高等数学(A)下期末试卷及答案

南京邮电大学2010/2011学年第二学期

《高等数学A》(下）期末试卷A答案及评分标准

一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）

1、交换二次积分的积分次序为 （）

(A) (B)

(C) (D)

2、锥面在柱面内的那部分面积为 （）

(A) (B)

(C) (D)

3、若级数在处收敛，则级数在 （）

(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散(D) 收敛性不确定

4、下列级数中收敛的级数为 （）

(A) (B)

(C) (D)

5、若函数在复平面上处处解析，则实常数a的值 为 （）

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) -2

二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）

1、曲面在点处的切平面方程为

2、已知，则

3、是由曲面及平面所围成的闭区域，在柱面坐标下化三重积分为三次积分为

4、函数展开成以2为周期的正弦级数为，收敛区间为

5、

三、(本题8分）设，其中函数二阶可导，具有二阶连续偏导数，求

解： … 3分

5分

四、(本题8分）在已知的椭球面内一切内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。

解：设顶点坐标为，….2分

令….2分

，

，

解得：，….3分， ….1分

五、(本题7分），其中.

解： 原式=….5分

….2分

六、(本题8分）计算，其中L为抛物线上由点(0,0)到的一段弧。

证明：，所以曲线积分与路径无关….3分

….5分

七、(本题8分）计算，其中为上半球面的上侧。

解：补面下侧

原式=

……5分

=

=………3分

八、(本题8分）讨论级数的敛散性，若收敛则说明是绝对收敛还是条件收敛。

解：原级数不绝对收敛 ……3分

又 为交错级数，……2分

设

当时单调递减，

所以当时单调递减，……2分

原级数条件收敛。…1分

九、（本题共12分，每题6分）

1、将在区域内展开成洛朗级数。

解：

…..3分

…..3分

2、沿指定曲线的正向计算下列复积分

解：原式

=…2分

……2 分

……2 分

十、（本题6分）设，

其中，（1）求出;(2)求出幂级数的收敛域及和函数。

解：

……2 分

，

收敛域：……2 分

……2 分

十、附加题（本题10分）强化班做，普通班不做（做了不得分）

设函数在内有连续的二阶导数，当时，是的高阶无穷小，且证明级数收敛。

【证明】 因为当时，是的高阶无穷小，所以 又的二阶导数在内连续，所以

在与之间

所以收敛，同理也收敛……5 分

由于

收敛，由此得也收敛

又，所以收敛。……5 分

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2c86eea9a58da0116d174919.html