导数在生活中的应用举例

导数在生活中的应用举例

摘要:在日常生活、生产和科研中经常遇到求利润最大、费用最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题,我们可以通过利用导数的应用来解决这类问题。

关键词:导数 生活 应用

对于一个实际问题,我们可以建立数学模型,就是列出变量之间的数学关系式(函数解析式),求出函数的最大值或最小值,从而达到解决最优化问题。

我们知道在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值,这在理论上肯定了最值的存在性,但是怎么求出函数的最值呢？首先假设函数的最大(小)值在开区间内取得,那么最大(小)值也一定是函数的极大(小)值,使函数取得极值的点一定是函数的驻点或导数不存在的点。另外函数的最值也可能在区间端点上取得。因此我们只需把函数的驻点、导数不存在的点及区间端点的函数值一一算出,并加以比较,便可求得函数的最值。

例1 有一个铁路线上段的距离为100 km,某工厂距点为20 km,,要在线上选定一点向工厂修筑一条公路。已知铁路线上每千米货运的运费与公路上每千米货运的运费之比为3∶5,为了使货物从供应站运到工厂的运费最省,问点应选在何处？

分析 这是一道实际生活中的优化问题,建立数学模型,运用导数知识求函数的最值非常简单。

点评 以导数为工具分析和解决一些函数问题,以及一些实际问题中的最大(小)值问题,关键是要建立恰当的数学模型,了解导数概念的实际背景。

例2 某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是元,销售价是元,月平均销售件。通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价提高的百分率为,那么月平均销售量减少的百分率为。记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是(元)。(1)写出与的函数关系式;(2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大。

分析 运用导数的基本思想去分析和解决问题,用导数的知识求可导的连续函数的最值,这是导数作为数学工具的具体体现。

解析 (1)改进工艺后,每件产品的销售价为

分析 求闭区间上连续函数的最值、极值时,通过研究导函数的符号,列表求得该函数的单调区间、极值点(极值)、端点值,从而求得最大值。也可以不讨论导数为零的点是否为极值点,而直接将导数为零的点与端点处的函数值进行比较即可。

由表1知当,说明在上午11:00与下午14:00,该物体温度最高,最高温度是62℃。

点评 列表法是导数应用的一种基本方法,虽然列表的过程稍微有点复杂,但从表格中可以直接得出极值点、单调区间、最值。函数的极值与函数的最值时有区别和联系的:函数的极值是一个局部性的概念,而最值时某个区间的整体性的概念。

本文主要通过三个实际例子说明导数在生活中的应用,为解决实际问题提供有力的帮助。

参考文献

[1] 王荣成.数学[M].苏州大学出版社,1998.

[2] 杨学坤.全国成人高考指导丛书—— 数学[M].苏州大学出版社,2010.

[3] 盛祥耀.高等数学辅导.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/62f6fa21767f5acfa0c7cd55.html