第三章习题解答
1. 设随机变量(X, Y)的联合分布为
若X，Y相互独立，则（ A ）.
A. B.
C. D.
解：根据离散型随机变量独立性的定义，
p{x=1y=2}=p{x=1}p{y=2} 即：1/9=（1/6+1/9+1/18）（1/9+a）得：a=2/9
p{x=1y=3}=p{x=1}p{y=3} 得：b=1/9
2. 同时掷两颗质体均匀的骰子, 以X, Y分别表示第1颗和第2颗骰子出现的点数, 则( A ).
A. B.
C. D.
解：根据离散型随机变量独立性的定义，
因为所有的样本点为（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）
（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）一直到（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）共36个
X=Y共6个，故B选项，则C选项
XY的样本点数为21个，
3. 若,且X, Y相互独立，则( C ).
A. B.
C. D.
参看课本69页推论2：随机变量，且
相互独立，常数
不全为零，则有
4. 已知相互独立，记
则
~( A ).
A. B.
C.
D.
5. 已知(X, Y)的密度函数为
则C的值为( D ).
A. B.
C.
D.
解：根据二维随机变量密度函数的性质：
即： 解得：c=
6．为使为二维随机向量(X, Y)的联合密度,
则A必为( B ).
A. 0 B. 6 C. 10 D. 16
解：同上题类似
7. 设的密度函数为
, 则(X, Y)在以(0,0), (0,2), (2,1)为顶点的三角形内取值的概率为( C ).
A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8
解：以(0,0), (0,2), (2,1)为顶点的三角形内，密度函数解析式不唯一。
以(0,0), (0,1), (2,1)为顶点的三角形内，
以(0,1), (2,1), (0,2)为顶点的三角形内,
所以， =0.6
8. 设（，
）的联合密度函数为
判断与
是否相互独立.
解：根据课本62页定理1，先求，然后看
是否成立。经判断，不独立
9．一个袋中有4个球，分别标有数字1、2、2、3，从袋中随机取出2个球，令、
分别表示第一个球和第二个球上的号码，求：（
，
）的联合分布列.
解：根据实际意义得：p{x=1y=1}=0 p{x=3y=3}=0其它概率直接求即可。
10．设随机变量和
的分布如下：
又已知，试求
的联合分布，并判断
和
是否独立.
解： 由得：p{x=-1y=1}=0，p{x=1y=1}=0
根据联合分布和边缘分布的关系，p{y=1}=1/2，得p{x=0y=1}=1/2
p{x=0}=1/2，得p{x=0y=0}=0, p{x=1}=1/4，得p{x=1y=0}=1/4
p{x=-1}=1/4，得p{x=-1y=0}=1/4 联合分布为：
因为p{x=0y=1}=1/2，而p{x=0} p{y=1}=1/4，所以X，Y不独立
11．设的分布列如下，写出
与
的边缘分布.
解：根据联合分布和边缘分布的关系得：
12．设二维随机变量（，
）的密度函数为
求常数及边缘分布密度函数.
解：考查二维随机变量密度函数的性质及密度函数与边缘密度函数的关系
由得：
所以C=1
边缘密度公式：
带入得：,
13. 设二维随机变量（，
）的密度函数为
（1） 求和
的边缘密度，并判断
和
是否独立；（2）求
解：（1）与上题类似，判断是否独立，看是否成立。
（2） 求区域上的概率。即高等数学上求二重积分。
=
=65/72
14. 独立投掷一枚均匀的骰子两次，记、
为两次中各出现的点数，求一元二次方程
有实根的概率和有重根的概率.
解：方程有实根即，参看选择第二题，样本点数为19，故P=19/36.
方程有重根即，样本点为2个，P=2/36.
15. 证明二维正态随机变量相互独立的充要条件是
.
证明：参见教材61页例3.
16. 设是由直线
，
及
所围成的三角形区域，二维随机变量
在
上服从均匀分布，求：
(1)的联合概率密度；（2）
的边缘分布密度函数;
(3) 条件密度和
.
解：（1）由均匀分布的定义（64页例6），D为平面上面积为A的有界区域.
求区域的面积A=32，所以
（2）边缘密度公式：
，将密度函数带入得
,
（3）条件密度公式：
17．设随机变量与
相互独立，且分别服从参数为
和
的泊松分布，求
的概率分布.
解：，
，
即Z服从参数为+
的泊松分布.
18．设（，
）的概率分布为：
求：和
的分布列.
解：考查离散型随机变量函数的分布，参看课本67页例1
19. （系统管理）设某系统由两个相互独立的子系统
与
连接而成，已知
与
的寿命（单位：年）分别为随机变量
与
，它们的分布密度为
式中的，
与
的连接方式为（1）串联；（2）并联；（3）留
备用. 若系统
的寿命为
，试求
的分布密度，若
，试求
.
解：(1) 串联的情况。
由于当L1和L2中有一个损坏时，系统L就停止工作，所以这时L的寿命为
Z = min(X, Y)
不难求得与分布函数分别为
于是Z = min(X, Y)的分布函数
Z = min(X, Y)的密度函数
(2) 并联的情况。
由于当且仅当L1和L2都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命为
Z = max(X, Y)
其分布函数
于是Z = max(X, Y)的密度函数
(3)备用的情况。
由于当L1损坏时才启用L2，因此系统L的寿命是L1和L2两者寿命之和，即有
Z = X + Y
于是，当z>0时Z的密度函数为
当时
，所以
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/240c330f844769eae009ede7.html
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