高中数学-空间直角坐标系与空间向量典型例题

高中数学-空间直角坐标系与空间向量

一、建立空间直角坐标系的几种方法

构建原则：

遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。

作法：

充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系．

类型举例如下：

（一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系

　　例1　已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，求异面直线BC1与DC所成角的余弦值．

　　解析：如图1，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则C1（０，1，2）、B（2，4，０），

　　∴，．

　　设与所成的角为，

　　则．

（二）利用线面垂直关系构建直角坐标系

例2　如图2，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1．已知，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝．求二面角A－EB1－A1的平面角的正切值．

　　解析：如图2，以B为原点，分别以BB1、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面AB1的直线为x轴建立空间直角坐标系．

　　由于BC＝1，BB1＝2，AB＝，∠BCC1＝，

　　∴在三棱柱ABC－A1B1C1中，有B（０，０，０）、A（０，０，）、B1（０，2，０）、、．设且，

　　由EA⊥EB1，得，

　　即

，∴，

　　即或（舍去）．故．

　　由已知有，，故二面角A－EB1－A1的平面角的大小为向量与的夹角．

　　因，

故，即

（三）利用面面垂直关系构建直角坐标系

　　例3　如图3，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．

　　（1）证明AB⊥平面VAD；

　　（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．

　　解析：（1）取AD的中点O为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系．

设AD＝2，则A（1，０，０）、D（－1，０，０）、B（1，2，０）、V（０，０，），

∴＝（０，2，０），＝（1，０，－）．

　　由，得

　　AB⊥VA．

又AB⊥AD，从而AB与平面VAD内两条相交直线VA、AD都垂直，

∴ AB⊥平面VAD；

　　（2）设E为DV的中点，则

　　∴，，．

　　∴，

　　∴EB⊥DV．

　　又EA⊥DV，因此∠AEB是所求二面角的平面角．

　　∴．

故所求二面角的余弦值为．

（四）利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系

　　例4　已知正四棱锥V－ABCD中，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h．

　　（1）求∠DEB的余弦值；

　　（2）若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值．

　　解析：（1）如图4，以V在平面AC的射影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中Ox∥BC，Oy∥AB，则由AB＝2a，OV＝h，有B（a，a，０）、C（-a，a，０）、D（-a，-a，０）、V（0，0，h）、

　　∴，．

　　∴，

　　即；

（2）因为E是VC的中点，又BE⊥VC，

所以，即，

∴，∴．

这时，即．

引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．下面以高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径．

（五）利用图形中的对称关系建立坐标系

图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．

例5已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高都为2，AB＝4．

（1）证明：PQ⊥平面ABCD；

（2）求异面直线AQ与PB所成的角；

（3）求点P到面QAD的距离．

简解：（1）略；

（2）由题设知，ABCD是正方形，且AC⊥BD．由（1），PQ⊥平面ABCD，故可分别以直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图1），易得，．

　　所求异面直线所成的角是．

（3）由（2）知，点设n=（x，y，z）是平面QAD的一个法向量，则得取x＝1，得．点P到平面QAD的距离．

　　点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出．第（3）问也可用“等体积法”求距离．

二、向量法解立体几何

（1）知识点

向量的数量积和坐标运算

是两个非零向量，它们的夹角为，则数叫做与的数量积（或内积），记作，即 其几何意义是的长度与在的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是：

若，则

①；

②；

③

④

（2）例题讲解

题型：求角度相关

1. 异面直线所成的角

分别在直线上取定向量则异面直线所成的角等于向量所成的角或其补角（如图1所示），

则

2. 直线与平面所成的角

在上取定，求平面的法向量（如图2所示），再求，则为所求的角.

3． 二面角

方法一：构造二面角的两个半平面的法向量（都取向上的方向，如图3所示），则

1 若二面角是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量的夹角的补角，即

2 若二面角是“锐角型”的如图3乙所示，那么其大小等于两法向量的夹角，即.

方法二：在二面角的棱上确定两个点，过分别在平面内求出与垂直的向量（如图4所示），则二面角的大小等于向量的夹角，即

题型：求距离相关

1. 异面直线的距离

分别在直线上取定向量求与向量都垂直的向量，分别在上各取一个定点，则异面直线的距离等于在上的射影长，即.

证明：设为公垂线段，取

设直线所成的角为，显然

2. 平面外一点到平面的距离

求平面的法向量，在面内任取一定点，点到平面的距离等于在上的射影长，即.

三、法向量

例题解析

题型：求空间角

1、运用法向量求直线和平面所成角

设平面α的法向量为=（x, y, 1)，则直线AB和平面α所成的角θ的正弦值为

sinθ= cos(-θ)

= |cos<, >| =

2、运用法向量求二面角

设二面角的两个面的法向量为，则<>或π-<>是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定<>是所求，还是π-<>是所求角。

题型：求空间距离

1、求两条异面直线间的距离

设异面直线a、b的公共法向量为，在a、b上任取一点A、B，则

异面直线a、b的距离：d =AB·cos∠BAA＇=

略证：如图，EF为a、b的公垂线段，

a＇为过F与a平行的直线，

在a、b上任取一点A、B，

过A作AA＇EF，交a＇于A＇，

则，

所以∠BAA＇=<>（或其补角）

∴异面直线a、b的距离d =AB·cos∠BAA＇= *

其中，的坐标可利用a、b上的任一向量（或图中的），及的定义得

解方程组可得。

2、求点到面的距离

求A点到平面α的距离，设平面α的法向量法为，在α内任取一点B，则A点到平面α的距离：

d =，

的坐标由与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY平面平行，此时可改设，下同）。

3、求直线到与直线平行的平面的距离

求直线a到平面α的距离，设平面α的法向量法为，在直线a上任取一点A，在平面α内任取一点B，则直线a到平面α的距离：

d =

4、求两平行平面的距离

设两个平行设平面α、β的公共法向量法为，在平面α、β内各任取一点A、B，则平面α到平面β的距离：

d =

三、证明线面、面面的平行、垂直关系

设平面外的直线a和平面α、β，两个面α、β的法向量为，则

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