高一抽象函数解法技巧

几类抽象函数实例

定义:把一类没有给出具体解析式的函数称之为抽象函数。

1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。

2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。

3、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：

（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。

4、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，求：（1）f（1）；

（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。

5、设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么

g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。

6、己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：

①当是定义域中的数时，有；

②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；

③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。

试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。

（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。

7、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，

f（27）＝9，当时，。

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；

（3）若，求a的取值范围。

解析

分析例1：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。

解：设，∵当，∴，

∵，

∴，即，∴f（x）为增函数。

在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，

∴　f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4，

∴ f（x）的值域为［－4，2］。

∵，∴，又，故。

分析例2：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。

解：设，∵当，

∴，则，

即，∴f（x）为单调增函数。

∵，

又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴，∴， 即，解得不等式的解为－1 < a < 3。

分析例3：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。

解：（1）令y＝0代入，则，

∴。若f（x）＝0，则对任意，有，这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。

（2）令y＝x≠0，则，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对任意x，f（x）＞0恒成立。

分析例4：由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数，f（1）＝0，f（9）＝2。

解：（1）∵，∴f（1）＝0。

（2），从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），

即，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函数，

故 ，解之得：8＜x≤9。

分析例5: 由题设条件可猜测y＝f（x）是对数函数的抽象函数，又∵y＝f（x）的反函数是y＝g（x），∴y＝g（x）必为指数函数的抽象函数，于是猜想g（a＋b）＝g（a）·g（b）正确。

解：设f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函数，∴g（m）＝a，g（n）＝b，从而，∴g（m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）。

分析例6: 由题设知f（x）是的抽象函数，从而由及题设条件猜想：f（x）是奇函数且在（0，4a）上是增函数（这里把a看成进行猜想）。

解：（1）∵f（x）的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有

，∴在定义域中。

∵，

∴f（x）是奇函数。

（2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，

∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，进而知中的，于是f（x1）＜ f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函数。

又，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，设2a＜x＜4a，则0＜x－2a＜2a，

，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。设2a＜x1＜x2＜4a，则0＜x2－x1＜2a，从而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2－x1）＜0，∵，∴，即

f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数。综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数。

分析例7：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。

解：（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，

∴f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数。

（2）设，∴，，

∵时，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在

(0，＋∞）上是增函数。

（3）∵f（27）＝9，又，

∴，∴，∵，∴，

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2b675710b5daa58da0116c175f0e7cd1842518d2.html