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安徽涡阳县育萃中学2020-2021学年高二上学期第四次月考数学(理)试卷Word版含答案-

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育萃高中高二年级第一学期第四次月考
数学（理）试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1.数列1,3,7,15，…的通项an可能是(

A．2n C．2n－1 B．2n＋1 D．2n－1
2.已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于(

A．3∶2∶1 C.3∶2∶1 B.3∶2∶1 D．2∶3∶1 3.已知不等式ax2＋3x－2>0的解集为{x|1<x<b}，则a，b的值等于(

A．a＝1，b＝－2 C．a＝－1，b＝2 B．a＝2，b＝－1 D．a＝－2，b＝1 4.已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根.则下列命题为真命题的是(

A.p∧﹁qB.﹁p∧q C.﹁p∧﹁qD.p∧q
5.如图，过抛物线y2＝2px(p>0的焦点F的直线，分别交抛物线的准线l、y轴、抛→→物线于A，B，C三点，若AB＝3BC，那么直线AF的斜率是(

A.－3 2C.－2
6.函数y＝(sin 2x3的导数是(

A．y′＝3x(sin 2x2cos 2x C．y′＝3(sin 2x2cos 2x

B．y′＝6x(sin 2x2cos 2x D．y′＝6(sin 2x2cos 2x
3B.－3 D.－1 a＋b27.已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则cd的最小值是(


A．0 C．2 B．1 D．4 π38.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝，b＝1，△ABC的面3积为2，则a的值为(

A．1 3C.2
B．3 D.2
9.某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(

A(吨 B(吨
A.12万元 C．17万元
甲 3 1
乙 2 2
原料限额 12 8 B．16万元 D．18万元
10.给定两个命题p，q.若﹁p是q的必要条件，则p是﹁q的(

A.充要条件B.必要条件
C.充分条件D.既不充分也不必要条件
x2y211.若直线y＝2x与双曲线2－2＝1(a>0，b>0有公共点，则双曲线的离心率的取ab值范围为(

A.(1, 5B.(5，＋∞ C.(1, 5]D.[5，＋∞
12.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别是PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
①BE与CF异面； ②BE与AF异面； ③EF∥平面PBC； ④平面BCE⊥平面PAD. 其中正确结论的个数是(


A．1 C．3 B．2 D．4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2，则a5＝________. 14.曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1处的切线方程为________________. x2y215.椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________. m416.若<<0，已知下列不等式：
11abba①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④a＋b>2； ⑤a2>b2；⑥2a>2b. 其中正确的不等式的序号为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
x2y217.（10分）设命题p：方程＋＝1表示的曲线是双曲线；命题q：1－2mm＋4∃x∈R,3x2＋2mx＋m＋6<0.若命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围. 18.（12分）设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a＝1，1b＝2，cos C＝4. (1求△ABC的周长； (2求cos A的值．
19.（12分）已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2．
(1求证：{an＋1＋2an}是等比数列； (2求数列{an}的通项公式．
20.（12分）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD＝O，A1O⊥底面ABCD，AB＝2，AA1＝3. (1证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；
(2若∠BAD＝60°，求二面角B-OB1-C的余弦值． 21.（12分）设函数f(x＝ln(x＋1＋a(x2－x，其中a∈函数f(x极值点的个数，并说明理由．
22.（12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C过点(3,，焦点F1(3,0,F2(3,0，R.讨论12
圆O的直径为F1F2。
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P
（i）设直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标； （ii）直线l与椭圆C交于A,B两点.若OAB的面积为26，求直线l的方程。
7育萃高中高二年级第一学期第四次月考
数学（理）试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1.数列1,3,7,15，…的通项an可能是(

A．2n C．2n－1 B．2n＋1 D．2n－1
【解析】 取n＝1时，a1＝1，排除A、B，取n＝2时，a2＝3，排除D. 【答案】
C 2.已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于(

A．3∶2∶1 C.3∶2∶1 B.3∶2∶1 D．2∶3∶1 【解析】 ∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°， ∴A＝90°，B＝60°，C＝30°， ∴a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30° 31＝1∶2∶2＝2∶3∶1. 【答案】
D 3.已知不等式ax2＋3x－2>0的解集为{x|1<x<b}，则a，b的值等于(

A．a＝1，b＝－2 C．a＝－1，b＝2 B．a＝2，b＝－1 D．a＝－2，b＝1 【解析】 因为不等式ax2＋3x－2>0的解集为{x|1<x<b}，所以方程ax2＋3x
32－2＝0的两个根分别为1和b，根据根与系数的关系，得1＋b＝－a，b＝－a，所以a＝－1，b＝2. 【答案】
C 4.已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根.则下列命题为真命题的是(

A.p∧﹁qB.﹁p∧q C.﹁p∧﹁qD.p∧q
【解析】 命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题﹁q为真命题，所以p∧﹁q为真命题，故选A.
【答案】
A 5.如图，过抛物线y2＝2px(p>0的焦点F的直线，分别交抛物线的准线l、y轴、抛→→物线于A，B，C三点，若AB＝3BC，那么直线AF的斜率是(

A.－3 2C.－2
3B.－3 D.－1 【解析】 过点B，C分别作准线l的垂线，垂足分别为B1，C1，设|BC|＝a.因为O是EF的中点，BO∥AE，所以|AB|＝|BF|＝3a，|CF|＝|CC1|＝2a，在△ACC1中，|AC1|＝23a，tan∠AFO＝tan∠ACC1＝3，故直线AF的斜率是－3，故选A. 【答案】
A 6.函数y＝(sin 2x3的导数是(

A．y′＝3x(sin 2x2cos 2x C．y′＝3(sin 2x2cos 2x

B．y′＝6x(sin 2x2cos 2x D．y′＝6(sin 2x2cos 2x
解析：y′＝[(sin 2x3]′＝3(sin 2x2·(sin 2x′＝3(sin 2x2·cos 2x·2＝6(sin 2x2cos 2x. 【答案】
D a＋b27.已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则cd的最小值是(

A．0 B．1


C．2 D．4 a＋b2x＋y24xy【解析】
cd＝xy≥xy＝4，当且仅当x＝y时等号成立． 【答案】
D π8.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝，b＝1，△ABC的面33积为2，则a的值为(

A．1 3C.2
B．3 D.2
13【解析】 根据S＝2bcsin A＝2，可得c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝3，故a＝3. 【答案】
B 9.某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(

A(吨 B(吨
A.12万元 C．17万元
甲 3 1
乙 2 2
原料限额 12 8 B．16万元 D．18万元
【解析】 设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，3x＋2y≤12，则有x＋2y≤8，x≥0，y≥0，【答案】
D
z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18. 10.给定两个命题p，q.若﹁p是q的必要条件，则p是﹁q的(

A.充要条件B.必要条件
C.充分条件D.既不充分也不必要条件

【解析】 q⇒﹁p等价于p⇒﹁q，﹁p⇒/q等价于﹁q⇒/p.故p是﹁q的充分条件.
【答案】
C x2y211.若直线y＝2x与双曲线2－2＝1(a>0，b>0有公共点，则双曲线的离心率的取ab值范围为(

A.(1, 5B.(5，＋∞ C.(1, 5]D.[5，＋∞
b【解析】 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y＝ax.由条件知，应有ba>2，
a2＋b2c故e＝a＝a＝【答案】
B 12.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别是PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
①BE与CF异面； ②BE与AF异面； ③EF∥平面PBC； ④平面BCE⊥平面PAD. 其中正确结论的个数是( A．1 C．3 B．2 D．4 b1＋a>5. 2解析： 画出该几何体，如图．因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF∥AD，所以EF∥BC，BE与CF是共面直线，故①不正确；BE与AF满足异面直线的定义，故②正确；由E，F分别是PA，PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，故③正确；因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正确．故选B. 【答案】
B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2，则a5＝________.

【解析】 由an＝an－1＋n(n≥2，得an－an－1＝n，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，把各式相加，得a5－a1＝2＋3＋4＋5＝14，
∴a5＝14＋a1＝14＋1＝15. 【答案】
15 14.曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1处的切线方程为________________. 【解析】y′＝ex＋xex＋2，k＝y′|x＝0＝e0＋0＋2＝3， 所以切线方程为y－1＝3(x－0， 即3x－y＋1＝0. 【答案】 3x－y＋1＝0 x2y215.椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________. m4【解析】 当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2， ∴c＝1.
∴m－4＝1，m＝5.
当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m， ∴c2＝4－m＝1，∴m＝3. 【答案】 3或5 16.若<<0，已知下列不等式：
11abba①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④a＋b>2； ⑤a2>b2；⑥2a>2b. 其中正确的不等式的序号为______． 11【解析】 ∵a<b<0， ∴b<a<0，故③错；
又b<a<0，可得|a|<|b|，a2<b2， 故②⑤错，可证①④⑥正确． 【答案】 ①④⑥
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
x2y217.（10分）设命题p：方程＋＝1表示的曲线是双曲线；命题q：1－2mm＋4
∃x∈R,3x2＋2mx＋m＋6<0.若命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围. x2y2【解】 对于命题p，因为方程＋＝1表示的曲线是双曲线，所以1－2mm＋411(1－2m(m＋4<0，解得m<－4或m>2，则命题p：m<－4或m>2.
对于命题q，因为∃x∈R,3x2＋2mx＋m＋6<0，即不等式3x2＋2mx＋m＋6<0在实数集R上有解，
所以Δ＝(2m2－4×3×(m＋6>0， 解得m<－3或m>6. 则命题q：m<－3或m>6.
因为命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以命题p与命题q有且只有一个为真命题.
若命题p为真命题且命题q为假命题， 1m<－4或m>，2即－3≤m≤6，

1得2<m≤6；
若命题p为假命题且命题q为真命题， 1－4≤m≤，2即m<－3或m>6，得－4≤m<－3.
1综上，实数m的取值范围为[－4，－3∪2，6. 18.（12分）设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a＝1，1b＝2，cos C＝4. (1求△ABC的周长； (2求cos A的值．
1【解】 (1∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－4×4＝4， ∴c＝2，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5. 1(2∵cos C＝4，∴sin C＝1－cos2C＝15121－4＝4，
154asin C15∴sin A＝c＝2＝8 ∵a<c，∴A<C，故A为锐角， ∴cos A＝1－sin2A＝1527＝. 1－8819.（12分）已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2．
(1求证：{an＋1＋2an}是等比数列； (2求数列{an}的通项公式．
【解】 (1证明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2， ∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1(n≥2． 又a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15， ∴an＋2an－1≠0(n≥2， an＋1＋2an∴＝3(n≥2， an＋2an－1∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列． (2由(1得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n， 则an＋1＝－2an＋5×3n， ∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n． 又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，
∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列， ∴an－3n＝2×(－2n－1， 即an＝2×(－2n－1＋3n(n∈N*．
20.（12分）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD＝O，A1O⊥底面ABCD，AB＝2，AA1＝3. (1证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；
(2若∠BAD＝60°，求二面角B-OB1-C的余弦值． 解：(1证明：∵A1O⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴A1O⊥BD. ∵四边形ABCD是菱形，∴CO⊥BD. ∵A1O∩CO＝O，∴BD⊥平面A1CO. ∵BD⊂平面BB1D1D，

∴平面A1CO⊥平面BB1D1D. (2∵A1O⊥平面ABCD，CO⊥BD，∴OB，OC，OA1两两―→―→―→直，以O为坐标原点，OB，OC，OA1的方向分别为x轴，yz轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
∵AB＝2，AA1＝3，∠BAD＝60°， ∴OB＝OD＝1，OA＝OC＝3，
2OA1＝AA21－OA＝6. 垂轴，则O(0,0,0，B(1,0,0，C(0，3，0，A(0，－3，0，A1(0,0，6，
―→―→―→―→―→―→∴OB＝(1,0,0，BB1＝AA1＝(0，3，6，OB1＝OB＋BB1＝(1，3，6． 设平面OBB1的法向量为n＝(x，y，z， ―→n＝0，OB·x＝0，则即
―→x＋3y＋6z＝0.n＝0，OB1·

令y＝2，得z＝－1，∴n＝(0，2，－1是平面OBB1的一个法向量． 同理可求得平面OCB1的一个法向量m＝(6，0，－1， ∴cosn，mn·m121＝＝＝， |n|·|m|3×721由图可知二面角B-OB1-C是锐二面角， ∴二面角B-OB1-C的余弦值为21. 2121.（12分）设函数f(x＝ln(x＋1＋a(x2－x，其中a∈R.讨论函数f(x极值点的个数，并说明理由．
2ax2＋ax－a＋11[解]f′(x＝＋a(2x－1＝(x＞－1．
x＋1x＋1令g(x＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞．
①当a＝0时，g(x＝1，f′(x＞0，函数f(x在(－1，＋∞上单调递增，无极值点． ②当 a＞0时，Δ＝a2－8a(1－a＝a(9a－8．
8当0＜a≤时，Δ≤0，g(x≥0，f′(x≥0，
9函数f(x在(－1，＋∞上单调递增，无极值点．
8当a＞时，Δ＞0，
9设方程2ax2＋ax－a＋1＝0的两根为x1，x2(x1＜x2，
1因为x1＋x2＝－，
2
11所以x1＜－，x2＞－. 441由g(－1＝1＞0，可得－1＜x1＜－. 4所以当x∈(－1，x1时，g(x＞0，f′(x＞0，函数f(x单调递增； 当x∈(x1，x2时，g(x＜0，f′(x＜0，函数f(x单调递减； 当x∈(x2，＋∞时，g(x＞0，f′(x＞0, 函数f(x单调递增． 因此函数f(x有两个极值点．
③当a＜0时，Δ＞0，由g(－1＝1＞0， 可得x1＜－1＜x2. 当x∈(－1，x2时，g(x＞0，f′(x＞0，函数f(x单调递增； 当x∈(x2，＋∞时，g(x＜0，f′(x＜0，函数f(x单调递减． 所以函数f(x有一个极值点．
综上所述，当a＜0时，函数f(x有一个极值点；
8当0≤a≤时，函数f(x无极值点；
98当a＞时，函数f(x有两个极值点．
922.（12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C过点(3,，焦点F1(3,0,F2(3,0，圆O的直径为F1F2。
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P
（i）设直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标； （ii）直线l与椭圆C交于A,B两点.若OAB的面积为1226，求直线l的方程。
7x2y21【解析】：（1）设椭圆方程为221，其中c3，又因为点(3,在椭圆上，故
ab213a24x2221y21 ，所以椭圆C的方程为2a4b4b1a2b23 又因为圆O的直径为F1F2，故圆的方程为xy3 （2）（i）本题有两种解法：
22
（方法一） ：椭圆和圆有公切线时求点P的坐标，可先设公切线方程为ykxb 然后根据直线分别与圆和椭圆相切求出k,b的值，再求出点P的坐标，这个方法很容易想到，但是需要两
次计算相切时的条件。

（方法二） ：题目中让求点P的坐标，不如一开始就设出点P的坐标，利用点P的坐标表示出切线方程，
然后直线与椭圆联立，0即可求出点P的坐标。这里我们选用第二种方法：
22设直线与圆的切点P(x0,y0，则满足x0y03，故直线l的方程为：
yy0x0x3(xx0即y0x
y0y0y0x03yxy0y0联立(4x02y02x224x0x364y020 （1）
2xy214因为直线l与椭圆有且只有一个交点，故0，即
因为点P位于第一象限，即x00,y00，故x02,y01 所以点P的坐标为(2,1
（ii）分析：第二问由于OAB的高即为圆的半径，故由面积可以得出弦长AB的值，根据弦长再求出直线方程，最容易想到的就是设出直线方程ykxb，根据直线与圆相切可得b23k23，然后直线与椭圆联立，根据韦达定理写出弦长公式，将k或b转化成一个，求出即可，但是计算过程很麻烦，下面给出同一个方法的两种不同解法：
【解析】：设直线方程为ykxb，A(x1,y1,B(x2,y2，根据直线与圆相切得b23k23
ykxb8kb4b242222,x1x2 (14kx8kbx4b40x1x2x22214k14ky14，64k2(3k2316(3k231642将b3k3代入得1k
(14k2214k27222注意此处，根据韦达定理得出的两根和与积的形式本来很复杂，如果利用上式还需要进行平方，
再将b转化为k的形式计算起来相当复杂，因此我们要想办法避开平方，因此不如直接根据直线与椭圆联立的方程解出两根，再利用弦长公式，就可以避开平方的出现，解法也会简单一些。
4k224222|AB|1k|x1x2|1k解得k5,b18 24k1722所以k5,b32，直线方程为y5x32

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2044fdb129160b4e767f5acfa1c7aa00b42a9d49.html

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