初中列方程解应用题的技巧

初中列方程解应用题的技巧

     同学们学习了用字母表示数和解简易方程，还开始试着运用简易方程来解决一些实际问题。列方程解应用题是一个难点，这一部分内容融入了等式的性质，以及四则运算各部分的关系，有助于同学们对所学的算术知识进行巩固和加深理解。如何应用方程来解应用题呢？  

首先是审题，确定未知数。 
　　审题，理解题意。就是全面分析已知数与已知数、已知数与未知数的关系。特别要把牵涉到的一些概念术语弄清，如同向、相向、增加到、增加了等，并确立未知数。即用x表示所求的数量或有关的未知量。在小学阶段同学们遇到的应用题并不十分复杂，一般只需要直接把要求的数量设为未知数，如：“学校图书馆里科技书的本数比文艺书的2倍多47本，科技书有495本，文艺书有多少本？”在这道题目中只有“文艺书的数量”不知道，所以只要设“文艺书的数量”为未知数x就可以了。

寻找等量关系，列出方程是关键。 
　　“含有未知数的等式称为方程”，因而 “等式”是列方程必不可少的条件。所以寻找等量关系是解题的关键。如上题中“科技书得本数比文艺书的2倍多47本”这是理解本题题目意思的关键。仔细审题发现“文艺书本数的2倍加上47本就是科技书的本数”故本题的等量关系为：文艺书本数的2倍＋47＝科技书的本数。上题中的方程可以列为：“2x＋47＝495” 

解方程，求出未知数得值。 
　　解方程时应当注意把等号对齐。如： 
2x＋47＝495 
2x＋47－47＝495－47     ←应将“2x”看做一个整体。 
          2x＝448 
2x÷2＝448÷2 
      x＝224 

检验也是列方程解应用题中必不可少的。 
      检验并写出答案．检验时，一是要将所求得的未知数的值代入原方程，检验方程的解是否正确；二是检查所求得的未知数的值是否符合题意，不符合题意的要舍去，保留符合题意的解． 
1）将求得的方程的解代入原方程中检验。如果左右两边相等，说明方程解正确了。如上题的检验过程为： 
检验：把x＝224代入原方程。 
左边＝2×224＋47               右边＝495 
           ＝495 
因为左边＝右边，所以x＝224是方程2x＋47＝495的解。 
2）文艺书本数的2倍＋47＝科技书的本数 
将224代入以上等式，等式成立。故所求得的未知数的值符合题意。 
    总之，以上几点技巧都是列方程解应用题的关键环节的技巧，只要大家利用这些技巧加强练习，就一定能闯过列方程解应用题这道关。在千变万化的应用问题中，我们若能抓住以上几点，以不变应万变，则问题就可迎刃而解。 

错题解析：  
把算术解法当作方程解法的错误  
　　例1　两袋大米，甲袋重65千克，乙袋重45千克，要使两袋大米的重量相等，应从甲袋里取出多少千克放入乙袋？（用方程解） 
　　错解　设应从甲袋里取出大米x千克放入乙袋，根据题意列方程：x＝（65－45）÷2， x=20÷2，x＝10。 
　　分析　以上计算并无错误，但不符合利用方程求解的意义和要求。这种解法虽然也含有未知数，但实际上是一种算术方法。纠正的方法是把未知数设为x，暂时把未知条件当成已知条件，使未知条件与已知条件处于同等的地位，然后找出等量关系列方程。这样做比起用算术方法解容易得多。 
　　正确解法：设从甲袋取出x千克大米放入乙袋，根据题意列方程： 
　　65-x=45＋x，65-2x＝45，2x＝65-45，x＝10 
　　答：应从甲袋取出大米10千克。 
　　评点　本题主要考查同学们对简易方程基本知识的掌握程度，以及运用“等量”关系列方程和解方程的基本技能。有的同学由于受算术方法解应用题的思维定势的影响，所以会出现上面的错误解法。 

等量关系的错误 
　　例2　学校分苹果，五年级老师分50千克，比四年级老师分的2倍少2千克。四年级老师分多少千克？ 
　　错解　设四年级老师分x千克，列方程得： 
　　2x+2＝50，2x=48，x＝24。 
　　分析　本题在列方程时把等量关系弄错了，误认为四年级老师的2倍加上2千克就等于五年级老师分的。 
　　正确解法：设四年级老师分x千克。 
　　2x-2＝50，2x＝52，x=26。 
　　答：四年级老师分26千克。 

单位不统一的错误 
     例3梯形的面积是24平方厘米，高为4厘米，下底比上底多0.6分米，求梯形的上底。（用方程解，注：梯形面积=（上底+下底）×高÷2） 
错解1 设梯形的上底是x分米  （x＋x＋0.6）×4÷2=24，2x＋0.6＝12，2x=11.4，x＝5.7。 
　　答：梯形的上底是5.7分米。 
错解2设梯形的上底是x厘米， 
　　（x＋x＋0.6）×4÷2＝24，2x＋0.6=12， 
　　2x＝11.4， x＝5.7。 
　　答：梯形的上底是5.7厘米。 
     分析此题错在没有统一题中各个量的单位。题中告诉的面积单位为平方厘米，高是厘米，下底却是分米，如果不加以统一，所列出的就不是等式，也就不能恒等变形。所以我们在列方程时首先要将题中的单位统一起来。 
　　正确解法：0.6分米=6厘米 
　　设梯形的上底是x厘米 
　　（x＋x＋6）×4÷2＝24，2 x＋6=12， 
　　2 x＝6，x＝3。 
　　答：梯形的上底是3厘米。 

设句不写单位名称的错误 
      例4粮仓要运进250吨粮食，已经运了8天，每天运进18吨，余下的要4天运完。平均每天要运进多少吨？ 
错解设平均每天要运进x，根据题意列方程： 
　　18×8+4 x＝250，144+4 x＝250， 
　　4 x＝250－144，4 x＝106，x＝26.5。 
　　答：平均每天运进26.5吨。 
分析此题错在所设未知数不带单位名称，致使其在等式中代数量意义不明确，从而导致错解。正确的应设平均每天要运进x吨，否则不能认定该等式成立。 

求得的值带上单位名称的错误 
     例5某站运来3车黄瓜和6车芹菜，共重2 580千克，每车黄瓜重260千克。每车芹菜重多少千克？ 
错解 设每车芹菜重x千克，列方程得： 
　　260×3+6x=2580，780+6x=2 580。 
　　6 x =2580－780，6 x＝1800，x =300（千克）。 
　　答：每车芹菜重300千克。 
    分析 此题错在最后求得的x值带上了单位名称，这是不符合解方程的要求的。造成这一错误有两个原因：一方面受算术方法解题的影响；另一方面是对解方程的概念不甚明了。方程是一种等式，方程两边无论是数还是量都是相等的，因此两边的单位名称可同时约去。求方程解的过程就成了数的恒等变形的过程，最后的结果是没有单位名称的，只需要在答句中把单位名称写清楚就行。

         列方程解应用题是考试中常见的题，这一块同学们必须得掌握牢固了，解题思路也需要同学们整理一下，解题方法也要总结，有些题型适合这种方法，有些适合那样的方法。同学们在学习的过程中，要学会总结。

分式方程应用题

　　列分时方程解应用题的一般步骤是：找等量关系-设-列-解-答-检验
只要找出等量关系式就简单多了，然后设未知数，一般都是直接设未知量，当然也有间接的，然后把关于未知数X的等量关系式写出来，解方程解出X再检验答　　

例题:　　
南宁到昆明西站的路程为828KM，一列普通列车比一列直达快车都从南宁开往昆明。直达快车的速度是普通快车速度的1.5倍,普通快车出发2H后，直达快车出发,结果比普通列车先到4H,求两次的速度.
解：设普通车速度是x千米每小时，则直达车是1.5x
所以普通车时间是828/x小时，直达车是828/1.5x
普通车先出发2小时，晚到4小时，所以相差6小时
所以828/x-828/1.5x=6(828*1.5-828)/1.5x=6414/1.5=6xx=46,1.5x=69
所以普通车速度是46千米每小时，直达车是69千米每小时。

1、复杂问题，用方程求解是最简便的方法。

2、用方程解决问题，第一个关键是设未知数x，一般情况下，我们要把应用题最后的问题设为未知数x，或者把题目中隐含的单位“1”设为未知数x。

3、根据题意，划出示意图，便于理解。

4、根据给定的条件，结合示意图，把题目中的相关数据变成含有X的表达式（代数式）。

5、找出题目中的等量关系，写成方程的形式。

解方程步骤：

1、设未知数；

2、列出各种未知数的代数式；

3、找出等量关系，写成方程。

一定要理解什么是方程：

1、方程是用来表示等量关系的；

例：电影院80%的座位上有人，再有30人就可全部坐满，问电影院一共有多少座位？）

设电影院有x个座位：80%x+30=x

80%x”表示的就是“有人的座位”，“30”表示的是空位，两者的和就是座位总数。方程两边表达的都是座位总数。

2、这种等量关系通过字母（x)、含有字母的代数式(80%x)和数字(30)来表达。

1、复杂问题，用方程求解是最简便的方法。

2、用方程解决问题，第一个关键是设未知数x，一般情况下，我们要把应用题最后的问题设为未知数x，或者把题目中隐含的单位“1”设为未知数x。

3、根据题意，划出示意图，便于理解。

4、根据给定的条件，结合示意图，把题目中的相关数据变成含有X的表达式（代数式）。

5、找出题目中的等量关系，写成方程的形式。

解方程步骤：

1、设未知数；

2、列出各种未知数的代数式；

3、找出等量关系，写成方程。

一定要理解什么是方程：

1、方程是用来表示等量关系的；

例：电影院80%的座位上有人，再有30人就可全部坐满，问电影院一共有多少座位？） 

设电影院有x个座位：80%x+30=x

80%x”表示的就是“有人的座位”，“30”表示的是空位，两者的和就是座位总数。方程两边表达的都是座位总数。

2、这种等量关系通过字母（x)、含有字母的代数式(80%x)和数字(30)来表达。  

浅谈用列表法解分式方程应用题的技巧

在中学代数教学中，

列方程解应用题是一个重点，

而列分式方程解应用题更

是一个难点。

问题中涉及到的数量较多，

在列分式方程解应用题时，

应该遵循分

散难点各个击破的原则进行教学。

所以在学习代数式与整式加减法时，

就要训练

学生把文字语言叙述的数量关系列成代数式的能力，使学生习惯于用字母表示

数。

为使学生更好掌握和应用列分式方程解应用题的技能、

技巧，

提高学生创新

能力和实践能力。

根据多年教学经验，

笔者将结合历年中考题谈谈用列表法解分

式方程应用题的技巧。

1

、

列表前

列方程解应用题的关键是找相等关系。

设哪个未知量为未知数，

要根据相等

关系的需要。首先，要找出题中的已知量，未知量及数量关系。其次，抓住题中

反应相等关系的关键字词。如“比”

、

“是”

、

“少”

、

“共”„„再次，总结一些常

见题型的等量关系

:

路程

=

速度×时间，工作量

=

工作效率×工作时间，总价＝单

价×数量，

逆水速度

=

静水速度

-

水流速度，

顺水速度

=

静水速度

+

水流速度，

利润

售价

进价等公式。

 2

、设计表型

问题中通常涉及到两者之间的各种数量的比较，如“骑自行车与乘汽车”

，

“原计划与实际”

“甲与乙”等。列表时表格横向表示各数量，纵向表示两者的

比较，要能容纳题中所有数量关系。

3

、

填表

边读题边将已知量填入表中，

再填数量关系，

最后填未知量及含未知量的代

数式，填过后一定会余下一个等量关系供列方程使用。

4

、

分类举例

（

1

）

行程问题

例题

1

（

2008

年天津市中考题）天津市奥林匹克中心体育场——“水滴”位于天

津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距离“水滴”

10

千米的学校

出发，前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了

20

分钟后，其余同学乘汽车

出发，

结果他们同时到达，

已知汽车的速度是骑车同学的

2

倍，

求骑车同学的速

度。列表分析如下：

速度（千米／时）

时间（时）

路程（千米）

骑自行车

③

x

⑤

x

10

①

10 

乘汽车

④

x

2

⑥

x

2

10

②

10 

(

表中序号表示填表顺序，以下同

)

由骑自行车和乘汽车所走的路程相同都为

10

千米填得①②，

设骑自行车同学的速度为

x

千米／时填得③，

由汽车速度是骑车

同学速度的

2

倍填得④，根据基本公式：路程

=

速度×时间填得⑤⑥，最后根据

骑自行车的同学先出发

20

分钟，乘汽车的同学出发，结果同时到达可列方程：

60

20

2

10

10

x

x

（注意要统一单位）

（

2

）

工程问题

例题

2

（

2010

年淮安市中考题）玉树地震后，有一段公路急需抢修，此项工程原

计划由甲工程队独立完成，需要

20

天。在甲工程队施工

4

天后，为了加快工程

进度，又调来乙工程队与甲工程队共同施工，结果比原计划提前

10

天完成，为

抗震救灾赢得了宝贵时间，

求乙工程队独立完成这项工程需多少天？列表分析如

下：

工作效率

工作时间

工作量

甲单独作

①

20

1

②

4

③

20

4

甲乙合作

④

x

1

20

1

⑤

20-10-4 

⑥

4

10

20

1

20

1

x

由甲独立完成需要

20

天填得①，甲独自施工

4

天填得②，根据基本公式：工作

量

=

工作效率×工作时间填得③，设乙工程队独立完成这项工程需

x

天，甲乙合

作效率填得④，结果比原计划提前

10

天完成填得⑤，再次根据基本公式：工作

量

=

工

作

效

率

×

工

作

时

间

填

得

⑥

，

最

后

根

据

工

作

总

量

为

1

可

列

方

程

：

1

4

10

20

1

20

1

20

1

x

(3)

销售问题

例题

3(2008

内江市中考题

) 

今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在

不断上升．据调查，今年

5

月份一级猪肉的价格是

1

月份猪肉价格的

1.25

倍。

小英同学的妈妈同样用

20

元钱在

5

月份购得一级猪肉比在

1

月份购得的一级猪

肉少

0.4

斤，那么今年

1

月份的一级猪肉每斤是多少元？列表分析如下：

单价（元／斤）

数量（斤）

总价（元）

1

月份

③

x

⑤

x

20

①

20 

5

月

份

④

x

25

.

1

⑥

x

25

.

1

20

②

20 

由同样用

20

元钱，填得①②，设

1

月份一级猪肉每斤

x

元，填得③，由

5

月份

一级猪肉的价格是

1

月份猪肉价格的

1.25

倍填得④，由基本公式：总价＝单价

×数量填得⑤⑥，最后根据同样用

20

元钱在

5

月份购得一级猪肉比在

1

月份购

得的一级猪肉少

0.4

斤可列方程：

20

20

0.4

1.25

x

x

（

4

）水流问题

例题

4

（

2007

甘肃庆阳课改）

轮船先顺水航行

46

千米再逆水航行

34

千米所用的

时间，恰好与它在静水中航行

80

千米所用的时间相等，水的流速是每小时

3

千

米，则轮船在静水中的速度是多少千米／时？列表分析如下：

速度（千米／时）

时间（时）

路程（千米）

顺水航行

⑤

3

x

⑦

3

46

x

①

46 

逆水航行

⑥

3

-

x

⑧

3

-

34

x

②

34 

静水航行

④

x

⑨

x

80

③

80 

由顺水航行

46

千米，逆水航行

34

千米，在静水中航行

80

千米填得①②③，设

轮船在静水中的速度是

x

千米／时，填得④，根据基本公式：顺水速度

=

静水速

度

+

水流速度，逆水速度

=

静水速度

-

水流速度，填得⑤⑥，再根据基本公式：路

程

=

速度×时间填得⑦⑧⑨，

最后由所用的时间相等可列方程：

x

x

x

80

3

34

3

46

(5)

收费问题

例

5

（

2004

青岛市中考题）

某市今年

1

月

1

日起调整居民用水价格，

每立方米水

费上涨

25%

。小明家去年

12

月份的水费是

18

元，而今年

5

月份的水费是

36

元。

已知小明家今年

5

月份的用水量比去年

12

月份多

6

立方米，求该市今年居民用

水的价格。

列表分析如下：

单价（元／立方米）

数量（立方米）

总价（元）

去年

12

月份

③

x

⑤

x

18

①

18 

今年

5

月

份

④

）

（

25

.

0

1

x

⑥

）

（

25

.

0

1

36

x

②

36 

由小明家去年

12

月份的水费是

18

元，而今年

5

月份的水费是

36

元填得①②，

设该市去年

12

月份居民用水的价格为

x

元／立方米填得③，由今年

1

月

1

日起

调整居民用水价格，每立方米水费上涨

25%

填得④，根据基本公式：总价＝单价

×数量填得⑤⑥，根据小明家今年

5

月份的用水量比去年

12

月份多

6

立方米可

列方程：

6

18

25

.

0

1

36

x

x

—

）

（

(6)

利润问题

例题

6

（

2007

山东聊城课改）某超级市场销售一种计算器，每个售价

48

元。后

来，计算器的进价降低了

4%

，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润

提高了

5%

。这种计算器原来每个进价是多少元？（利润

售价

进价，利润率

=

利润÷进价×

100

﹪）列表分析如下：

进价（元／个）

售价（元／个）

利润（元）

原来

③

x

①

48 

⑤

x

-

48

后来

④

）

（

04

.

0

-

1

x

②

48 

⑥

）

（

04

.

0

-

1

-

48

x

由每个售价

48

元填得①②，设这种计算器原来每个进价是

x

元，填得③，由后

来，计算器的进价降低了

4%

填得④，由基本公式

: 

利润

售价

进价填得⑤⑥，

由售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了

5%

，可列方程：

）

（

04

.

0

-

1

-

48

)

05

.

0

1

)(

-

48

(

x

x

由上面几个例题可见，

用列表法解分式方程应用题可以分散难点，

表格中不

仅能容纳所有数量关系，

且容易填写，

易于学生掌握和运用。

列表法降低了问题

的难度，

激发了学生的解题兴趣，

做到了良性循环，

从根本上解决了学生们对解

分式方程应用题的忧虑。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/11eb487ecd1755270722192e453610661ed95ade.html