2.7　功　率

一、如何描述物体做功的快慢

[观图助学]

如图汽车在爬坡，汽车的功率很大，那么功率大，做功一定多吗？

1.定义：单位时间内做功的多少。

2.物理意义：功率是表示物体做功快慢的物理量。

[理解概念]

判断下列说法是否正确。

(1)由公式P＝知，做功越多，功率越大。(×)

(2)力对物体做功越快，力的功率一定越大。(√)

(3)发动机不能在实际功率等于额定功率情况下长时间工作。(×)

二、怎样计算功率

[观图助学]

如图，质量为m的物体沿倾角为θ的斜面下滑，滑至底端时速度大小为v，此时重力的功率是否等于mg·v?

1.功率的定义式：P＝。

2.功率与速度关系式

(1)当F与v同向时，P＝Fv。

(2)当F与v的夹角为α时，P＝Fvcos__α。

3.单位：瓦特，简称瓦，符号是W。

4.标矢性：功率是标量。

5.平均功率和瞬时功率的计算

(1)平均功率：时间t内功率的平均值，计算公式：＝和＝F。

(2)瞬时功率：某一时刻功率的瞬时值，能精确地描述做功的快慢，计算公式：P＝Fv，其中v为瞬时速度；当F与v夹角为α时，P＝Fvcos α。

[理解概念]

判断下列说法是否正确。

(1)由P＝可知，只要知道W和t的值就可以计算出任意时刻的功率。(×)

(2)由P＝Fv可知，汽车的功率一定与它的速度成正比。(×)

(3)由P＝Fv可知，牵引力一定与速度成反比。(×)

(4)汽车爬坡时常常需要换高速挡。(×)

　功　率

[观察探究]

建筑工地上有三台起重机将重物吊起，下表是它们的工作情况记录：

(1)三台起重机哪台做功最多？

(2)哪台做功最快？怎样比较它们做功的快慢呢？

答案　(1)三台起重机分别做功3.2×104 J、2.4×104 J、3.2×104 J，所以A、C做功最多。

(2)B做功最快，可以用功与所用时间的比值表示做功的快慢。

[探究归纳]

1.对功率P＝的理解

功率表示的是物体做功的快慢，而不是做功的多少。

P＝是定义式，适用于任何情况下功率的计算，一般用于求解某段时间内的平均功率。

2.对P＝Fvcos α的理解

(1)P＝Fvcos α揭示功率与力、速度的关系。

特例：当F与v同向时，即α＝0°时，P＝Fv。

此时若P一定，则F与v成反比；若F一定，则P与v成正比；若v一定，则P与F成正比。

(2)平均功率和瞬时功率的计算

①平均功率：＝或P＝F (F、同向)。

②瞬时功率：P＝Fvcos α(α为F、v夹角)，当F、v同向时，P＝Fv。

P＝Fv通常用来计算某一时刻或某一位置时的瞬时功率，v是瞬时速度；若代入某段时间内的平均速度，则计算的是该段时间内的平均功率。

3.额定功率和实际功率

(1)额定功率和实际功率：发动机铭牌上的额定功率，指的是机械正常工作时，允许达到的最大功率。发动机的实际功率是指机械实际运行的功率，它可以小于或等于额定功率，但不能长时间大于额定功率。

(2)发动机的额定功率P额＝Fv反映了机械的额定功率对机械的动力与速度的制约关系。因机器在设计制造时，就确定了它的额定功率，所以当机械的功率达到额定功率时，要增大动力则必须减小速度。

[试题案例]

[例1] (2018·惠州高一检测)一台起重机将静止在地面上、质量为m＝1.0×103 kg的货物匀加速竖直吊起，在2 s末货物的速度v＝4 m/s(取g＝10 m/s2，不计额外功)，求：

(1)起重机在这2 s内的平均功率；

(2)起重机在2 s末的瞬时功率。

解析　设货物所受的拉力为F，加速度为a，则

(1)由a＝，得a＝2 m/s2

F＝mg＋ma＝1.0×103×10 N＋1.0×103×2 N

＝1.2×104 N

2 s内货物上升的高度

h＝at2＝4 m

起重机在这2 s内对货物所做的功

W＝F·h＝1.2×104×4 J＝4.8×104 J

起重机在这2 s内的平均功率

＝＝＝2.4×104 W。

(2)起重机在2 s末的瞬时功率

P＝Fv＝1.2×104×4 W＝4.8×104 W。

答案　(1)2.4×104 W　(2)4.8×104 W

求解功率时应该注意的问题

(1)要明确所求功率是某物体各力的功率，还是合力的功率。如汽车发动机的功率是指汽车牵引力的功率，起重机的功率是指起重机钢丝绳拉力的功率。

(2)要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。

①若求平均功率，还需明确是哪段时间内的平均功率，应用公式P＝或P＝F进行求解。

②若求瞬时功率，需明确对应状态的速度v，应用公式P＝Fv求解。如果F、v不同向，则将它们先投影到同一方向上再进行计算。

[针对训练1] 一个质量为1 kg的物块，沿倾角为37°、足够长的光滑斜面由静止开始下滑，当它下滑4 s时重力的瞬时功率为多大？这4 s内重力的平均功率为多大(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)?

解析　由mgsin 37°＝ma得物块下滑的加速度大小为

a＝gsin 37°＝10×0.6 m/s2＝6 m/s2

下滑4 s时物块的瞬时速度大小为

v＝at＝6×4 m/s＝24 m/s

4 s内物块的位移大小为

s＝at2＝×6×42 m＝48 m

所以物块下滑4 s时重力的瞬时功率为

P＝mgvcos 53°＝1×10×24×0.6 W＝144 W

在这4 s内重力的平均功率为

＝＝＝W＝72 W。

答案　144 W　72 W

　机车的两种启动方式运动过程分析

[探究归纳]

汽车两种启动方式的过程分析与比较

[试题案例]

[例2] 质量为2 000 kg、额定功率为80 kW的汽车，在平直公路上行驶中的最大速度为20 m/s。若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为2 m/s2，运动中的阻力不变。求：

(1)汽车所受阻力的大小；

(2)3 s末汽车的瞬时功率；

(3)汽车做匀加速运动的时间；

(4)汽车在匀加速运动中牵引力所做的功。

解析　(1)以最大速度行驶时，根据P＝Fv可求得

F＝4 000 N。

而此时牵引力和阻力大小相等，则f＝F＝4 000 N。

(2)3 s末汽车的速度v3＝at3＝6 m/s，

由F－f＝ma得F1＝8 000 N，

故此时汽车的功率为P′＝F1v3＝4.8×104 W。

(3)设汽车做匀加速运动的时间为t，则t时刻的速度为vt＝at，

这时汽车的功率为额定功率P＝F1vt，代入数据得t＝5 s。

(4)匀加速运动阶段牵引力为恒力，牵引力所做的功W＝F1s＝F1·at2＝8 000××2×52 J＝2×105 J。

答案　(1)4 000 N　(2)4.8×104 W　(3)5 s　(4)2×105 J

机车启动问题中几个物理量的求法

1.机车的最大速度vm的求法：机车达到匀速前进时速度最大，此时牵引力F等于阻力f，故vm＝＝。

2.匀加速启动持续时间的求法：牵引力F＝ma＋f，匀加速的最后速度vm′＝，时间t＝。

3.瞬时加速度的求法：据F＝求出牵引力，则加速度a＝。

[针对训练2] 如图1所示，为修建高层建筑常用的塔式起重机。在起重机将质量m＝5×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm＝1.02 m/s的匀速运动。取g＝10 m/s2，不计额外功。求：

图1

(1)起重机允许的最大输出功率；

(2)重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2 s末的输出功率。

解析　(1)设起重机允许的最大输出功率为P0，重物达到最大速度时拉力F0等于重力。

P0＝F0vm，F0＝mg。

代入数据得P0＝5.1×104 W。

(2)匀加速运动结束时，起重机达到允许的最大输出功率，

设此时重物受到的拉力为F，速度为v1，匀加速运动经历的时间为t1，

有P0＝Fv1，F－mg＝ma，v1＝at1。

代入数据得t1＝5 s。

第2 s末，重物处于匀加速运动阶段，

设此时速度为v2，输出功率为P，

v2＝at，P＝Fv2。

得P＝2.04×104 W。

答案　(1)5.1×104 W　(2)5 s　2.04×104 W

两组功率概念的对比辨析

1.平均功率和瞬时功率

(1)平均功率

平均功率表示力在一段时间内做功的平均快慢程度。平均功率与一段时间(或过程)相关。计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率。常用P＝求平均功率，如果用P＝Fv求平均功率，公式中的v应为平均速度。

(2)瞬时功率

瞬时功率表示力在一段极短时间内做功的快慢程度，计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。如果用公式P＝Fvcos θ求瞬时功率，公式中的v应为瞬时速度，θ为F与v的夹角。

2.额定功率和实际功率

(1)额定功率是指动力机械长期正常工作时最大的输出功率，是动力机械重要的性能指标。一个动力机械的额定功率是一定的，通常都在铭牌上标明。机械工作时必须受额定功率的限制。

(2)实际功率是机械工作时实际的输出功率，实际功率可以小于等于额定功率，但实际功率长时间大于额定功率会损坏机器。

【针对练习】　将质量为20 kg的物体从静止开始以1 m/s2的加速度竖直提升2 m。求在此过程中拉力做功的平均功率为多少？到达2 m高处时拉力做功的瞬时功率多大？(g＝10 m/s2)

解析　由F－mg＝ma得拉力大小

F＝mg＋ma＝220 N

物体上升2m所需时间t＝＝2 s

故拉力做功的平均功率

P＝＝＝W＝220 W

到达2 m高处时拉力做功的瞬时功率

P′＝Fv＝Fat＝220×1×2 W＝440 W。

答案　220 W　440 W

1.(对功率的理解)关于功率，下列说法中正确的是(　　)

A.做功的时间越长，功率一定越小

B.做功越多，功率一定越大

C.功率是表示力做功快慢的物理量

D.额定功率大的机车发动机工作时实际功率一定大

解析　根据P＝可知，功率与做功、时间都有关系，因此A、B均错误；功率是表示力做功快慢的物理量，C正确；额定功率是发动机正常工作时的最大输出功率，发动机实际功率可以小于额定功率，D错误。

答案　C

2.(平均功率和瞬时功率的计算)(多选)质量为3 kg的物体，从高45 m处自由落下(g取10 m/s2)，那么在下落的过程中(　　)

A.前2 s内重力做功的功率为300 W

B.前2 s内重力做功的功率为675 W

C.第2 s末重力做功的功率为600 W

D.第2 s末重力做功的功率为900 W

解析　前2 s物体下落h＝gt2＝20 m，重力做功的功率P1＝＝W＝300 W，A正确，B错误；2 s末物体的速度v＝gt＝20 m/s，此时重力的功率P2＝mgv＝600 W，C正确，D错误。

答案　AC

3.(功率的计算)如图2是小孩滑滑梯的情景，假设滑梯是固定光滑斜面，倾角为30°，小孩质量为m，由静止开始沿滑梯下滑，滑行距离为s时，重力的瞬时功率为(　　)

图2

A.mg B. mg

C.mg D. mg

解析　小孩的加速度a＝＝g，由v2＝2as得小孩滑行距离s时的速率v＝，故此时重力的瞬时功率P＝mgvsin 30°＝mg，B正确。

答案　B

4.(机车启动问题)汽车发动机的额定功率P＝60 kW，若其总质量为m＝5t，在水平路面上行驶时，所受阻力恒为f＝5.0×103 N，则：

(1)汽车保持恒定功率启动时：①求汽车所能达到的最大速度vmax。②当汽车加速度为2 m/s2时，速度是多大？

③当汽车速度是6 m/s时，加速度是多大？

(2)若汽车以a＝0.5 m/s2的加速度由静止开始做匀加速运动，这一过程能维持多长时间？

解析　汽车在运动中所受的阻力大小为

f＝5.0×103 N。

(1)汽车保持恒定功率启动时，做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度减小到零时，速度达到最大。

①当a＝0时速度最大，

所以，此时汽车的牵引力为

F1＝f＝5.0×103 N，

则汽车的最大速度为

vmax＝＝m/s＝12 m/s。

②当汽车的加速度为2 m/s2时，牵引力为F2，由牛顿第二定律得F2－f＝ma，

F2＝f＋ma＝5.0×103 N＋5.0×103×2 N＝1.5×104 N，

汽车的速度为

v＝＝m/s＝4 m/s。

③当汽车的速度为6 m/s时，牵引力为

F3＝＝N＝1×104 N。

由牛顿第二定律得F3－f＝ma，

汽车的加速度为

a＝＝m/s2＝1 m/s2。

(2)当汽车以恒定加速度a＝0.5 m/s2匀加速运动时，汽车的牵引力为F4，

由牛顿第二定律得F4－f＝ma，

F4＝f＋ma＝5.0×103 N＋5×103×0.5 N＝7.5×103 N。

汽车匀加速运动时，其功率逐渐增大，当功率增大到等于额定功率时，匀加速运动结束，

此时汽车的速度为

vt＝＝m/s＝8 m/s。

则汽车匀加速运动的时间为

t＝＝s＝16 s。

答案　(1)①12 m/s　②4 m/s　③1 m/s2　(2)16 s

合格性检测

1.下列关于功率的说法中正确的是(　　)

A.由P＝知，力做的功越多，功率越大

B.由P＝Fv知，物体运动得越快，功率越大

C.由W＝Pt知，功率越大，力做的功越多

D.由P＝Fvcos α知，某一时刻，即使力和速度都很大，但功率不一定大

解析　在公式P＝中，只有P、W、t中两个量确定后，第三个量才能确定，故选项A、C错误；在P＝Fv中，P与F、v有关，故选项B错误；在P＝Fvcos α中，P还与α有关，故选项D正确。

答案　D

2.(多选)关于功率公式P＝Fv，下列说法正确的是(　　)

A.当F是恒力，v是平均速度时，对应的P是平均功率

B.当v是瞬时速度时，对应的P是瞬时功率

C.只适用于物体做匀速直线运动的情况

D.只适用于F与v同方向的情况

解析　用公式P＝Fv计算功率时，F应与速度v方向相同，D正确；当v为瞬时速度时，Fv为瞬时功率，B正确；v为平均速度，且F为恒力时，Fv为平均功率，A正确；P＝Fv适用于任何运动的求解，但应注意v是力F方向上的速度，C错误。

答案　ABD

3.一个质量为m的小球做自由落体运动，那么，在前t时间内重力对它做功的平均功率及在t时刻重力做功的瞬时功率P分别为(　　)

A.＝mg2t2，P＝mg2t2

B.＝mg2t2，P＝mg2t2

C.＝mg2t，P＝mg2t

D.＝mg2t，P＝2mg2t

解析　前t时间内重力做功的平均功率

＝＝＝mg2t

t时刻重力做功的瞬时功率P＝Fv＝mg·gt＝mg2t，

故C正确。

答案　C

4.质量为m的汽车，其发动机额定功率为P。当它开上一个倾角为θ的斜坡时，受到的阻力为车重力的k倍，则车的最大速度为(　　)

A. B.

C. D.

解析　当汽车做匀速运动时速度最大，此时汽车的牵引力F＝mgsin θ＋ kmg，而P＝Fvm，由此可得vm＝，故选项D正确。

答案　D

5.某人用同一水平力F先后两次拉同一物体，第一次使此物体从静止开始在光滑水平面上前进l距离，第二次使此物体从静止开始在粗糙水平面上前进l距离。若先后两次拉力做的功分别为W1和W2，拉力做功的平均功率分别为P1和P2，则(　　)

A.W1＝W2，P1＝P2 B.W1＝W2，P1＞P2

C.W1＞W2，P1＞P2 D.W1＞W2，P1＝P2

解析　两次拉物体用的力都是F，物体的位移都是l。由W＝Fl可知W1＝W2，物体在粗糙水平面上前进时，加速度a较小，由l＝at2可知用时较长，再由P＝可知P1>P2，选项B正确。

答案　B

6.质量为5 t的汽车，在水平路面上以加速度a＝2 m/s2启动，所受阻力为1.0×103 N，汽车启动后第1 s末的瞬时功率是(　　)

A.2 kW B.22 kW

C.1.1 kW D.20 kW

解析　根据牛顿第二定律得F－f＝ma，

则F＝f＋ma＝1 000 N＋5 000×2 N＝11 000 N。

汽车在第1 s末的速度v＝at＝2×1 m/s＝2 m/s，

所以P＝Fv＝11 000×2 W＝22 000 W＝22 kW，

故B正确。

答案　B

7.某车以相同的功率在两种不同的水平路面上行驶，受到的阻力分别为车重的k1和k2倍，最大速率分别为v1和v2，则(　　)

A.v2＝k1v1 B.v2＝v1

C.v2＝v1 D.v2＝k2v1

解析　汽车的阻力分别为f1＝k1mg，f2＝k2mg，当汽车以相同功率启动达到最大速度时，有F＝f，故由P＝Fv可知最大速度v＝＝，则＝＝，有v2＝v1，故选项B正确。

答案　B

等级性检测

8.一辆汽车以功率P1在平直公路上匀速行驶，驾驶员突然减小油门，使汽车的功率减小为P2并且保持功率为P2不变继续行驶。若整个过程中阻力恒定不变，此后汽车发动机的牵引力将(　　)

A.保持不变

B.不断减小

C.突然减小，再增大，后保持不变

D.突然增大，再减小，后保持不变

解析　由P1＝Fv知，当汽车以功率P1匀速行驶时，F＝f，加速度a＝0。若突然减小油门，汽车的功率由P1减小到P2，则F突然减小。整个过程中阻力f恒定不变，即F<f，此时加速度a<0，所以汽车将减速。由P2＝Fv知，此后保持功率P2不变继续行驶，v减小，F增大。当F＝f时，汽车不再减速，而以较小速度匀速行驶，牵引力不再增大。

答案　C

9.(2018·阳江高一检测)质量为2 t的汽车，发动机的额定功率为30 kW，在水平公路上能以54 km/h的最大速度行驶，如果保持功率不变，汽车速度为36 km/h时，汽车的加速度为(　　)

A.0.5 m/s2 B.1 m/s2

C.1.5 m/s2 D.2 m/s2

解析　当牵引力和阻力相等时，汽车的速度最大，最大速度为vm＝54 km/h＝15 m/s，由P＝Fvm＝fvm可得，阻力f＝＝N＝2 000 N

速度为v＝36 km/h＝10 m/s时汽车的牵引力为

F＝＝3 000 N

由牛顿第二定律可得F－f＝ma，

所以a＝＝m/s2＝0.5 m/s2，

故选项A正确。

答案　A

10.一汽车在平直公路上行驶，从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图1所示。假定汽车所受阻力的大小f恒定不变，下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是(　　)

图1

解析　当汽车的功率为P1时，汽车在运动过程中满足P1＝F1v，因为P1不变，v逐渐增大，所以牵引力F1逐渐减小，由牛顿第二定律得F1－f＝ma1，f不变，所以汽车做加速度减小的加速运动，当F1＝f时速度最大，且vm＝＝。当汽车的功率突变为P2时，汽车的牵引力突增为F2，汽车继续加速，由P2＝F2v可知F2减小，又因F2－f＝ma2，所以加速度逐渐减小，直到F2＝f时，速度最大vm′＝，以后匀速运动。综合以上分析可知选项A正确。

答案　A

11.如图2所示，位于水平面上的物体A，在斜向上的恒定拉力F作用下，由静止开始向右做匀加速直线运动。已知物体质量为10 kg，F的大小为100 N，方向与速度v的夹角为37°，物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，g＝10 m/s2(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。求：

图2

(1)第2 s末，拉力F对物体做功的功率是多大？

(2)从运动开始，物体前进12 m过程中拉力对物体做功的平均功率是多大？

解析　(1)物体对水平面的压力等于水平面对物体的支持力，

N＝mg－Fsin 37°＝100 N－100×0.6 N＝40 N

由牛顿第二定律得物体的加速度

a＝＝m/s2＝6 m/s2

第2 s末，物体的速度v＝at＝12 m/s

拉力F对物体做功的功率P＝Fvcos 37°＝960 W

(2)从运动开始，前进12 m用时

t′＝＝s＝2 s

该过程中拉力对物体做功

W＝Fscos 37°＝100×12×0.8 J＝960 J

拉力对物体做功的平均功率

P′＝＝W＝480 W。

答案　(1)960 W　(2)480 W

12.汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车的质量为5×103 kg，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车的重力的0.05倍，若汽车始终保持额定功率不变，取g＝10 m/s2，则从静止启动后，求：

(1)汽车所能达到的最大速度是多少？

(2)当汽车的加速度为1 m/s2时，速度是多大？

(3)如果汽车由启动到速度变为最大值后，马上关闭发动机，测得汽车在关闭发动机前已通过624 m的路程，求汽车从启动到停下来一共经过多少时间？

解析　(1)汽车保持额定功率不变，那么随着速度v的增大，牵引力F牵变小，当牵引力大小减至与阻力f大小相同时，汽车速度v达到最大值vm。

vm＝＝＝24 m/s。

(2)由F牵－f＝ma，则F牵＝ma＋f＝7.5×103 N，

v＝＝＝8 m/s。

(3)设由启动到速度达到最大历时t1，关闭发动机到停止历时t2。

P额·t1－f·s1＝mv，将数据代入，得t1＝50 s。

由vm＝·t2得t2＝48 s。

故t总＝t1＋t2＝98 s。

答案　见解析

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/088558b50812a21614791711cc7931b764ce7b3d.html