沪科版九年级数学上册全册教案

21.1　二次函数

教学目标：

（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯

重点难点：

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

教学过程：

一、试一试

1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中，

2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗?

3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式，

对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。

对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。

对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．

二、提出问题

某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?

在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：

1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?

[利润=(售价－进价)×销售量]

2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?

[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]

3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? (10－8－x)；(100＋100x)

4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，

[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]

5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。

y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x≤2)

将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为：

y=－2x2＋20x (0＜x＜10)……………………………(1)

将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为：

y=－100x2＋100x＋20D (0≤x≤2)……………………(2)

三、观察；概括

1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答；

(1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个?

(各有1个)

(2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式?

(分别是二次多项式)

(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点?

(都是用自变量的二次多项式来表示的)

(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。

2．二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项．

四、课堂练习

1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数?

(1)y=5x＋1 (2)y=4x2－1

(3)y=2x3－3x2 (4)y=5x4－3x＋1

2．P3练习第1，2题。

五、小结

1．请叙述二次函数的定义．

2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。

六、作业布置

教材P4 习题23.1 2，3，4，5，6

其他：

七、个性化设计与课后反思：

21.2　二次函数y=ax2的图象和性质（1）

教学目标：

1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。

2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯

重点难点：

重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象是教学的重点。难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?

(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)

2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?

(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)

3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?

二、范例

例1、画二次函数y=ax2的图象。新 课标 第一 网

解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：

(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点

(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。

提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?

让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。

抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。

顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．

三、做一做

1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?

2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?

3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?

对于1，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。

对于2，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点；教师可引导学生类比1得出。

对于3，教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它的顶点坐标都是(0，0)．

四、归纳、概括

函数y＝x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数y＝x2、y=-x2、y＝2x2、y=-2x2的图象的共同特点，可猜想：

函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。

如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么?

让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空；

当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。

图象的这些特点反映了函数的什么性质?

先让学生观察下图，回答以下问题；

(1)XA、XB大小关系如何?是否都小于0？

(2)yA、yB大小关系如何?

(3)XC、XD大小关系如何?是否都大于0?

(4)yC、yD大小关系如何?

(XA，且XA<0，XB<0；yA>yB；XC，且XC>0，XD>0，yC

其次，让学生填空。

当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______

以上结论就是当a>0时，函数y=ax2的性质。

思考以下问题：

观察函数y＝-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当a时，抛物线y＝ax2有些什么特点?它反映了当a时，函数y=ax2具有哪些性质?

让学生讨论、交流，达成共识，当a时，抛物线y=ax2开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点抛物线上位置最高的点。图象的这些特点，反映了当a时，函数y=ax2的性质；当x<0时，函数值y随x的增大而增大；与x>O时，函数值y随x的增大而减小，当x=0时，函数值y＝ax2取得最大值，最大值是y＝0。

五、课堂练习：P6练习1、2、3、4。

六、小结：

1．如何画出函数y=ax2的图象?

2．函数y＝ax2具有哪些性质?

六、作业布置

教材P9 习题23.2 1，3，4，5

其他：

七、个性化设计与课后反思：

21.2二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质(2)

教学目标：

1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象。

2．让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。

重点难点：

重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系是教学的重点。

难点：理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－x2，y＝－x2－1图象，并回答：

(1)两条抛物线的位置关系。

(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。

(3)说出它们所具有的公共性质。

2．二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?

二、分析问题，解决问题

问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题?

(画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察)

问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象吗?

1．让学生完成下表填空。

2．让学生在直角坐标系中画出图来： 3．教师巡视、指导。

问题3：现在你能回答前面提出的问题吗?

教师引导学生观察画出的两个函数图象．根据所画出的图象，完成以下填空：

2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝2(x-1)2的图象可以看作是函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)。

问题4：你可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x－1)2的性质吗?

1.教师引导学生回顾二次函数y＝2x2的性质，并观察二次函数y＝2(x－1)2的图象；

2．让学生完成以下填空：

当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x＝______时，函数取得最______值y＝______。

三、做一做

问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象，并比较它们的联系和区别吗?

1．在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；

2．请两位同学上台板演，教师讲评；

3．让学生发表不同的意见，归结为：函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y＝2(x＋1)2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位得到的。它的对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，0)。

问题6；你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x＋1)2的性质吗?

让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当x＜－1时，函数值y随x的增大而减小；当x＞－1时，函数值y随x的增大而增大；当x＝一1时，函数取得最小值，最小值y＝0。

问题7：在同一直角坐标系中，函数y＝－(x＋2)2图象与函数y＝－x2的图象有何关系?

(函数y＝－(x＋2)2的图象可以看作是将函数y＝－x2的图象向左平移2个单位得到的。)

问题8：你能说出函数y＝－(x＋2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗(函数y＝－(x十2)2图象开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是(－2，0))。

问题9：你能得到函数y＝(x＋2)2的性质吗?

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当x＜－2时，函数值y随x的增大而增大；

当x＞－2时，函数值y随工的增大而减小；当x＝－2时，函数取得最大值，最大值y＝0。

四、课堂练习：　P11练习1、2、3

五、小结：

1．在同一直角坐标系中，函数y＝a(x－h)2的图象与函数y＝ax2的图象有什么联系和区别?

2．你能说出函数y＝a(x－h)2图象的性质吗?

3．谈谈本节课的收获和体会。

六、作业布置 教材P23 习题23.3 1，2

七、个性化设计与课后反思：

21.2二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质(3)

教学目标：

1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。

2、让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。

重点难点：

1、会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系。

2、正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。

2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?

二、分析问题，解决问题

问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究?

(画出函数y＝2x2和函数y＝2x2的图象，并加以比较)

问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗?

1．先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝2x2的图象。

2．教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝2x2＋1的对应值表，并让学生画出函数y＝2x2＋1的图象．

3．教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较。

解：(1)列表：

(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。

(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象。

（图象略）

问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?

教师引导学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值

之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1。

教师引导学生观察函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象，先研究点(－1，2)和点(－1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。

问题4：函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系?

由问题3的探索，可以得到结论：函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的。

问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?

让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。

问题6：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗?

完成填空：

当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______．

以上就是函数y＝2x2＋1的性质。

三、做一做

问题7：先在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?

1．在学生画函数图象的同时，教师巡视指导；

2．让学生发表意见，归纳为：函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同。函数y＝2x2－2的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向下平移两个单位得到的。

问题8：你能说出函数y＝2x2－2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗?

1．让学生口答，函数y＝2x2－2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，－2)；

2．分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当x＜0时，函数

值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得

最小值，最小值y＝－2。

问题9：在同一直角坐标系中。函数y＝－x2＋2图象与函数y＝－x2的图象有什么关系?

要求学生能够画出函数y＝－x2与函数y＝－x2＋2的草图，由草图观察得出结论：函数y＝－1/3x2＋2的图象与函数y＝－x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝－x2＋2的图象可以看成将函数y＝－x2的图象向上平移两个单位得到的。

问题10：你能说出函数y＝－x2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

[函数y＝－x2＋2的图象的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，2)]

问题11：这个函数图象有哪些性质?

让学生观察函数y＝－x2＋2的图象得出性质：当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；当x＝0时，函数取得最大值，最大值y＝2。

四、练习：　P9 练习1、2、3。

五、小结

1．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系?

2．你能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质?

六、作业布置

教材P23 习题23.3 3，4，5

其他：

七、个性化设计与课后反思：

21.2二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 （4）

教学目标：

1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。

2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3．让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。

重点难点：

重点：确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的重点。

难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?

(函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2图象向上平移一个单位得到的)

2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系?

(函数y=2(x－1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的，见P10图26.2.3)

3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?

二、试一试

你能填写下表吗?

问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系吗?

问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?

对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；

函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。

当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。

三、做一做

问题4：在图26．2．3中，你能再画出函数y=2(x－1)2－2的图象，并将它与函数y=2(x－1)2的图象作比较吗?

1．在学生画函数图象时，教师巡视指导；

2．对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。

问题5：你能说出函数y=－(x－1)2＋2的图象与函数y=－x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

(函数y＝－(x－1)2＋2的图象可以看成是将函数y=－x2的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是(1，2)

四、课堂练习： P13练习1、2、3、4。

对于练习第4题，教师必须提示：将－3x2－6x＋8配方，化为练习第3题中的形式，即

y=－3x2－6x＋8 =－3(x2＋2x)＋8 =－3(x2＋2x＋1－1)＋8 =－3(x＋1)2＋11

五、小结

1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑?

2．谈谈你的学习体会。

六、作业布置

教材P23 习题23.3 6，7，8，9

其他：

七、个性化设计与课后反思：

21.2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 （5）

教学目标：

1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。

2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3．让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。

重点难点：

重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。

难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－、(－，)是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ (函数y＝－4(x－2)2＋1图象开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是(2，1)。

2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?

(函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)

3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?

(当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1)

4．不画出图象，你能直接说出函数y＝－x2＋x－的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

[因为y＝－x2＋x－＝－(x－1)2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－2)]

5．你能画出函数y＝－x2＋x－的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?

二、解决问题

由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y＝－x2＋x－的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y＝－x2＋x－的图象，进而观察得到这个函数的性质。

解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表；

(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。

(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y＝－x2＋x－的图象。

说明：(1)列表时，应根据对称轴是x＝1，以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。

(2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。

让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函数韵性质；

当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝－2

三、做一做

1．请你按照上面的方法，画出函数y＝x2－4x＋10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质吗?

(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；

(2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评。

2．通过配方变形，说出函数y＝－2x2＋8x－8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?

(1)在学生做题时，教师巡视、指导；(2)让学生总结配方的方法；(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系?

以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么，对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗?

教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识；

y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋x)＋c ＝a[x2＋x＋()2－()2]＋c

＝a[x2＋x＋()2]＋c－ ＝a(x＋)2＋

当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。

对称轴是x＝－b/2a，顶点坐标是(－，)

四、课堂练习：　　P15练习第1、2、3题。

五、小结：　通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？

六、作业：　

1．填空：

(1)抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标是_______；

(2)抛物线y＝2x2－2x－的开口_______，对称轴是_______；

(3)抛物线y＝－2x2－4x＋8的开口_______，顶点坐标是_______；

(4)抛物线y＝－x2＋2x＋4的对称轴是_______；

(5)二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝_______．

2．画出函数y＝2x2－3x的图象，说明这个函数具有哪些性质。

3. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

(1)y＝3x2＋2x； (2)y＝－x2－2x

(3)y＝－2x2＋8x－8 (4)y＝x2－4x＋3

4．求二次函数y＝mx2＋2mx＋3(m＞0)的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质

七、个性化设计与课后反思：

21.3二次函数与一元二次方程 第一课时

教学目标

1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系过程,体会方程与函数之间的联系。

2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。

3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标。

教学重点

1、体会方程与函数之间的联系.

2、理解何时方程有两个不等的实根,两个相等的实数和没有实根.

3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.

教学难点

1、探索方程与函数之间的联系的过程.

2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.

教具准备 多媒体课件

教学过程

一、复习

1、一元二次方程-5x2+40x=0的根为：

2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = 。

当△﹥0方程根的情况是： ；

当△=0时，方程 ；

当△﹤0时，方程 。

3、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条 ，它与x轴的交点有几种可能的情况？

二、创设问题情境,引入新课

  师：上学期我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.

  现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.

三、活动探究

  二次函数①y= x2+2x, ②y=x2-2x+1, ③y= x2-2x+2的图象如下图所示.

  

(1)每个图象与x轴有几个交点?

  (2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?解方程验证一下:一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?

  (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

  师：还请大家先讨论后解答.

  答：(1)二次函数y= x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴分别有两个交点,一个交点,没有交点.

    (2)一元二次方程x2+2x=0有两个根0,-2;方程x2-2x+1=0有两个相等的根1或一个根1;方程x2-2x+2=0没有实数根.

    (3)从观察图象和讨论中可知,二次函数y= x2+2x的图象与x轴有两个交点,交点的坐标分别为(0,0),(-2,0),方程x2+2x=0有两个根0,-2;

  二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点,交点坐标为(1,0),方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根(或一个根)1;二次函数y= x2-2x+2的图象与x轴没有交点,方程x2-2x+2=0没有实数根.

由此可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根。

  总结：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根。

四、课堂练习

1、若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是 。

2、抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ ）

A、两个交点 B、一个交点 C、没有交点 D、画出图象后才能说明

3、抛物线y=x2-4x+4与轴有 个交点，坐标是 、。

4、不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标。

5、（P28练习3）证明：抛物线y=x2-(2p-1)x+p2-p与x轴必有两个不同的交点。

6、（拓展练习）一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。

五、课堂小结

二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根。

六、作业布置 教材P29 1，2，3

七、个性化设计与课后反思：

21.3 二次函数与一元二次方程 第二课时

教学目标

 1、能够利用二次函数图象求一元二次方程的近似根,进一步发展估算能力。

2、通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根,进一步掌握二次函数图

象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系,提高估算能力。

3、利用图象法求一元二次方程的近似根,重要的是让学生懂得这种求解方程

的思路,体验数形结合思想。

教学重点

1、经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程,体会方程与函数之间的联系。

2、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

教学难点

利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

教具准备 多媒体课件

教学过程

一、复习

提问：二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

1、若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是 。

2、抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ ）

A、两个交点 B、一个交点 C、没有交点 D、画出图象后才能说明

3、不画图象，求抛物线y=x2-x-6与x轴交点坐标。

二、创设问题情境,引入新课

师：上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐

标和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系,懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标,就是y=0时的一元二次方程的根,于是,我们在不解方程的情况下,只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确地求出方程的解,所以要进行估算.本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根.

探究一：用图像法求一元二次方程x2+2x-1=0的解（精确到0.1）。

下图是函数y=x2+2x-1的图象。

  师：从图象上来看,二次函数y=x2+2x-1的图象与x轴交点的横坐标一个在-3与-2之间,另一个在0与1之间,所以方程x2+2x-1=0的两个根一个在-3与-2之间,另一个在0与1之间.这只是大概范围,究竟更接近于哪一个数呢?请大家讨论解决。

  有关估算问题我们在前面已学习过了,即是用试一试的方法进行的.既然一个根在-2与-3之间,那这个根一定是负2点几,所以个位数就确定下来了,接着确定十分位上的数,这时可以用试一试的方法,即分别把x=-2.1,-2.2,…,-2.9代入方程进行计算,哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立),则这个值就是方程的根(或近似根).

  由于计算比较烦琐,所以要求学生可以用计算器进行计算。

   从图象上看,可以估计x的取值是-2.4或-2.5 ,利用计算器进行探索,如下表：

从上表可知,当x取-2.4或-2.5时,对应y的值由负变正,可见在-2.4和-2.5之间一定有一个x得值使y=0，即有方程x2+2x-1=0的一个根。由于题目只要求精确到0.1，所以这是去x=-2.4或x=-2.5作为根都符合要求。但是当x=-2.4时，y=-0.04比y=0.25（x=-2.5）更接近0.所以选x=-2.4。

因此，方程x2+2x-1=0在-3和-2之间精确到0.1的根为x=-2.4。

有了上面的分析和结果,求另一个近似根就不困难了,请大家继续.（学生研究）   

另一根为x=0.4

探究二：还有没有其他的解决办法？（针对程度较好学生）

引导学生将方程变形为x2=2x-1，从而将问题转化为求函数y= x2和y=-2x+1的交点横坐标，培养学生利用数形结合解题的思想。

如图所示

函数y=x2和y=-2x+1交于A、B两点，这两点的横坐标就是我们要求的根。

探究三：你能否结合二次函数的图像，求出使y=x2+2x-1>0和y=x2+2x-1<0

时，x的取值范围？

由图像可知，y=x2+2x-1>0的图像位于x轴上方，图像位于x轴上方的自变量

x取值范围是x<-2.4或x>0.4；y=x2+2x-1<0的图像位于x轴下方，图像位于轴

下方的自变量x取值范围是-2.4。

三、课堂练习   P28练习4

四、课堂小结

  本节课学习的内容:

  1.经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会了方程与函数之间的联系；

  2.经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得了用图象法求方程近似根的体验；

五、作业布置

教材P29 6，7，8

六、个性化设计与课后反思：

21.4 二次函数的应用 第一课时（最值问题）

教学目标：

1、经历数学建模的基本过程。

2、会运用二次函数求实际生活中的最值问题。

3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。

教学重点

二次函数在最优化问题中的应用

教学难点

从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解

教具准备 多媒体课件

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

由23.1节的问题1引入

在问题1中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少？它的最大面积是多少？

问题分析：这是一个求最值的问题。要想解决这个问题，就要首先将实际问题转化成数学问题。

二、讲授新课

在前面的学习中我们已经知道，这个问题中的水面长x与面积S之间的满足函数关系式S=-x2+20x。通过配方，得到S=-(x-10)2+100。由此可以看出，这个函数的图像是一条开口向下的抛物线，其定点坐标是(10，100)。所以，当x=10m时，函数取得最大值，为S最大值=100（m2）。

所以，当围成的矩形水面长为10m，宽为10m时，它的面积最大，最大面积是100 m2。

总结得出解这类题的一般步骤：

（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量取值范围；

（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。

三、例题讲解 P30例2：

上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下关系式：h＝v0t－gt2，其中h是物体上升的高度，v0是物体被上抛时的初始速度，g表示重力加速度，通常取g＝10m/s2，t是舞台抛出后经过的时间。在一次排球比赛中，球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s。

（1）问排球上升的最大高度是多少？

（2）已知某运动员在2.5m高度是扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？（精确到0.1s）。

分析：学生容易把这个问题中排球的运动路线想象成抛物线，这一点需要首先说明，球是竖直上抛，在球上升或下降的过程中运动员完成击球。第一个问题,配方得到h=-5(t-1)2+5,抛物线开口向下，顶点坐标（1，5），所以最大高度为5米。第二个问题只要令h=2.5，求出方程h=10t-5t2的解，t1≈0.3(s),t2≈1.7(s)。在结合实际情况，要快攻，所以最后确定选择较小的根。

四、课堂练习

1、23.1节为题2中，你能用二次函数的性质求出每件商品涨价多少，才能使每周得到的利润最多？

2、P31练习1、2、3

五、课堂小结

本节课，我们将实际问题转化为数学模型，利用二次函数的知识解决了实际生活中的最值问题。

六、布置作业 教材P34 1 其他：

七、个性化设计与课后反思：

21.4 二次函数的应用 第二课时（抛物线型问题）

教学目标

1、通过图形之间的关系列出函数解析式

2、用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题

教学重点：

用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题

教学难点

通过图形之间的关系列出函数解析式

教具准备 多媒体课件

教学过程

一、创设情景

欣赏生活中抛物线的图片，回忆二次函数的有关知识。

图1 图2 图3 图4

二、新课教学

【例题讲解】

例1、如图，悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似的看做抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接。若两端主塔之间水平距离为900m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m。

（1）若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，如图，求这条抛物线的函数关系式；

（2）计算距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长。（精确到0.1m）

分析：第（1）题的关键是设立合适的函数解析式，根据题意可知抛物线的顶点为（0，0.5），且关于y轴对称，则可以设函数关系式为y=ax2+0.5，再将（450，81.5）带入解析式中，即可求出a的值。第（2）题要注意不能直接将100、50当做横坐标代入。

解：（1）设抛物线的函数关系式为y=ax2+0.5，将(450，81.5）代入，得

81.5=a•4502+0.5

解方程，得

因而，所求抛物线的函数关系式为（-450≤x≤450）。

（2）当x=450-100=350（m）时，得

；

当x=450-50=400（m）时，得

。

因而，距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长分别约为49.5m、64.5m。

例2、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB．如图(一)在比例图上，以直线AB为x轴、抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系：如图(二)．

(1)求出图(一)上的这一部分抛物线的图象的函数表达式，写出函数的定义域；

(2)如果DE与AB的距离OM＝0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长．(备用数据：≈1.4，结果精确到1米)

解：

（1）由图(二)建立直角坐标系，可知C(0，0.9)，A(－2.5，0)，B(2.5，0)．

设函数表达式为y＝a(x－2.5)(x＋2.5)，将 (0，0.9)代入，得

0.9＝－6.25a a＝

因而，所求函数关系式为

y＝(x－2.5)(x＋2.5)＝－x2＋（－2.5≤x≤2.5）

(2)∵D、E的纵坐标为0.45=，

∴＝－x2＋．得x＝±．

∴点D的坐标为(－，)，点E的坐标为(，)．

∴DE＝－(－)＝．

因此卢浦大桥拱内实际桥长为

×11000×0.01＝275≈385(米)。

三、课堂练习

施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米.现以O点为原点，OM所在直线为X轴建立直角坐标系（如图所示）.

（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；

（2）求出这条抛物线的函数解析式；

（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下.

解：（1）

（2）（法1）设这条抛物线的函数解析式 为:

∵抛物线过O(0,0) ∴ 解得

∴这条抛物线的函数解析式为: 即.

（法2）设这条抛物线的函数解析式 为:

∵抛物线过O(0,0), 三点，

∴　　　　解得：

∴这条抛物线的函数解析式为:.

（3）设点A的坐标为

∴OB=m，AB=DC=

根据抛物线的轴对称,可得:

∴ 即AD=12－2m　

∴＝AB+AD+DC=

==

∴当m=3，即OB=3米时，三根木杆长度之和的最大值为15米

四、课堂小结

本节课我们学习了通过图形之间的关系列出函数解析式，以及用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题

五、作业布置 教材P35 2，3

六、个性化设计与课后反思：

21.5 二次函数的应用 第三课时（生活中的二次函数）

教学目标 学会利用二次函数解决实际问题

教学重、难点 利用二次函数解决实际问题

教具准备 多媒体课件

教学过程

一、创设情境、引入新课

上节课我们学习了通过图形之间的关系求函数解析式，以及用二次函数的知识分析解决有关抛物线型的实际问题，这节课我们继续学习利用二次函数解决一些生活中的实际问题

二、例题讲解

行驶中的汽车，在制动后由于惯性作用，还要继续往前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”。为了测定某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表：

现有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5m。则交通事故发生时车速是多少？是否因超速（该段公路最高限速为110km/h）行驶导致了交通事故？

分析：要解答这个问题，就是要解决在知道了制动距离时，如何求得相应的制动时车速。题中给出了几组制动距离与制动时车速有关系的数据，为此，求出制动距离与制动时车速的函数关系式是解答本题的关键。

解：1、以制动时车速的数据为横坐标（x值）、制动距离的数据为纵坐标（y值），在平面直角坐标系中，描出这些数据的点，如图

2、观察途中妙处点的整体分布，它们基本上是在一条抛物线附近，因此，y（制动距离）与x（制动时车速）的关系可以近似地以二次函数来模拟，即设

y=ax2+bx+c

在已知数据中，任选三组，如取（0，0）、（10，0.3）、（20，1.0）分别代入所设函数关系式，得 解方程组，得

因而，所求函数关系式为y=0.002x2+0.01x

3、把y=46.5m代入函数关系式，得

46.5=0.002x2+0.01x

解方程，得x1=150（km/h），x2=-155（km/h）（舍去）

因而，制动时车速为150km/h（>110km/h），即在事故发生时，该车属超速行驶。

三、课堂练习

1、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好人水姿势时，距池边的水平距离为3米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由

分析：挖掘已知条件，由已知条件和图形可以知道抛物线过（0，0）（2，-10），顶点的纵坐标为。

解：（1）如图，在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y=ax2+bx+c ，由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0）（2，-10），且顶点A的纵坐标为。

∴　∴

∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴>0，

又∵抛物线开口向下，∴a<0, b>0， ∴a=－，b=，c=0

∴抛物线的解析式为：y=－x2+x

（2）当运动员在空中距池边的水平距离为3时，即x=3-2=时，

y=(－)×()2+×=－， ∴此时运动员距水面高为：10－=<5，

因此，此次试跳会出现失误。

2、心理学家研究发现：一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系式：

，如图所示

（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？

（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？

解：（1）当x=5时，y=-52+24×5+100=175

当x=25时，y=-7×25+380=205

所以，讲课开始25分钟后，生的注意力更集中。

（2）由图像可知，讲课开始后10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟。

（3）若0≤x≤10,当y=180时 180=-x2+24x+100

解方程得 x1=4，x2=20

由于0≤x≤10，所以x2=20不合题意，舍去；

若20≤x≤40，,当y=180时 180=-7x+380

解方程得 ∴

∴学生注意力的持续时间为分钟，大于讲题所需的时间

所以，老师经过适当安排，能在学生注意力不低于180的状态下讲解完这道题目。

四、课堂小结

二次函数与实际问题联系紧密，这就要求我们在解决实际问题时，善于用数学的眼光去观察，用数学的思维去分析，用数学的方法去解决，运用函数知识去解决实际问题是十分普遍和重要的。

五、作业布置 教材P35 4，5

六、个性化设计与课后反思：

21.6反比例函数 第一课时（反比例函数概念）

教学目标

1、使学生了解反比例函数的概念

2、使学生能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式

3、会用待定系数法确定反比例函数的解析式

教学重点：反比例的概念

教学难点：用待定系数法确定反比例函数的解析式

教具准备 多媒体课件

教学过程

一、创设问题情境

提问：小学是否学过反比例关系？是如何叙述的？

由学生先考虑及讨论一下.

答：小学学过：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

二、新课

看下面的几个问题（P36问题1、2、3）

1、某村有耕地200hm2，人口数量x逐年发生变化。干村人均占有的耕地面积yhm2与人口数量之间有怎样的关系？

2、某市距省城248km，汽车有该市驶往省城，汽车行驶全程所需时间th，与形式的平均速度vkm/h之间有怎样的关系？

3、当电压一定时，通过电阻的电流I与电阻R有怎样的关系？

三个问题的两个变量之间都满足乘积一定，所以可以分别表示成：,和（U是常数）。

上述函数关系式都具有的形式，两个变量之间的关系就是小学学过的反比例关系。由此给出反比例函数的概念：

一般地，函数（k为常数，且k≠0）叫做反比例函数。

即在上面的例3中，当电压U是常数时，电流I就是电阻R的反比例函数，能否说：电阻R是电流I的反比例函数呢？

通过这个问题，使学生进一步理解反比例函数的概念，只要满足（k为常数，且k≠0）就可以。因此可以说电阻R是电流I的反比例函数，因为(U是常量），对于其他几个例子也是一样。

判断：下列函数中，哪些y是x的反比例函数？

，，，， xy = 5，

练习： P37练习1

例题：P37例1、已知参加施工的人数y与完成某项工程的时间x天成反比例关系。当施工人数为4时，10天能完成这项工程。现要求8天完成这项工程，应选派多少人去施工？分析：根据人数y与时间x天成反比例，所以可以设解析式为，根据题中条件利用待定系数法解出k，就可以得到关系式了。

三、课堂练习

1、P37练习2

2、已知，若y是x的正比例函数，则m= ；若y是x的反比例函数，则m= 。

3、（拓展练习）已知y-1与x-3成反比例，且x=4时，y=2，求x=5时，y的值。

四、课堂小结

一般地，函数（k为常数，且k≠0）叫做反比例函数。

五、作业布置 教材P41 1，2，3

六、个性化设计与课后反思：

21.6反比例函数 第二课时（反比例函数图象及其性质）

教学目标

1、利用描点法画反比例函数图像

2、理解反比例函数的性质，以及根据图像指出函数值随自变量的增加或减小而变化的情况

教学重点 结合图象分析总结出反比例函数的性质

教学难点 描点画反比例函数的图象

教具准备 多媒体课件

教学过程

一、复习引入

师：上节课我们学习了反比例函数，首先我们复习一下反比例函数的概念。

答：一般地，函数（k为常数，且k≠0）叫做反比例函数。

师：根据前面学习特殊函数的经验，研究完函数的概念，跟着要研究的是什么？

答：图像。

注：通过这个问题，使学生对课本上给出的知识发生、发展过程有一个明确的认识，以后学生要研究其他函数，也可以按照这种方式来研究。

二、新课

师：下面，我们就来研究反比例函数的图像。

例2、画出函数和的图像

师：画函数图像的关键问题是什么？

答：合理、正确地选值列表．

师：在选值时，你认为要注意什么问题？

答：（1）由于函数图像的特点还不清楚，多选几个点较好；

（2）不能选x=0，因为此时函数无意义；

（3）选整数较好计算和描点．

注：这个问题中最核心的一点是关于x能否取0的问题，提醒学生注意。

师：你能不能自己完成这道题呢？

学生在练习本上列表、描点、连线，教师在黑板上板演，到连线时可暂停，让学生先连完线之后，找一名同学上黑板连线。

然后就这名同学的连线加以评价、总结：

（1）一般地，反比例函数的图像由两条曲线组成，叫做双曲线；

（2）这两条曲线不相交；

（3）这两条曲线无限延伸，无限靠近x轴和y轴，但永不会与x轴和y轴相交。

关于（3）可问学生：为什么图像与x和y轴不相交？

通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆，又可培养学生思维的灵活性和深刻性

再让学生观察黑板上的图，提问：

1、当k>0时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？

2、当k<0时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？

这两个问题由学生讨论总结之后回答，教师板书：

对于双曲线

（1）当k>0时，双曲线的两分支位于一、三象限，y随x的增大而减少；

（2）当k<0时，双曲线的两分支位于二、四象限，y随x的增大而增大。

3、反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同？

通过这个问题使学生能把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用．

填表分析正比例函数和反比例函数的区别

学习了反比例函数的图像后，我们可以解决与其图像有关的实际问题

例题：P40例3

三、课堂练习

1、P40练习2

2、函数的图像在二、四象限，则m的取值范围是 ____ 。

3、对于函数，当x<0时，y随x的 而增大，这部分图像在第 象限。

4、反比例函数y=(2m+1)xm+2m-16, y 随 x 的减小而增大，则m= ____。

5、已知k<0,则函数y1=kx,在同一坐标系中的图像大致是 ( )

6、已知k>0,则函数 y1=kx+k与在同一坐标系中的图像大致是( )

7、（拓展练习）已知反比例函数与一次函数y=-x+2的图像交于A、B两点。（1）求A、B两点的坐标；（2）求△AOB的面积。

四、课堂小结

提问：1、反比例函数的图像是什么样的？

2、反比例函数的性质是什么？

五、作业布置 教材P41 5，6，7

六、个性化设计与课后反思：

第22章 相似形

22.1 比例线段 第一课时 相似多边形

目的要求：

1、理解相似多边形的概念.

2、理解相似多边形的相似比（相似系数）的概念.

3、培养将复杂问题转化为简单问题之一重要思想方法.

教学重点：相似多边形及相似比的概念.

教学难点：相似多边形的证明方法.

教学过程：

1、复习提问：

什么叫做全等三角形？

2、新课讲解：

前面，我们研究了全等三角形，本节课我们将研究相似多边形的定义及应用定义判定两个多边形相似的方法.

带学生看书上的几个图片,总结：

①我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形

②在两个大小不相等的相似图形中，我们可以认为大的图形是由小的图形放大而成；或小的图形是由大的图形缩小而成。

如图：正方形和正方形形状相同，即为相似的图形，对于相似的两个图形有什么特征呢？

有图可知

,,,;

③定义： 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形的对应边的比叫做相似比（或相似系数）.

注：（1）两个多边形的边数不同一定不是相似多边形；

（2）定义中“对应角相等”、“对应边成比例”是判定两个多边形是否相似的必备的条件，缺一不可；

（3）两个相似多边形的相似比是有顺序的.

课堂练习:

课堂小结：

（1）理解并记忆相似多边形与相似比的概念；

（2）相似多边形的定义，也是它的性质，及“相似多边形的对应角相等，对应边成比例.”

课外作业：

第二课时 比例线段（一）

教学目的：

1、理解比例线段的概念

2、掌握比例线段的判定方法及第四比例项的求法.

3、理解比例的基本性质并掌握它的初步应用，培养学生用方程思想解决问题.

教学重点：比例线段及其性质的应用.

教学难点：应用比例的基本性质进行比例变形.

教学过程：

一、建立比例线段的概念

1、复习两条线段比的定义.

引例：如图：AB=50，BC=25

A＇B＇=20 B＇C＇=10 求 ，

解：∵ ∴

用同一个长度单位去度量两条线段，得到他们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比

2、分析引例得出四条线段AB、BC、A＇B＇、B＇C＇是成比例线段.

⑴题目的已知中共有几条线段？分别是哪4条？

⑵其中的两条线段AB、BC的比是多少？

另外的两条线段A＇B＇，B＇C＇的比是多少？

其中的两条线段的比与另外的两条线段的比有何关系？

⑶我们称AB、BC、A＇B＇、B＇C＇这四条线段是成比例线段，简称比例线段.

⑷请同学们根据这个例子想一想什么样的四条线段叫做成比例线段？

⑸学生叙述，教师板书比例线段的定义：

二、比例线段（成比例线段）

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.

注：①如果四条线段a,b,c,d,且，则a、b、c、d四条线段成比例；反之a、b、c、d四条线段成比例，则有

②如果，则a、b、c、d叫做组成比例的项，b、c叫做比例内项，a、d叫做比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项.

③若作为比例内项的是两条相同的线段.即，那么线段b叫做线段a、c的比例中项.

三、比例的基本性质：

两条线段的比是他们长度的比，也就是两个数的比，因此也因具有关于两个数成比例的性质。

（1）基本性质

如果，那么

反之也成立，即：如果，那么

（2）合比性质

如果，等式两边同时加上1，可得，即

如果，那么，

（3）等比性质

如果，且，

那么，

四、比例线段和比例的基本性质的应用

导语：刚才我们研究和学习了比例线段的概念及比例的基本性质，下面我们利用它们解决具体的问题，请看下面的例题.

例1、已知a、b、c、d是四条线段，它们的长度如下，试判断它们是不是成比例线段？

⑴a=1mm b=0.8cm c=0.02cm d=4cm

⑵ ，b=0.4cm c=40cm

解：⑴法一：利用比例线段的定义

∵ a=1mm=0.1cm b=0.8cm c=0.02cm d=4cm

∴ d＞b＞a＞c

∴ ∴

∴ d、b、a、c四条线段是成比例线段.

⑴法二、利用比例的基本性质

∵dc=4×0.02=0.08 ab=0.1×0.8=0.08

∴ab=dc ∴a、b、c、d四条线段是成比例线段.