2019年上海市高考数学试卷和答案

2019年上海市高考数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）.

1．（4分）已知集合A＝（﹣∞，3），B＝（2，+∞），则A∩B＝　 　．

2．（4分）已知z∈C，且满足＝i，求z＝　 　．

3．（4分）已知向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则与的夹角为　 　．

4．（4分）已知二项式（2x+1）5，则展开式中含x2项的系数为　 　．

5．（4分）已知x，y满足，则z＝2x﹣3y的最小值为　 　．

6．（4分）已知函数f（x）周期为1，且当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，则f（）＝　 　．

7．（5分）若x，y∈R+，且+2y＝3，则的最大值为　 　．

8．（5分）已知数列{an}前n项和为Sn，且满足Sn+an＝2，则S5＝　 　．

9．（5分）过曲线y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2＝4x交于A，B，A在B上方，M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则λ＝　 　．

10．（5分）某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是　 　．

11．（5分）已知数列{an}满足an＜an+1（n∈N*），Pn（n，an）（n≥3）均在双曲线﹣＝1上，则|PnPn+1|＝　 　．

12．（5分）已知f（x）＝|﹣a|（x＞1，a＞0），f（x）与x轴交点为A，若对于f（x）图象上任意一点P，在其图象上总存在另一点Q（P、Q异于A），满足AP⊥AQ，且|AP|＝|AQ|，则a＝　 　．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13．（5分）已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（　　）

A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（1，2）

14．（5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（　　）

A．1 B．2 C．4 D．8

15．（5分）已知ω∈R，函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，使f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（　　）

A． B． C． D．

16．（5分）已知tanα•tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论：

①存在α在第一象限，β在第三象限；

②存在α在第二象限，β在第四象限；

则（　　）

A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知BM＝2，CD＝3，AD＝4，AA1＝5．

（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；

（2）求点A到平面A1MC的距离．

18．（14分）已知f（x）＝ax+，a∈R．

（1）当a＝1时，求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集；

（2）若f（x）在x∈[1，2]时有零点，求a的取值范围．

19．（14分）如图，A﹣B﹣C为海岸线，AB为线段，为四分之一圆弧，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝68°，∠BDA＝58°．

（1）求的长度；

（2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（精确到0.001km）

20．（16分）已知椭圆+＝1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点．

（1）若直线l垂直于x轴，求|AB|；

（2）当∠F1AB＝90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；

（3）若直线AF1交y轴于M，直线BF1交y轴于N，是否存在直线l，使得S＝S，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

21．（18分）数列{an}（n∈N*）有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在an＝ai+d，i∈[1，n﹣1]，若ak与前n项中某一项相等，则称ak具有性质P．

（1）若a1＝1，d＝2，求a4所有可能的值；

（2）若{an}不为等差数列，求证：数列{an}中存在某些项具有性质P；

（3）若{an}中恰有三项具有性质P，这三项和为c，使用a，d，c表示a1+a2+…+a100．

2019年上海市高考数学试卷

答案与解析

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）.

1．【分析】根据交集的概念可得．

【解答】解：根据交集的概念可得A∩B＝（2，3）．

故答案为：（2，3）．

2．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：由＝i，得z﹣5＝，即z＝5+＝5﹣i．

故答案为：5﹣i．

3．【分析】直接利用向量的夹角公式的应用求出结果．

【解答】解：向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），

则，，

所以：cos＝，

故：与的夹角为．

故答案为：

4．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得含x2项的系数值．

【解答】解：二项式（2x﹣1）5的展开式的通项公式为Tr+1＝C5r•25﹣r•x5﹣r，

令5﹣r＝2，求得 r＝3，可得展开式中含x2项的系数值为C53•22＝40，

故答案为：40．

5．【分析】画出不等式组表示的平面区域，由目标函数的几何意义，结合平移直线，可得所求最小值．

【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，

由z＝2x﹣3y即y＝，表示直线在y轴上的截距的相反数的倍，

平移直线2x﹣3y＝0，当经过点（0，2）时，z＝2x﹣3y取得最小值﹣6，

故答案为：﹣6．

6．【分析】由题意知函数f（x）周期为1，所以化简f（）再代入即可．

【解答】解：因为函数f（x）周期为1，所以f（）＝f（），

因为当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，所以f（）＝﹣1，

故答案为：﹣1．

7．【分析】根据基本不等式可得．

【解答】解：3＝+2y≥2，∴≤（）2＝；

故答案为：

8．【分析】由已知数列递推式可得数列{an}是等比数列，且，再由等比数列的前n项和公式求解．

【解答】解：由Sn+an＝2，①

得2a1＝2，即a1＝1，

且Sn﹣1+an﹣1＝2（n≥2），②

①﹣②得：（n≥2）．

∴数列{an}是等比数列，且．

∴．

故答案为：．

9．【分析】直接利用直线和抛物线的位置关系的应用求出点的坐标，进一步利用向量的运算求出结果．

【解答】解：过y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与y2＝4x交于A，B，A在B上方，

依题意：得到：A（1，2）B（1，﹣2），

设点M（x，y），

所以：M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），

则：（x，y）＝λ（1，2）+（λ﹣2）（1，﹣2）＝（2λ﹣2，4），

代入y2＝4x，

得到：λ＝3．

故答案为：3

10．【分析】分别运用直接法和排除法，结合古典概率的公式，以及计数的基本原理：分类和分步，计算可得所求值．

【解答】解：方法一、（直接法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，

总的基本事件个数为1000，

其中恰有两位数字相同的个数为CC＝270，

则其中恰有两位数字相同的概率是＝；

方法二、（排除法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，

总的基本事件个数为1000，

其中三位数字均不同和全相同的个数为10×9×8+10＝730，

可得其中恰有两位数字相同的概率是1﹣＝．

故答案为：．

11．【分析】法一：根据两点之间的距离和极限即可求出，

法二：根据向量法，当n→+∞时，PnPn+1与渐近线平行，PnPn+1在x轴的投影为1，渐近线倾斜角为θ，则tanθ＝，即可求出．

【解答】解：法一：由﹣＝1，可得an＝，

∴Pn（n，），

∴Pn+1（n+1，），

∴|PnPn+1|＝＝

∴求解极限可得|PnPn+1|＝，

方法二：当n→+∞时，PnPn+1与渐近线平行，PnPn+1在x轴的投影为1，渐近线倾斜角为θ，则tanθ＝，

故PnPn+1＝＝

故答案为：．

12．【分析】本题根据题意对函数f（x）分析之后可画出f（x）大致图象，然后结合图象可不妨设点P在左边曲线上，点Q在右边曲线上．设直线AP的斜率为k，联立直线与曲线的方程可得P点坐标，同理可得Q点坐标．再分别算出|AP|、|AQ|，再根据|AP|＝|AQ|及k的任意性可解得a的值．

【解答】解：由题意，可知：

令f（x）＝|﹣a|＝0，解得：x＝+1，

∴点A的坐标为：（+1，0）．

则f（x）＝．

∴f（x）大致图象如下：

由题意，很明显P、Q两点分别在两个分段曲线上，

不妨设点P在左边曲线上，点Q在右边曲线上．

设直线AP的斜率为k，则lAP：y＝k（x﹣﹣1）．

联立方程：，

整理，得：kx2+[a﹣k（+2）]x+k（+1）﹣a﹣2＝0．

∴xP+xA＝﹣＝+2﹣．

∵xA＝+1，

∴xP＝+2﹣﹣xA＝1﹣．

再将xP＝1﹣代入第一个方程，可得：

yP＝﹣a﹣．

∴点P的坐标为：（1﹣，﹣a﹣）．

∴|AP|＝

＝

＝．

∵AP⊥AQ，

∴直线AQ的斜率为﹣，则lAQ：y＝﹣（x﹣﹣1）．

同理类似求点P的坐标的过程，可得：

点Q的坐标为：（1﹣ak，a+）．

∴|AQ|＝

＝

＝

∵|AP|＝|AQ|，及k的任意性，可知：

＝a2，解得：a＝．

故答案为：．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13．【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量．

【解答】解：依题意，（2，﹣1）为直线的一个法向量，∴方向向量为（1，2），

故选：D．

14．【分析】直接利用圆锥的体积公式求得两个圆锥的体积，作比得答案．

【解答】解：如图，

则，，

∴两个圆锥的体积之比为．

故选：B．

15．【分析】直接利用三角函数的性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果．

【解答】解：由于函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，

f（x+a）为偶函数，

则：f（x+a）＝（x+a﹣6）2•sin[ω（x+a）]，

由于函数为偶函数，

故：a＝6，

所以：，

当k＝1时．ω＝

故选：C．

16．【分析】考虑运用二次方程的实根的分布，结合导数判断单调性可判断①；运用特殊值法，令tanα＝﹣，结合两角和的正切公式，计算可得所求结论，可判断②．

【解答】解：由tanα•tanβ＝tan（α+β），

即为tanα•tanβ＝，

设m＝tanα，n＝tanβ，可得n2m2+n（1﹣m）+m＝0，

若m＞0，可得上式关于n的方程有两个同号的根，若为两个正根，可得n＞0，

即有m＞1，考虑△＝f（m）＝（1﹣m）2﹣4m3，f′（m）＝2m﹣2﹣8m2＝﹣8（m﹣）2﹣，

当m＞1时，f（m）递减，可得f（m）＜f（1）＝﹣4＜0，则方程无解，

β在第三象限不可能，故①错；

可令tanα＝﹣，

由tanα•tanβ＝tan（α+β），

即为tanα•tanβ＝，

可得﹣tanβ＝，

解得tanβ＝﹣6±，存在β在第四象限，故②对．

故选：D．

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17．【分析】（1）由题意可得A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA，判断△A1CA为等腰三角形，即可求出，

（2）如图建立坐标系，根据向量的关系可得点A到平面A1MC的距离d＝，求出法向量即可求出．

【解答】解：（1）依题意：AA1⊥平面ABCD，连接AC，则A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA，

∵AA1＝5，AC＝＝5，

∴△A1CA为等腰三角形，

∴∠A1CA＝，

∴直线A1C和平面ABCD的夹角为，

（2）（空间向量），如图建立坐标系，

则A（0，0，0），C（3，4，0），A1（0，0，5），M（3，0，2），

∴＝（3，4，0），＝（3，4，﹣5），＝（0，4．﹣2），

设平面A1MC的法向量＝（x，y，z），

由，可得＝（2，1，2），

∴点A到平面A1MC的距离d＝＝＝．

18．【分析】（1）直接利用转换关系，解分式不等式即可．

（2）利用分离参数法和函数的值域的应用求出参数的范围．

【解答】解：（1）f（x）＝ax+（a∈R）．

当a＝1时，f（x）＝x+．

所以：f（x）+1＜f（x+1）转换为：x++1，

即：，

解得：﹣2＜x＜﹣1．

故：{x|﹣2＜x＜﹣1}．

（2）函数f（x）＝ax+在x∈[1，2]时，f（x）有零点，

即函数在该区间上有解，

即：，

即求函数g（x）在x∈[1，2]上的值域，

由于：x（x+1）在x∈[1，2]上单调，

故：x（x+1）∈[2，6]，

所以：，

故：

19．【分析】（1）由题意可求BC，及弧BC所在的圆的半径R，然后根据弧长公式可求；

（2）根据正弦定理可得，，可求sinA，进而可求A，进而可求∠ABD，根据三角函数即可求解．

【解答】解：（1）由题意可得，BC＝BDsin22°，弧BC所在的圆的半径R＝BCsin＝，

弧BC的长度为＝＝＝16.310km；

（2）根据正弦定理可得，，

∴sinA＝＝0.831，A＝56.2°，

∴∠ABD＝180°﹣56.2°﹣58°＝65.8°，

∴DH＝BD×sin∠ABD＝35.750km＜CD＝36.346km

∴D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离为35.750km

20．【分析】（1）由题意方程求得右焦点坐标，进一步求得A，B的坐标，则|AB|可求；

（2）设A（x1，y1），由∠F1AB＝90°（∠F1AF2＝90°），利用数量积为0求得x1与y1的方程，再由A在椭圆上，得x1与y1的另一方程，联立即可求得A的坐标．得到直线AB的方程，与椭圆方程联立即可求得B的坐标；

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y3），N（0，y4），直线l：x＝my+2，联立直线方程与椭圆方程，结合S＝S，得2|y1﹣y2|＝|y3﹣y4|，再由直线AF1 的方程：，得M纵坐标，由直线BF1 的方程：，得N的纵坐标，结合根与系数的关系，得||＝4，解得m值，从而得到直线方程．

【解答】解：（1）依题意，F2（2，0），当AB⊥x轴时，则A（2，），B（2，﹣），得|AB|＝2；

（2）设A（x1，y1），∵∠F1AB＝90°（∠F1AF2＝90°），

∴＝，

又A在椭圆上，满足，即，

∴，解得x1＝0，即A（0，2）．

直线AB：y＝﹣x+2，

联立，解得B（，﹣）；

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y3），N（0，y4），

直线l：x＝my+2，

则，

．

联立，得（m2+2）y2+4my﹣4＝0．

则，．

由直线AF1 的方程：，得M纵坐标；

由直线BF1 的方程：，得N的纵坐标．

若S＝S，即2|y1﹣y2|＝|y3﹣y4|，

|y3﹣y4|＝||＝||＝||＝2|y1﹣y2|，

∴|（my1+4）（my2+4）|＝4，|m2y1y2+4m（y1+y2）+16|＝4，

代入根与系数的关系，得||＝4，解得m＝．

∴存在直线x+或满足题意．

21．【分析】（1）根据a1＝1，d＝2逐一求出a2，a3，a4即可；

（2）{an}不为等差数列，数列{an}存在am使得am＝am﹣1+d不成立，根据题意进一步推理即可证明结论；

（3）去除具有性质P的数列{an}中的前三项后，数列{an}的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为a，公差为d，求a1+a2+…+a100即可．

【解答】解：（1）∵数列{an}有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在an＝ai+d，i∈[1，n﹣1]，

∴若a1＝1，d＝2，则当n＝2时，a2＝a1+d＝3，

当n＝3时，i∈[1，2]，则a3＝a1+d＝3或a3＝a2+d＝5，

当n＝4时，i∈[1，3]，则a4＝a1+d＝3或a4＝a2+d＝5或a4＝a3+d＝（a1+d）+d＝5或a4＝a3+d＝（a2+d）+d＝7

∴a4的所有可能的值为：3，5，7；

（2）∵{an}不为等差数列，

∴数列{an}存在am使得am＝am﹣1+d不成立，

∵对任意n∈[2，10]，存在an＝ai+d，i∈[1，n﹣1]；

∴存在p∈[1，n﹣2]，使am＝ap+d，则

对于am﹣q＝ai+d，i∈[1，n﹣q﹣1]，存在p＝i，使得am﹣q＝am，

因此{an}中存在具有性质P的项；

（3）由（2）知，去除具有性质P的数列{an}中的前三项，则数列{an}的剩余项均不相等，

∵对任意n∈[2，100]，存在an＝ai+d，i∈[1，n﹣1]，则

一定能将数列{an}的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为a，公差为d，

∴a1+a2+…+a100

＝

＝97a+4656d+c．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2f88e828c8aedd3383c4bb4cf7ec4afe04a1b108.html