二次函数应用商业利润及动点全国各地中考题汇编（含答案版）

发布时间：2019-01-24 20:17:09 来源：文档文库

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1．（2010•沈阳）某公司有甲，乙两个绿色农产品种植基地，在收获期这两个基地当天收获的某种农产品，一部分存入仓库，另一部分运往外地销售，根据经验，该农产品在收获过程中两个种植基地累积总产量y（吨）与收获天数x（天）满足函数关系y=2x+3（1≤x≤10且x为整数）．该农产品在收获过程中甲，乙两基地累积产量分别占两基地累积总产量的百分比和甲，乙两基地累积存入仓库的量分别占甲，乙两基地的累积产量的百分比如下表：

（1）请用含y的代数式分别表示在收获过程中甲，乙两个基地累积存入仓库的量；

（2）设在收获过程中甲，乙两基地累积存入仓库的该种农产品的总量为p（吨），请求出p（吨）与收获天数x（天）的函数关系式；

（3）在（2）的基础上，若仓库内原有该种农产品42.6吨，为满足本地市场需求，在此收获期开始的同时，每天从仓库调出一部分该种农产品投入本地市场，若在本地市场售出该种农产品总量m（吨）与收获天x（天）满足函数关系m=﹣x2+13.2x﹣1.6（1≤x≤10且x为整数）．问在此收获期内连续销售几天，该农产品库存量达到最低值？最低库存量是多少吨？

解：（1）①甲基地累积存入仓库的量：85%×60%y=0.51y（吨）

②乙基地累积存入仓库的量：

22.5%×40%y=0.09y（吨）

（2）p=0.51y+0.09y=0.6y ∵y=2x+3 ∴p=0.6（2x+3）=1.2x+1.8

（3）设在此收获期内仓库库存该种农产品T吨．

T=42.6+p﹣m=42.6+1.2x+1.8﹣（﹣x2+13.2x﹣1.6）=x2﹣12x+46=（x﹣6）2+10

∵1＞0∴抛物线的开口向上

又∵1≤x≤10且x为整数，

∴当x=6时，T的最小值为10；

∴在此收获期内连续销售6天，该农产品库存达最低值，最低库存为10吨．

2．（2010•恩施州）恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．

（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．

（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润=销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）

（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？

解：（1）由题意y与x之间的函数关系式为y=（10+0.5x）（2000﹣6x），

=﹣3x2+940x+20000（1≤x≤110，且x为整数）；

（2）由题意得：

﹣3x2+940x+20000﹣10×2000﹣340x=22500

解方程得：x1=50，x2=150（不合题意，舍去）

李经理想获得利润2250元需将这批香菇存放50天后出售．

（3）设利润为w，由题意得

w=﹣3x2+940x+20000﹣10×2000﹣340x=﹣3（x﹣100）2+30000

∵a=﹣3＜0，∴抛物线开口方向向下，∴x=100时，w最大=30000

100天＜110天

∴存放100天后出售这批香菇可获得最大利润30000元．

3．（2010•本溪）荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元．

（1）基地的菜农共修建大棚x（公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y（万元），写出y关于x的函数关系式．

（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）

（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．

解：（1）y=7.5x﹣（2.7x+0.9x2+0.3x）=﹣0.9x2+4.5x．（4分）

（2）当﹣0.9x2+4.5x=5时，即9x2﹣45x+50=0，x1=，x2=（7分）

从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建公顷大棚．（8分）

（3）设3年内每年的平均收益为Z（万元）

Z=7.5x﹣（0.9x+0.3x2+0.3x）

=﹣0.3x2+6.3x

=﹣0.3（x﹣10.5）2+33.075（10分）

不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．（11分）

建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益．

②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．

③当﹣0.3x2+6.3x=0时，x1=0，x2=21．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．

（说其中一条即可）（12分）

4．（2009•重庆）某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系y=﹣50x+2600，去年的月销售量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：

（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？

（2）由于受国际金融危机的影响，今年1，2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了m%，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m的值（保留一位小数）．（参考数据：≈5.831，≈5.916，≈6.083，≈6.164）

解：（1）设p与x的函数关系为p=kx+b（k≠0），

根据题意，得解得，所以，p=0.1x+3.8．

设月销售金额为w万元，则w=py=（0.1x+3.8）（﹣50x+2600）．

化简，得W=﹣5x2+70x+9880，

所以，W=﹣5（x﹣7）2+10125．

当x=7时，w取得最大值，最大值为10125．

答：该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大，最大是10125万元．

（2）去年12月份每台的售价为﹣50×12+2600=0.2（万元），

去年12月份的销售量为0.1×12+3.8=5（万台）．

根据题意，得2000（1﹣m%）×[5（1﹣1.5m%）+1.5]×13%×3=936，

令m%=t，原方程可化为7.5t2﹣14t+5.3=0，∴．

∴t1≈0.528，t2≈1.339（舍去）．答：m的值约为52.8．

5．（2009•沈阳）种植能手小李的实验田可种植A种作物或B种作物（A、B两种作物不能同时种植），原来的种植情况如表．通过参加农业科技培训，小李提高了种植技术．现准备在原有的基础上增种，以提高总产量．但根据科学种植的经验，每增种1棵A种或B种作物，都会导致单棵作物平均产量减少0.2千克，而且每种作物的增种数量都不能超过原有数量的80%．设A种作物增种m棵，总产量为yA千克；B种作物增种n棵，总产量为yB千克．

（1）A种作物增种m棵后，单棵平均产量为　　千克；B种作物增种n棵后，单棵平均产量为　　千克；

（2）求yA与m之间的函数关系式及yA与n之间的函数关系式；

（3）求提高种植技术后，小李增种何种作物可获得最大总产量？最大总产量是多少千克？

解：（1）根据题意得：

A种作物增种m棵后，单棵平均产量为（30﹣0.2m）千克；B种作物增种n棵后，单棵平均产量为（26﹣0.2n）．

（2）由题意得：

yA=（50+m）（30﹣0.2m），即yA=﹣0.2m2+20m+1500

yB=（60+n）（26﹣0.2n），即yB=﹣0.2n2+14n+1560（7分）

（3）由（2）得yA=﹣0.2m2+20m+1500=﹣0.2（m﹣50）2+2000，

∵﹣0.2＜0，

∴当m=50时，yA有最大值，但m≤50×80%，即m≤40

∴当m=40时，yA的最大值为1980

yB=﹣0.2n2+14n+1560=﹣0.2（n﹣35）2+1805

∵﹣0.2＜0，

∴当n=35时，yB有最大值，并且n≤60×80%，即n≤48

∴当n=35时，yB的最大值为1805．（11分）

又∵1980＞1805，

∴小李增种A种作物可获得最大产量，最大产量是1980千克．（12分）

6．（2009•三明）为把产品打入国际市场，某企业决定从下面两个投资方案中选择一个进行投资生产．方案一：生产甲产品，每件产品成本为a万美元（a为常数，且3＜a＜8），每件产品销售价为10万美元，每年最多可生产200件；方案二：生产乙产品，每件产品成本为8万美元，每件产品销售价为18万美元，每年最多可生产120件．另外，年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．在不考虑其它因素的情况下：

（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1、y2与相应生产件数x（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；

（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；

（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？

解：（1）由题意得：

y1=（10﹣a）x（1≤x≤200，x为正整数）（2分）

y2=10x﹣0.05x2（1≤x≤120，x为正整数）；（4分）

（2）①∵3＜a＜8，∴10﹣a＞0，即y1随x的增大而增大，（5分）

∴当x=200时，y1最大值=（10﹣a）×200=2000﹣200a（万美元）（6分）

②y2=﹣0.05（x﹣100）2+500（7分）

∵﹣0.05＜0，∴x=100时，y2最大值=500（万美元）；（8分）

（3）∵由2000﹣200a＞500，

∴得a＜7.5，∴当3＜a＜7.5时，选择方案一；（9分）

由2000﹣200a=500，得a=7.5，

∴当a=7.5时，选择方案一或方案二均可；（10分）

由2000﹣200a＜500，得a＞7.5，

∴当时，选择方案二．（12分）

7．（2009•吉林）某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中AE=MN．准备在形如Rt△MEH的四个全等三角形内种植红色花草，在形如Rt△AEH的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形MNPQ内种植紫色花草，每种花草的价格如下表：

设AE的长为x米，正方形EFGH的面积为S平方米，买花草所需的费用为W元，解答下列问题：

（1）S与x之间的函数关系式为S=　x2+（4﹣x）2或2x2﹣8x+16．　；

（2）求W与x之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元；

（3）当买花草所需的费用最低时，求EM的长．

解：（1）由分析（1）可得答案

S=x2+（4﹣x）2或2x2﹣8x+16．（2分）

（2）W=60×4S△AEH+80（S正方形EFGN﹣S正方形MNPQ）+120S正方形MNPQ

=60×4×x（4﹣x）+80[x2+（4﹣x）2﹣x2]+120x2（4分）

=80x2﹣160x+1280．（5分）

配方得W=80（x﹣1）2+1200．（6分）

∴当x=1时，W最小值=1200元．（7分）

（3）因为四个黄颜色的直角三角形全等，所以EM=QH，

设EM=a米，则MH=MQ+QH=MQ+EM=（a+1）米．

在Rt△EMH中，a2+（a+1）2=12+32，

解得∵a＞0 ∴ ∴EM的长为米．（10分）

8．（2008•扬州）红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：

未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1=t+25．

（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y2=﹣t+40

（21≤t≤40且t为整数）．

下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：

（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；

（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．

解：（1）设一次函数为m=kt+b，

将和代入一次函数m=kt+b中，有，∴．∴m=﹣2t+96．

经检验，其它点的坐标均适合以上解析式，

故所求函数解析式为m=﹣2t+96；

（2）设前20天日销售利润为p1元，后20天日销售利润为p2元．

由p1=（﹣2t+96）（t+25﹣20）=（﹣2t+96）（t+5）=﹣t2+14t+480=﹣（t﹣14）2+578，

∵1≤t≤20，

∴当t=14时，p1有最大值578（元）．

由p2=（﹣2t+96）（﹣t+40﹣20）=（﹣2t+96）（﹣t+20）=t2﹣88t+1920=（t﹣44）2﹣16．

∵21≤t≤40，此函数对称轴是t=44，

∴函数p2在21≤t≤40上，在对称轴左侧，随t的增大而减小．

∴当t=21时，p2有最大值为（21﹣44）2﹣16=529﹣16=513（元）．

∵578＞513，故第14天时，销售利润最大，为578元；

（3）p1=（﹣2t+96）（t+25﹣20﹣a）=﹣t2+（14+2a）t+480﹣96a

对称轴为t==14+2a．

∵1≤t≤20，

∴当t≤2a+14时，P随t的增大而增大

又每天扣除捐赠后的日利润随时间t的增大而增大，

故：20≤2a+14，又∵a＜4，∴3≤a＜4．

10．（2008•泰安）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．

（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？

（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；

（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．

解：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）

（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：

y=kx+800，z=k1x+3000，

分别把点（50，1200），（100，2700）代入得，

种植亩数与政府补贴的函数关系为：y=8x+800

每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为z=﹣3x+3000

（3）由题意：

w=yz=（8x+800）（﹣3x+3000）

=﹣24x2+21600x+2400000

∴当x=450，即政府每亩补贴450元时，总收益额最大，为7260000元．

11．（2008•随州）某生物科技发展公司投资2000万元，研制出一种绿色保健食品．已知该产品的成本为40元/件，试销时，售价不低于成本价，又不高于180元/件．经市场调查知，年销售量y（万件）与销售单位x（元/件）的关系满足下表所示的规律．

（1）y与x之间的函数关系式是　　，自变量x的取值范围为　　；

（2）经测算：年销售量不低于90万件时，每件产品成本降低2元，设销售该产品年获利润为W（万元）（W=年销售额﹣成本﹣投资），求出年销售量低于90万件和不低于90万件时，W与x之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，当销售单位定为多少时，公司销售这种产品年获利润最大？最大利润为多少万元？

解：由题意得：

（1）y=﹣x+200（40≤x≤180）

（2）当y＜90，即﹣x+200＜90时，x＞110

W=（x﹣40）（﹣x+200）﹣2000=﹣x2+240x﹣10000

当y≥90，即﹣x+200≥90时，x≤110

W=（x﹣38）（﹣x+200）﹣2000=﹣x2+238x﹣9600

∴

（3）当110＜x≤180时，由W=﹣x2+240x﹣10000=﹣（x﹣120）2+4400得W最大=4400

当38≤x≤110时，W=﹣x2+238x﹣9600，

∴该函数图象是抛物线的一部分，该抛物线开口向下，它的对称轴是直线x=119，在对称轴左侧W随x的增大而增大．

∴当x=110，W最大=（110﹣38）×（﹣110+200）﹣2000=72×90﹣2000=4480

答：当销售单位定为110元时，年获利润最大，最大利润为4480万元．

12．（2008•宿迁）某宾馆有客房90间，当每间客房的定价为每天140元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每涨10元时，就会有5间客房空闲．如果旅客居住客房，宾馆需对每间客房每天支出60元的各种费用．

（1）请写出该宾馆每天的利润y（元）与每间客房涨价x（元）之间的函数关系式；

（2）设某天的利润为8000元，8000元的利润是否为该天的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时客房定价应为多少元？

（3）请回答客房定价在什么范围内宾馆就可获得利润？

解：（1）由题意得

y=（140﹣60+x）（90﹣•5）

即y=﹣x2+50x+7200；

（2）8000元的利润不是为该天的最大利润，

∵y=﹣（x2﹣100x+2500）+1250+7200=﹣（x﹣50）2+8450，

∴当x=50即每间客房定价为190元时，宾馆当天的最大利润为8450元；

（3）由﹣x2+50x+7200＞0得x2﹣100x﹣14400＜0，

即（x﹣180）（x+80）＜0，

解得﹣80＜x＜180，

由题意可知当客房的定价为：大于60元而小于320元时，宾馆就可获得利润．

13．（2008•泉州）某产品第一季度每件成本为50元，第二三季度每件产品平均降低成本的百分率为x．

（1）衣用含x的代数式表示第二季度每件产品的成本；

（2）如果第三季度每件产品成本比第一季度少9.5元，试求x的值；

（3）该产品第二季度每件的销售价为60元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于48元，设第三季度每件产品获得的利润为y元，试求y与x的函数关系式，并利用函数图象与性质求y的最大值．（注：利润=销售价﹣成本）

解：（1）依题意易得：50（1﹣x）；

（2）第三季度每件产品成本为50（1﹣x）2，根据题意得：50（1﹣x）2=50﹣9.5=40.5，

解得，x=0.1=10%，则x的值为10%；

（3）根据题意列得：60（1﹣x）≥48，解得：x≤，

又y=60（1﹣x）﹣50（1﹣x）2=﹣50x2+40x+10当x=时，y取最大值，

∴y=﹣50（x﹣）2+18=﹣50×（﹣）2+18=16，

答：y的最大值为16．

14．（2008•青海）王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图乙所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．

（1）求王亮解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求王亮回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式；

（3）王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？

（学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）

解：（1）设y=kx，把（2，4）代入，

得k=2．∴y=2x．（1分）

自变量x的取值范围是：0≤x≤30．（2分）

（2）当0≤x≤5时，设y=a（x﹣5）2+25，（3分）把（0，0）代入，得

25a+25=0，a=﹣1．

∴y=﹣（x﹣5）2+25=﹣x2+10x．（5分）

当5≤x≤15时，y=25（6分）

即．

（3）设王亮用于回顾反思的时间为x（0≤x≤15）分钟，学习效益总量为Z，

则他用于解题的时间为（30﹣x）分钟．

当0≤x≤5时，Z=﹣x2+10x+2（30﹣x）=﹣x2+8x+60=﹣（x﹣4）2+76．（7分）

∴当x=4时，Z最大=76．（8分）

当5≤x≤15时，Z=25+2（30﹣x）=﹣2x+85．（9分）

∵Z随x的增大而减小，

∴当x=5时，Z最大=75

综合所述，当x=4时，Z最大=76，此时30﹣x=26．（10分）

即王亮用于解题的时间为（26分）钟，用于回顾反思的时间为（4分）钟时，学习收益总量最大．（11分）

15．（2008•南宁）随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）

（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少？

解：（1）设y1=kx，由图①所示，函数y1=kx的图象过（1，2），

所以2=k•1，k=2，

故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x，

∵该抛物线的顶点是原点，∴设y2=ax2，

由图②所示，函数y2=ax2的图象过（2，2），

∴2=a•22，，

故利润y2关于投资量x的函数关系式是：y=x2；

（2）设这位专业户投入种植花卉x万元（0≤x≤8），则投入种植树木（8﹣x）万元，他获得的利润是z万元，根据题意，

得z=2（8﹣x）+x2=x2﹣2x+16=（x﹣2）2+14，

当x=2时，z的最小值是14，

∵0≤x≤8，∴﹣2≤x﹣2≤6，∴（x﹣2）2≤36，∴（x﹣2）2≤18，∴（x﹣2）2+14≤18+14=32，

即z≤32，此时x=8，

当x=8时，z的最大值是32．

16．（2008•凉山州）我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．

（1）设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式

（2）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出P与x之间的函数关系式．

（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元？

（利润=销售总额﹣收购成本﹣各种费用）

解：（1）由题意得y与x之间的函数关系式

y=x+30（1≤x≤160，且x为整数）

（2）由题意得P与X之间的函数关系式P=（x+30）（1000﹣3x）=﹣3x2+910x+30000

（3）由题意得

w=（﹣3x2+910x+30000）﹣30×1000﹣310x

=﹣3（x﹣100）2+30000

∴当x=100时，w最大=30000

∵100天＜160天

∴存放100天后出售这批野生菌可获得最大利润30000元．

17．（2007•黄冈）我市高新技术开发区的某公司，用480万元购得某种产品的生产技术后，并进一步投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到300元之间较为合理．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为w（万元）．（年获利=年销售额﹣生产成本﹣投资成本）

（1）直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）求第一年的年获利w与x间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？

（3）若该公司希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏损）后，两年的总盈利不低于1842元，请你确定此时销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？

解：（1）这个显然是一个分段函数，

y=20﹣=﹣0.08x+28

100≤x＜200，

可见x=200元时，y=28﹣16=12（万件）y=12﹣=﹣0.1x+32，200≤x≤300．

（2）投资成本为480+1520=2000万元

y=﹣0.08x+28，100≤x＜200，

w=xy﹣40y﹣2000

=（x﹣40）（﹣0.08x+28）﹣2000=﹣0.08x2+31.2x﹣3120=﹣0.08（x﹣195）2﹣78

可见第一年在100≤x＜200注定亏损，x=195时亏损最少，为78万元

200≤x≤300，y=﹣0.1x+32，

w=xy﹣40y﹣2000=（x﹣40）（﹣0.1x+32）﹣2000=﹣0.1x2+36x﹣3280=﹣0.1（x﹣180）2﹣40

可见第一年在200≤x≤300注定亏损，x=200时亏损最少，为80万元

综上可见，x=195时亏损最少，为78万元．

（3）两年的总盈利不低于1842元，可见第二年至少要盈利1842+78=1920万元，既然两年一块算，第二年我们就不用算投资成本那2000万元了．

第二年：

100≤x≤200时

第二年盈利=xy﹣40y=﹣0.08（x﹣195）2+1922≥1920

解不等式得到：190≤x≤200

200≤x≤300时

第二年盈利=xy﹣40y=﹣0.1（x﹣180）2+1960≥1920

解不等式得到：160≤x≤200，联合200≤x≤300，也就只有x=200

综上有190≤x≤200为解

这时候再看y=﹣0.08x+28，可见x=190时，y最大，为12.8

所以定价190元时候，销售量最大．

18．研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x（吨）时，所需的全部费用y（万元）与x满足关系式y=，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p甲、p乙（万元）均与x满足一次函数关系．（注：年利润=年销售额﹣全部费用）

（1）成果表明，在甲地生产并销售x吨时，每吨的售价p甲（万元）与第一年的年产量为x（吨）之间大致满足如图所示的一次函数关系．请你直接写出p甲与x的函数关系式，并用含x的代数式表示甲地当年的年销售额；

（2）根据题中条件和（1）的结果，求年利润w甲（万元）与x（吨）之间的函数关系式和甲的最大年利润；

（3）成果表明，在乙地生产并销售x吨时，p乙=（n为常数），且在乙地当年的最大年利润为45万元．试确定n的值；

（4）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（2）、（3）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？

参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是．

解：（1）将（20，14），（40，13）代入p=kx+b，，解得：∴p甲=﹣，

∴w甲=﹣x2+15x（0≤x≤300），

（2）年利润w甲（万元）与x（吨）之间的函数关系式为：

w甲=﹣x2+15x﹣（）=﹣x2+9x﹣80，

甲的最大年利润

=55（万元）；

（3）由题意得：w乙=（）x﹣（），

整理得：

w乙=﹣x2+nx﹣（ x2+6x+80）=﹣x2+（n﹣6）x﹣80．

由 =45，

解得n=16或﹣4．经检验，n=﹣4不合题意，舍去，∴n=16．

（4）在乙地区生产并销售时，年利润

w乙=﹣x2+10x﹣80，

将x=18代入上式，得w乙=35.2（万元）；

将x=18代入w甲=﹣x2+9x﹣80，得w甲=33.4（万元）．

∵W乙＞W甲，∴应选乙地．

19．（2008•恩施州）为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量w（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：w=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为y（元）．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？

解：（1）y=（x﹣20）w=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600，

∴y与x的函数关系式为：y=﹣2x2+120x﹣1600；（3分）

（2）y=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，

∴当x=30时，y有最大值200，

∴当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；（6分）

（3）当y=150时，可得方程：

﹣2（x﹣30）2+200=150，

解这个方程，得x1=25，x2=35，（8分）

根据题意，x2=35不合题意，应舍去，

∴当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元．（10分）

20．某服装经销商甲库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可卖出100套，一年刚好卖完．现市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出每套500元，每月可卖出120套（两种服装的市场行情相互不受影响）．目前有一可进B品牌服装的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是经销商手头无流动资金可用，只有折价转让A品牌服装，经与销售商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有如下关系：

现在经销商甲面临三种选择：

方案一：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装；

方案二：全部转让A品牌服装，用转让得来的资金一次性购入B品牌服装后，经销B品牌服装；

方案三：为谋求更高利润，部分转让A品牌服装，用转让来的资金一次性购入B品牌服装后，经销B品牌服装，同时也经销A品牌服装．

问：（1）如经销商甲选择方案一，则他在一年内能获得多少利润？

（2）如经销商甲选择方案二，则他在一年内能获得多少利润？

（3）经销商甲选择哪种方案可以使自己在一年内获得最大利润？并求出此时他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少？此时他在这一年内共得利润多少元？

解：（1）经销商甲的进货成本是1200×400=480000（元）（1分）

选方案一，则获利1200×600﹣480000=240000（元）（3分）

（2）若选方案二，得转让款1200×240=288000（元）（4分）

可购进B品牌服装288000÷200=1440（套）

一年内刚好卖完（5分）

可获利1440×500﹣480000=240000（元）（6分）

（3）设转让A品牌服装x套，则转让价是每套（360﹣）元

可得转让资金x（360﹣）元那么可购进B品牌服装套，

全部售出B品牌服装后得款500×= x（360﹣）（8分）

此时，还剩A品牌服装（1200﹣x）套，

全部售出A品牌服装后得款600（1200﹣x）（元）

共获利：x（360﹣）+600（1200﹣x）﹣480000=﹣（ x﹣600）2+330000（9分）

∴当x=600（套），可获最大利润330000元． …（10分）

答：选择第三种方案在一年内获得利润最大，当他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是600套时，可获最大利润330000元．

21．2011年在国家央行加息的压力下，某公司决定研制一种新型节能产品并加以销售，现准备在一线城市和二线城市两个不同地方按不同销售方案进行销售，以便开拓市场．

若只在一线城市销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=x+150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为 W一线（元）（利润=销售额﹣成本﹣广告费）．

若只在二线城市销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2 元的附加费，设月利润为 W二线（元）（利润=销售额﹣成本﹣附加费）．

（1）当x=1000时，y=　140　元/件，w一线；=　57500　元；

（2）分别求出 W一线，W二线与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；

（3）当x为何值时，在一线城市销售的月利润最大？若在二线城市销售月利润的最大值与在一线城市销售月利润的最大值相同，求a的值；

（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在二线城市还是在一线城市销售才能使所获月利润较大？

解：（1）当x=1000时，y=x+150=﹣10+150=140，

W一线=（x+150）x﹣62500=140×1000﹣62500=57500；

故填：140，57500；　　

（2）依题意，得

w一线=x（y﹣20）﹣62500=x2+130x﹣62500，

W二线=（150﹣a）xx2；

（3）当x==6500时，w一线最大；

由题意得，=，

解得a1=30，a2=270（不合题意，舍去），所以a=30；

（4）当x=5000时，w一线=337500，w二线=﹣5000a+500000．

若w一线＜w二线，则a＜32.5；

若w一线=w二线，则a=32.5；

若w一线＞w二线，则a＞32.5．

所以，当10≤a＜32.5时，选择在二线销售；

当a=32.5时，在一线和二线销售都一样；

当32.5＜a≤40时，选择在一线销售．

22．（2008•安顺）某文具零售店准备从批发市场选购A、B两种文具，批发价A种为12元/件，B种为8元/件．若该店零售A、B两种文具的日销售量y（件）与零售价x（元/件）均成一次函数关系．（如图）

（1）求y与x的函数关系式；

（2）该店计划这次选购A、B两种文具的数量共100件，所花资金不超过1000元，并希望全部售完获利不低于296元，若按A种文具日销售量4件和B种文具每件可获利2元计算，则该店这次有哪几种进货方案？

（3）若A种文具的零售价比B种文具的零售价高2元/件，求两种文具每天的销售利润W（元）与A种文具零售价x（元/件）之间的函数关系式，并说明A、B两种文具零售价分别为多少时，每天销售的利润最大？

解：（1）由图象知：当x=10时，y=10；当x=15时，y=5．

设y=kx+b，根据题意得：，解得，∴y=﹣x+20．

（2）当y=4时，得x=16，即A零售价为16元．

设这次批发A种文具a件，则B文具是（100﹣a）件，由题意，得，

解得48≤a≤50，

∵文具的数量为整数，

∴有三种进货方案，分别是①进A种48件，B种52件；②进A种49件，B种51件；③进A种50件，B种50件．

（3）w=（x﹣12）（﹣x+20）+（x﹣10）（﹣x+22），整理，得w=﹣2x2+64x﹣460．

当x=﹣=16，w有最大值，即每天销售的利润最大．

23．（2006•荆门）某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品，已知每件产品的进价为40元，经销过程中测出销售量y（万件）与销售单价x（元）存在如图所示的一次函数关系，每年销售该种产品的总开支z（万元）（不含进价）与年销量y（万件）存在函数关系z=10y+42.5．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）写出该公司销售该种产品年获利w（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式；（年获利=年销售总金额一年销售产品的总进价一年总开支金额）当销售单价x为何值时，年获利最大？最大值是多少？

（3）若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元，请你利用（2）小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围．在此条件下要使产品的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？

解：（1）由题意，设y=kx+b，图象过点（70，5），（90，3），

∴ 解得 ∴y=﹣x+12．

（2）由题意，得

w=y（x﹣40）﹣z=y（x﹣40）﹣（10y+42.5）

=（x+12）（x﹣40）﹣10（x+12）﹣42.5

=﹣0.1x2+17x﹣642.5=（x﹣85）2+80．

当85元时，年获利的最大值为80万元．

（3）令w=57.5，得﹣0.1x2+17x﹣642.5=57.5．

整理，得x2﹣170x+7000=0．解得x1=70，x2=100．

由图象可知，要使年获利不低于57.5万元，销售单价应在70元到100元之间．

又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又使年获利不低于57.5万元，销售单价应定为70元．

24．（2006•杭州）杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y（万元），且y=ax2+bx；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g（万元），g也是关于x的解析式；

（1）若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元．求y关于x的解析式；

（2）求纯收益g关于x的解析式；

（3）问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大几个月后，能收回投资？

解：（1）由题意得：x=1时y=2；

x=2时y=2+4=6代入得：解之得：∴y=x2+x；

（2）由题意得：

g=33x﹣150﹣（x2+x）=﹣x2+32 x﹣150；

（3）g=﹣x2+32 x﹣150=﹣（x﹣16）2+106，

∴当x=16时g最大值=106

即设施开放16个月后，游乐场的纯收益达到最大

又∵当0＜x≤16时，g随x的增大而增大；

当x≤5时，g＜0；而当x＞6时，g＞0

25．（2011•徐州）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，﹣2）．

（1）求此函数的关系式；

（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵y=x2+bx+c的顶点为（1，﹣2）．

∴y=（x﹣1）2﹣2，y=x2﹣2x﹣1；

（2）设直线PE对应的函数关系式为y=kx+b，

由题意四边形ABCD是菱形，

故直线PE必过菱形ABCD的对称中心M．

由P（0，﹣1），M（1，0），

得从而得y=x﹣1，

设E（x，x﹣1）代入y=x2﹣2x﹣1得x﹣1=x2﹣2x﹣1，

解得x1=0，x2=3，根据题意得点E（3，2）；

（3）假设存在这样的点F，可设F（x，x2﹣2x﹣1），

过点F做FG⊥y轴，垂足为G点．

在Rt△POM和Rt△FGP中，

∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°，

∠OMP=∠FPG，又∠POMP=∠PGF，∴△POM∽△FGP∴

∵OM=1，OP=1，∴GP=GF，即﹣1﹣（x2﹣2x﹣1）=x，

解得x1=0，x2=1，根据题意得F（1，﹣2）

以上各步均可逆，故点F（1，﹣2）即为所求，

S△PEF=S△MFP+S△MFE=2×1×2×2=3．

26．（2011•湘西州）如图．抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C．

（1）求点A、点B和点C的坐标．

（2）求直线AC的解析式．

（3）设点M是第二象限内抛物线上的一点，且S△MAB=6，求点M的坐标．

（4）若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从 B 向A运动（不与B，A重合），同时，点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动．设运动的时间为t秒，请求出△APQ的面积S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，△APQ的面积最大，最大面积是多少？

解：（1）令﹣x2﹣2x+3=0，（x+3）（x﹣1）=0，x1=﹣3，x2=1，

A（﹣3，0）B．（1，0），C（0，3）；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，

由题意，得，解之得，故y=x+3；

（3）设M点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），

AB=4，因为M在第二象限，所以﹣x2﹣2x+3＞0，

所以=6，解之，得x1=0，x2=﹣2，

当x=0时，y=3，（不合题意）当x=﹣2时，y=3．所以M点的坐标为（﹣2，3）；

（4）由题意，得AB=4，PA=4﹣t，

∵AO=3，CO=3，∴△AOC是等腰直角三角形，AQ=2t，

所以Q点的纵坐标为t，

S=（0＜t＜4）

∵，

∴当t=2时，△APQ最大，最大面积是．

27．（2011•仙桃天门潜江江汉油田）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．

（1）直接填写：a=　﹣1　，b=　﹣2　，顶点C的坐标为　（﹣1，4）　；

（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．

解：（1）a=﹣1，b=﹣2，顶点C的坐标为（﹣1，4）；

（2）假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CE⊥y轴于点E．

由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°．又∠2+∠3=90°，

∴∠3=∠1．又∵∠CED=∠DOA=90°，∴△CED∽△DOA，∴．

设D（0，c），则．变形得c2﹣4c+3=0，解之得c1=3，c2=1．

综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），

使△ACD是以AC为斜边的直角三角形．

（3）①若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH．

延长CP交x轴于M，∴AM=CM，∴AM2=CM2．

设M（m，0），则（m+3）2=42+（m+1）2，∴m=2，即M（2，0）．

设直线CM的解析式为y=k1x+b1，

则，解之得，．

∴直线CM的解析式．联立，解之得或（舍去）．∴．

②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．

过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N．

由△CFA∽△CAH得，

由△FNA∽△AHC得．

∴AN=2，FN=1，点F坐标为（﹣5，1）．

设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则，

解之得．∴直线CF的解析式．

联立，解之得或（舍去）．∴．

∴满足条件的点P坐标为或．

28．（2011•芜湖）平面直角坐标系中，▱ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到▱A'B'OC'．

（1）若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式；

（2）▱ABOC和▱A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长；

（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标．

解：（1）∵▱ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到▱A'B'OC'，点A的坐标为（0，3），

∴点A′的坐标为（3，0）．∴抛物线过点A、C、A′．

设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx（a≠0），可得

，解得．故此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

（2）∵∠OAB=90°，AB=OC=1，AO=3．

∴OB=．

可证△C1OD∽△BOA

△C1OD的周长与△BOA的周长比=OC1：OB=1：

△BOA的周长=4+

△C1OD的周长=．

（3）连接A′A，OM，设M点的坐标为：（m，n），

∵点M在抛物线上，

∴n=﹣m2+2m+3，

∴S△AMA′=S△AMO+S△OMA′﹣S△AOA=OA•m+OA′•n﹣OA•OA′=（m+n）﹣=（m+n﹣3）=﹣（m2﹣3m）=﹣（m﹣）2+，∵0＜m＜3，

∵m=时，n=，△AMA'的面积最大S△AMA'=，

∴M（，），△AMA'的面积最大S△AMA'=．

29．（2011•潼南县）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．

（1）求b，c的值；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下：

①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；

②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），

∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5），∴，

解得：b=﹣2，c=﹣3；

（2）如图：∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），

∴直线AB的解析式为：y=x+1，

∵二次函数y=x2﹣2x﹣3，

∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），

∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）2+，

∴当t=时，EF的最大值为，

∴点E的坐标为（，）；

（3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．

可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，﹣4）

S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=××（4﹣）+××（﹣1）=；

②如图：

ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3）

则有：m2﹣2m﹣3=，

解得：m1=，m2=，∴P1（1﹣，），P2（1+，），

ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3）

则有：n2﹣2n﹣3=﹣，解得：n1=，n2=（与点F重合，舍去），∴P3（，﹣），

综上所述：所有点P的坐标：P1（1﹣，），P2（1+，），P3（，﹣）能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．

30．（2008•宁德）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，点D在AC上，CD=3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒（0＜x＜8），△DCQ的面积为y1平方厘米，△PCQ的面积为y2平方厘米．