bb1ba.png代入上式得：

4489c4bf7a501cde2c832a30a9adb9ce.png

35c7163c4b9a35c97f7483b507e7db95.png（2）设804af6f57f0de6b7fb92d3a797888f05.png;因为C为AB中点

fb9f66ffe329bbb42d9c54163cdaaf5a.png因为66155eeddea7c6e2ea8d5587c165ed35.png

ff6874150a00df50d02059ca7861fb44.png；所以（1）+（2）×2可得

65929fe3f30d3859d0863e2c7ebb1447.png

【探究形成结论】

在平面直角坐标系xOy中，设A,B为椭圆3edead31d5bc3b76f260246dc82b727d.png 上异于顶点的两点。

（1）若OA,OB的斜率之积为4ebc5b837a457f2e4c0a76a4287576bb.pngcbfae14095503255960577479d15f78e.png；

【解析】设7c70bc6f262177f91476159ab728b407.png；a9efad8ed1140efbbe377cd1a47248a4.png

ed7c8a3240e7ec93c5f12aa85524d8a3.png；又因为点A,B在椭圆上

a82bfca7cb5b6c035f1e98fa61606969.png移项得：

208a303270f2bbd735ccc3c09c89fb7c.png由（1）6392228661363e75c352077a2cfe66d7.png（2）得：

2d795333f980087b7852bee0c21b756d.png

由（1）+（2）得：ff05d4732e2750dbe48c694e042fb006.png

885a6919408f3ce26b412360417e6633.png

(2)若OA,OB的斜率之积为0bae41c790a6f8fd22e31fd6b63ac346.png，求证：线段AB的中点C在某个定椭圆上。

设804af6f57f0de6b7fb92d3a797888f05.png;因为C为AB中点

fb9f66ffe329bbb42d9c54163cdaaf5a.png

因为a9efad8ed1140efbbe377cd1a47248a4.png

f34e9b039ed43623c94d7d960f71075e.png；所以9859b7dc5e74b419f76b5192dd80b492.png可得

6e49b8f7419867d803846cd13cd72c41.png

9250d2ceda23a7c6b33fb4a2f29bef7a.png

【小结】伴生结论：2495311cfa4475354f1efa9bb53c315b.png

【巩固练习】

1.（2011江苏卷18）如图，在平面直角坐标系4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png中，M、N分别是椭圆10fdea29126ac54c87a94f22b646b2b1.png的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k，对任意k>0，证明：65a1262204261a274bff1274bb58d430.png

法一：运用点差法求解；主要应用上述结论推导过程中设点作差的思想方法。

由题意设aa3097b1c215ec80c63eed455cb6b006.png，

f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.pngA、C、B三点共线，48bb530f21ebdc609e5ba331d800c9b2.png又因为点P、B在椭圆上，

6dfcd0b8958be11d415d61fed1877280.png，两式相减得：8bee6a78656e08c843b86b3b0c43d85c.png

c2d632e39d32e1d35f89d63bbae3cbf8.pnge6b60bcaf9c5df011ef963aa7162e7f8.png

法二：注意有中心弦的特征所以尝试运用结论1的方法

由题意设aa3097b1c215ec80c63eed455cb6b006.png，ac15c012684dca57a12183d773a6cbb4.png；

5f0148c8c31f82841008e8c6ad1e75be.png;由结论1：a39e84d150a8f94611ac0d7418a2127b.png;用43f973e67debb6b0767d16b099fbb045.png

则bcf30b007e3c87f9b91f42c60930ff22.pnge6b60bcaf9c5df011ef963aa7162e7f8.png

法三：因为AB不是中心弦，通过构造弦AB中点尝试运用结论2的方法

设b6f4d82fe5f605a9dd0522151734ea75.png,

f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.pngA、C、B三点共线，71fa05e77623ee86490267262b1f98b6.png又因为点A、B在椭圆上,

f53b15d734ffa1a30f31c59abf70438c.png,两式相减得：218c4eed9d0819bad6f8bbd773c286ca.png,

6a382d3594945615733bbb10e35ab16d.png,267951ddb74b2c852b7b74e9772deeea.png

【点评】通过一道例题将上述结论的探究方法（设点法，点差法等）以及两个结论都的到了运用。起到了典例示范的作用，并通过三种方法的对比训练学生发现中心弦特征；挖掘弦中点的方法技巧；真正起到学以致用的作用。

2. 如图，已知椭圆cd6c5fa312327dca33de3b38e475deba.png:3edead31d5bc3b76f260246dc82b727d.png椭圆9894e1782026d63bc5aa51469b293595.png：f59cfdfde701cac7a8697d36aed2c2c9.png，

椭圆cd6c5fa312327dca33de3b38e475deba.png的离心率为a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.png，P在椭圆9894e1782026d63bc5aa51469b293595.png上，过点P的直线L交椭圆cd6c5fa312327dca33de3b38e475deba.png于A,B两点，且

28c388d01cffbbdf205191402ded58e7.png,若直线OP,OA的斜率之积为b5a9867e53fa53c95c2bea1cdedc0a4e.png，求实数6af8e2f02f674b41b6ccf43debc252d2.png的值。

【解析】方法一： 由题意得eb15e7bf8bdc8cc1a773b49c0fac98f2.png，

f6f21b4da30fe12c79e9290128fea9e4.png，即9062f85f21d4a6250918c926d32f3617.png，

28c388d01cffbbdf205191402ded58e7.png，则aaffeaf9b5414c3e750caaeb35e1129a.png，解得e00af0174f0e343b5611e4001bf38d79.png

所以70dca7b57cc3127ee94dfa236c950298.png

则d5b3e9d5eabcc90342538929f4db903d.png

5e376123688d21a6bb2970c4cf89942f.png

所以4dc1e9c8a09091fddf4283257bc0a5fc.png，即890dd5ab210d829ba97902fd245ed2e6.png，所以7b2fb0956b5f93262f16040d0fd1df07.png

方法二：不妨设点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png在第一象限，设直线15e3bb985fcb5fa344919f6b4b2a13a4.png，

代入椭圆222e235407795e68e50c7fef832a6b46.png，解得4550f6df3d15ec2b61ceb9566fcdc083.png，则50f125ae1874d9b103cfad9be46825a8.png，

直线662f3d8836cf67623d8cbfb123a5bec0.png的斜率之积为7ddf743a44884d9bbc8c1789b835ac41.png，则直线7b087e074e6271e0bfc242198f2f3f5a.png，

代入椭圆fe31e5f0e28c45d66258b50f5386a99a.png，解得41ab0dc91b7e84ec2d70fa888c6b8566.png，则cbb98f38f28f5b1553fe2e5d0e02d87d.png

28c388d01cffbbdf205191402ded58e7.png，则aaffeaf9b5414c3e750caaeb35e1129a.png，解得e00af0174f0e343b5611e4001bf38d79.png，

所以70dca7b57cc3127ee94dfa236c950298.png

则d5b3e9d5eabcc90342538929f4db903d.png

5e376123688d21a6bb2970c4cf89942f.png

所以

efdac79ecbf712a952149a842819e326.png，

即4dc1e9c8a09091fddf4283257bc0a5fc.png，即890dd5ab210d829ba97902fd245ed2e6.png，所以7b2fb0956b5f93262f16040d0fd1df07.png

【课时小结】通过本节课学习掌握以下四个方面

1. 解析几何中设点法，点差法，对称点，点在曲线上等对点的问题处理技巧。

2. 中心弦的特征：bccaace8810d37b5d8380df18f99ebb8.png；

3. 中点弦的特征：4192045eb22ba136304e094521adf59c.png；

4.半弦的性质特征：

若OA,OB的斜率之积为4ebc5b837a457f2e4c0a76a4287576bb.png

2ec019edc046f41f48ee43237b5d63de.png

63f010de75d3bfd11c67b08596646474.png；

7f3ab1ab670ac075daf8a2a35faeba94.png

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/3158b529970590c69ec3d5bbfd0a79563d1ed458.html