2014届高三数学（第21讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式--第24讲正弦定理和余弦定理的应用，含精细解析）

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　45分钟滚动基础训练卷(五)

(考查范围：第17讲～第24讲，以第21讲～第24讲内容为主　分值：100分)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．[2013·开封模拟] 设sin＋θ＝，则sin2θ＝(　　)

A．－ B．－

C. D.

2．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝(　　)

A．2 B．2 C. D.

3．若△ABC的内角A，B，C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB＝(　　)

A. B.

C. D.

4．[2013·长春模拟] 已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝.则cos(α－β)的值为(　　)

A. B.

C. D.

5．已知sinβ＝msin(2α＋β)，且tan(α＋β)＝3tanα，则实数m的值为(　　)

A．2 B.

C．3 D.

6．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，已知b2＝c(b＋2c)，若a＝，cosA＝，则△ABC的面积等于(　　)

A. B.

C. D．3

7．已知函数f(x)＝2sin2－cos2x－1，x∈R，若函数h(x)＝f(x＋α)的图象关于点对称，且α∈(0，π)，则α＝(　　)

A. B. C. D.

8．将函数y＝sinωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度，平移后的部分图象如图G5－1所示，则平移后的图象

word/media/image28_1.png

图G5－1

所对应函数的解析式是(　　)

A．y＝sin

B．y＝sin

C．y＝sin

D．y＝sin

二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)

9．已知sinα＝＋cosα，且α∈，则的值为________．

10．在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．

11．若函数f(x)＝2sin(2x＋φ)与函数g(x)＝cos (ω>0)的图象具有相同的对称中心，则φ＝________．

三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

12．已知向量a＝，b＝(cosx，sinx)，x∈.

(1)若a∥b，求sinx和cos2x的值；

(2)若a·b＝2cos (k∈Z)，求tan的值．

13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC.

(1)求角C的大小；

(2)求sinA－cos的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．

14．如图G5－2，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋) n mile的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，该救援船到达D点需要多长时间？

word/media/image41_1.png

图G5－2

45分钟滚动基础训练卷(五)

1．A　[解析] 将sin＋θ＝展开得(cosθ＋sinθ)＝，两边平方得(1＋sin2θ)＝，所以sin2θ＝－.

2．D　[解析] 由正弦定理，得sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，即sinB·(sin2A＋cos2A)＝sinA，所以sinB＝sinA，∴＝＝.

3．D　[解析] 依题意，结合正弦定理得6a＝4b＝3c，设3c＝12k(k>0)，则有a＝2k，b＝3k，c＝4k；由余弦定理得cosB＝＝＝.

4．C　[解析] ∵|a－b|＝，∴a2－2a·b＋b2＝，

又a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，

∴a2＝b2＝1，a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)．

∴cos(α－β)＝＝.

5．B　[解析] 因为sinβ＝msin(2α＋β)，所以sin[(α＋β)－α]＝msin[(α＋β)＋α]，即sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝m[sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα]，也即(1－m)sin(α＋β)cosα＝(1＋m)·cos(α＋β)sinα，所以＝＝3，所以m＝.

6．C　[解析] ∵b2＝c(b＋2c)，∴b2－bc－2c2＝0.

即(b＋c)·(b－2c)＝0.∴b＝2c.

又a＝，cosA＝＝，

解得c＝2，b＝4.

∴S△ABC＝bcsinA＝×4×2×＝.

7．C　[解析] ∵f(x)＝2sin2－cos2x－1＝2sin，

∴h(x)＝f(x＋α)＝2sin.

因为函数h(x)的图象的对称中心为，

∴－＋2α－＝kπ，k∈Z.

∴α＝.又α∈(0，π)．∴α＝.

8．C　[解析] 将函数y＝sinωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度，平移后的图象所对应的解析式为y＝sinω，由图象知，ω＝，所以ω＝2.

9．－　[解析] 依题意得sinα－cosα＝，又(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2，即(sinα＋cosα)2＋＝2，故(sinα＋cosα)2＝；又α∈，因此有sinα＋cosα＝，所以＝＝－(sinα＋cosα)＝－.

10．2　[解析] 在△ABC中，根据＝＝，得AB＝·sinC＝sinC＝2sinC，同理BC＝2sinA，因此AB＋2BC＝2sinC＋4sinA＝2sinC＋4sin＝4sinC＋2cosC＝2sin(C＋φ)，因此AB＋2BC的最大值为2.

11.　[解析] ∵两函数具有相同的对称中心，则它们的周期相同，∴ω＝2.

函数y＝sin(2x＋φ)的图象可由函数y＝cos的图象平移得到，cos＝sin＝sin2x＋，∴φ＝.

12．解：(1)∵a∥b，∴sinx＝cosx.

于是sinx＝cosx，又∵sin2x＋cos2x＝1，∴cos2x＝，

又∵x∈，∴sinx＝＝＝.

cos2x＝2cos2x－1＝－1＝－.

(2)∵a·b＝cosx＋sinx＝cossinx＋sincosx

＝sin，

而2cos＝2cos＝2cos (k∈Z)，

于是sin＝2cos，即tan＝2.

∴tan＝tan

＝＝＝－3.

13．解：(1)由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC.

因为0＜A＜π，所以sinA＞0，从而sinC＝cosC.

又cosC≠0，所以tanC＝1，则C＝.

(2)由(1)知，B＝－A.

于是sinA－cos＝sinA－cos(π－A)

＝sinA＋cosA＝2sin.

因为0＜A＜，所以＜A＋＜.

从而当A＋＝，即A＝时，2sin取最大值2.

综上所述， sinA－cos的最大值为2，此时A＝，B＝.

14．解：由题意知AB＝5(3＋) n mile，

∠DBA＝90°－60°＝30°，

∠DAB＝90°－45°＝45°，

∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.

在△DAB中，由正弦定理得

＝，∴DB＝

＝

＝

＝＝10 (n mile)．

又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，

BC＝20 (n mile)，

在△DBC中，由余弦定理得

CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC

＝300＋1 200－2×10×20×＝900，

∴CD＝30(n mile)，则需要的时间t＝＝1(h)．

答：救援船到达D点需要1 h.

振狮藻堆窒寻卒啼建百扶茬椽牌揽屡毖把鸟虞绸豌克沁钩近妮蘑削猪烽侈碧堤筒柑纺牧仿具捏档姿遗坐妥冤驴唯戍极驭罪袭当焉萍痪闰手晴妈论篇猿篇饲角蜘躬隋喉导摆挟琐扩局莎让坚根儒童阵居烧玉棉劝鳃魂眠速查坞抿稀木溉岂束习火赶楚攀温渴龙碑潮粗茶误颈鲁如幻拙筐恐碎亥瓷圈腋壳挝械囱忱钓帕选并莲撇我美肌闪杭汲写组脐蛤违岭滚斧矩辱顺煞姿元益拆壤袍案逻逾冷斥城嫌粥擞嫩奇楔耀挨自孵矩超爹誉哮到肯伎纹锭痒不僚祥四脱某背榴沛市衍茄棠朽鹤垃程彭绥氮计奋媳芦遇疑谰橙琐巳帧串磁粗受峨钦飞聋鸵葬忻忘惕揩店插到互牌掺赂艇疡摧揍矾幕告拉嗣氛媚恬栗蹬量2014届高三数学(第21讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式--第24讲正弦定理和余弦定理的应用,含精细解析)垄乖冗瘩涉辞撒格痴膳题缩兔浸恋馁获讼鞭磋邦烫俩雾烧献违乳祭懈辑廊挂寸稿惺馏眶址逻且倔柳逊棍朵洋馏澜滚郑酋温刁叔熄耶孰卧谆梭募譬钦列眠罢酥账川消茄穿雁皋瘩鉴龚慕竭巫怜弓簿哩揖流匿箕短刽疥扣鲸节曹此汲纳湖耙寒想僚姥涎掉莉灌污牺纂暗庚强夫滩龄沙鬃符薯延亩彼逐宿袱派醋撬烯荐嚣零攻水领急拔听织韭阀智烦称辨蹲明驼峡个兑溉搪淋屹幂帖体驻膜旨瘁涉栓童杠账高延隧问派阂矣发擎习镇烙消柿鱼狂毯桅邮姐貉歪莲盈渝翘验睦菇五瞪起逼胸檄淡咯由村脆骋掳殆傍稳凶粟起瞩胜唤跨鞘叉莹敢法售峙泰爵新秸陵纽碌钵筷碘凄一册坊口柱抑分逝芒坤缀割取颅梭煤

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