2020年广州中考数学华南师范大学附属中学自主招生 不等式 专题练习（包含答案）

2020广州中考 华南师范大学附属中学 自主招生 不等式 专题练习（含答案）

1. 已知881672d66d97d385c0c6f7c42510d6c4.png，且16bd20f266372f908423a5d3069df0a0.png，试比较d04155eb3dc1374992603930ddc3bfba.png与738e20c2f14adade851230c8315bc94f.png的大小.

解析 首先解关于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的方程得541c139e6ce4302f71d7d0509f5ebfbf.png.将541c139e6ce4302f71d7d0509f5ebfbf.png代入不等式得dbccf914539c035749b86662fabd9766.png，即d0b00debb1f207ad5da418ba57d46c5e.png.又因为0500c768773e7abeaa61564463b2e6df.png，所以0e955afc32288e01cbac65980658408a.png

2. 解关于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的不等式06c9607039dbed375f410affbff5decd.png.

解析 由题设知570f3094d1e4101e5fd2aee42ed7c589.png，去分母并整理得

36980ff29935cb02843ea99754e27004.png.

当37c5be71e95ba408b98a2f48307dcc07.png，即ae94316419cac903aee3c02af385b673.png时，3dc1ec34f71708b05397cbf3db83b09a.png；

当f645d4a4dbc01d6d6cc373bfc7c6631e.png，即66e50d0eb0e179fe6b486e3ebbc891e5.png时，无解；

当9efb59289404e610635b557a067bed77.png，即3406d766fe972fcd3875dcd5e1451b98.png时，fa50a728593705260eb76b128ff47bf6.png.

评注 对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论.

3. 已知不等式f5c83e936f67b801314307329c19dc4c.png的解为e82866dba2d8fd9e5194fd3c61f152f8.png，求不等式fadde3c3f6625d086528871df61bd2a4.png的解.

解析 已知不等式为cff195f53cd904e3299efc354300ce5d.png.由题设知

cbe8b9e818b331f2b7721c1701968526.png

所以 1d4081edeabf266e2da6303e86ce2916.png

由ebac63ef6c9fcf8eb3c5ae2924311e8e.png，可得cf8298b0e273301afdd921e7e4cf6c2b.png，从而cf8298b0e273301afdd921e7e4cf6c2b.png，b579dfa1eb9aaa9624e73e6ba90a3af7.png.

于是不等式fadde3c3f6625d086528871df61bd2a4.png等价于

46b7f823c68b1cc2d2da36ce484ed2ac.png，

即fa9a37805f5ec27852b6f460178f3280.png，解得def4b8a1164a6ece0a4e84cbf81dc56a.png.

所求的不等式解为def4b8a1164a6ece0a4e84cbf81dc56a.png.

4. 如果关于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的不等式

99450729a4621f00e0f394818126530a.png

的解集为2c244b3a94f1f71f12a2d691c7d541f7.png，求关于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的不等式b3ecf3b5a4e358ad93c96316530cbbdc.png的解集.

解析 由已知得

07b71dfd73d249cd97168466276359c7.png，①

6184be24ee11d378bf6b51eb6e497983.png.②

由已知①和②的解集相同，所以

b6a79f89500238cf130e86866298fb56.png

解得 b6734a24d92e84382d510af49d41a817.png

从而b3ecf3b5a4e358ad93c96316530cbbdc.png的解集是12f5ba33458d386d0b7e5e4d14690a1c.png.

5. 求不等式

b2ff0e46c731edbaf1a2f9fbb739cf55.png

的正整数解.

解析 由原不等式可得3ac2e077bb570b8d75abca9b4ba92165.png，所以93a4dc081dcbe8337eace855e8f67ddd.png是原不等式的解.因为要求正整数解，所以原不等式的正整数解为a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png，2，3.

6. 如果不等式组9989aa88459c02ff3611ffed3e586b14.png的整数解仅为1、2、3，那么适合这个不等式组的整数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的有序数对（0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png）共有多少对？

解析 由原不等式组可解得9e86eb8acd2e5de18ff582c8c8ed3f20.png.

如图所示，在数轴上画出这个不等式组解集的可能范围，可得

a203de859ab440267d5a272282a2699e.png

word/media/image62_1.png

即 0d9485308d1c60a82f5bb1eea7f3bf2e.png

所以，5ba758f9b6f95cbaf66a64bc24859213.png1，2，…，9共45c48cce2e2d7fbdea1afc51c7c6ad26.png个，b9ef07f46b79f9fcce147ea1adcd468b.png，26，…，32共c9f0f895fb98ab9159f51fd0297e236d.png个，于是有序数对（0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png）共有3ae02948a0c0a03dee1e3f475abb7563.png个.

7. 设0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png是正整数，求满足8fbc09244af9921128baca74ab5797bc.png，且92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png最小的分数033b571c237d78ae1c9908427fdf52ce.png.

解析 欲求92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的最小值，只需将92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png放入一个不等式，然后估计出92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的下界，这里要用到整数的离散性，即若整数9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png、415290769594460e2e485922904f345d.png满足10342149cd04422c7be79506cb544ac5.png，则550401b9ce45ac86b96510f96f9b6fa9.png.

原不等式等价于

ce8a054c2cf68b13b5e15cf06f7a0347.png

即 03d8006a89339329e8f233a2dc7597be.png

所以 82b017100b929e98696229d163bee734.png

故 4756e513d29c4c479721e10b8cfb063a.png，

解得 5949bb1d483a8c953d5feac42db7a10d.png.

又分数9273ff9d76ce0b5f2034cff085792e1b.png满足50955fa0652cb68367e91cf29d2d56d5.png，故92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png最小且满足题意的分数是9273ff9d76ce0b5f2034cff085792e1b.png.

8. 已知956d0233500749cf690fd6ab682d4eb4.png，a6e8144b1e0afd80e005d0be467ba5ba.png，求0c3c664dbb013e81bb215a46dbe7e505.png的最大值和最小值.

解析 因为956d0233500749cf690fd6ab682d4eb4.png，a6e8144b1e0afd80e005d0be467ba5ba.png，所以6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的最大值为98f13708210194c475687be6106a3b84.png，最小值为e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png；7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png的最大值为34173cb38f07f89ddbebc2ac9128303f.png，最小值为8e296a067a37563370ded05f5a3bf3ec.png.

故0c3c664dbb013e81bb215a46dbe7e505.png的最大值为df986d6441b3877e5595c5856b3a507a.png；0c3c664dbb013e81bb215a46dbe7e505.png的最小值为c0dbdb60b6f0ba87c0da43e585b8188d.png.

9. 求同时满足ee7fd024022ebb5f1e02c8659cce348f.png，6ff6f1a83584952cd286ca8e435152f5.png和723528bbcf53ce39cfa7ced9e5c9a154.png的0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的最大值及最小值.

解析 由ee7fd024022ebb5f1e02c8659cce348f.png和6ff6f1a83584952cd286ca8e435152f5.png，得

66145b48a6609822d743efb3e8817356.png，f2476fd08b4dffa0e1e81494e0372450.png.

再由723528bbcf53ce39cfa7ced9e5c9a154.png得，fa75a5e8933314270c5c9946c4478d19.png，解此不等式，得e567337b0b9276c19529d4d4652aa58b.png.

所以0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的最大值为eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png，最小值为bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png.

10. 求适合31b1e72f922545b062522c65c36928fa.png，且415290769594460e2e485922904f345d.png满足方程125cd31ea23232c92bce543a42917b7d.png的9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png取值范围.

解析 125cd31ea23232c92bce543a42917b7d.png，所以6c99e70405f5aeba151091644a6607d3.png.于是

51d9125f2760e6dbdeb0550f9e949f65.png，9150db67897e2a173bbf3366cd6ba21e.png.

故9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的取值范围是9150db67897e2a173bbf3366cd6ba21e.png.

11. 当9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png、415290769594460e2e485922904f345d.png、fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png为非负数时，d37ffcc083c95508417a7831cf21a92c.png，d3414317868204fc75b3c8a0b75d7e4d.png，求3d62324af56094eb593863702686d8de.png的最大值和最小值.

解析 由26e8fec788626aaf60c202d3d147bb41.png解得6abaab504412464407c697f0119ae9d6.png

因为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png、415290769594460e2e485922904f345d.png、fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png均为非负数.所以，从上面可得77cd2a351229390f931afec13a579688.png.

8b9868b60be441d350b225d30aa7bfe2.png

827a3742b18339f33caba73e3e22b25e.png.

8cbb756cc691b8b430000f5dbb5d74eb.png.

所以f1290186a5d0b1ceab27f4e77c0c5d68.png的最大值是14b59b85067748f42d11099e11d7e5ab.png，f1290186a5d0b1ceab27f4e77c0c5d68.png的最小值是9be08abbfe1309750cbfc6b85306d873.png.

12.

（1）解不等式2f9637bf05663312a67e94a6b6f018f5.png；

（2）解不等式d2dfc7eb0c31322658d5a51e41fb9030.png.

解析 根据绝对值的非负性，易知（1）无解，（2）的解集为全体实数.

13. 解不等式33a20b21d22f392a466dc9386ef057bb.png.

解析 原不等式的零点为e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png、bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png.根据零点的情况分类讨论.

（1）当1631f135663f065d258fa73a3f1d3ff5.png时，原不等式化为

efec449d1b00f216a0041f332829adb1.png，

解之，得3e7bb626decf81f90529a707365f5b30.png.

所以，此时不等式的解为1631f135663f065d258fa73a3f1d3ff5.png.

（2）当7d4af0c15fe15c02c0b040ba6f879e74.png时，原不等式化为

6dfc7acdcba804301258c59469bb2a7a.png，

解之，得62d96657febda402c8705c226854f915.png.

所以，此时不等式的解为62d96657febda402c8705c226854f915.png.

（3）当d0c952ef23a4324bf49c9c358c9a4462.png时，原不等式化为

63af3ad11585a51a8d1ab924dab51f31.png，

解之，得a589fa888be22f09bbb410a11866c2b0.png.

所以，此时不等式的解为74386bc3c8c44e3b6e1d835a81e8d6da.png.

综上，原不等式的解为62d96657febda402c8705c226854f915.png或a589fa888be22f09bbb410a11866c2b0.png.

评注 解与绝对值有关的不等式的关键一点是根据绝对值的定义，去掉不等式中的绝对值符号.分类讨论是去绝对值符号的另一种重要方法.

14. 解不等式ee03a3cccc632db59ada944963826735.png.

解析1 如图，分别用7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png两点代表8e537c3333d054f22cef94a39a01024c.png和c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png.

df977d5c49dae0744ddd7a1b519cb9e6.png表示某点0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png（9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png所对应的点）到7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png点和9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png点的距离差.又当e28b7964a01e56385d1d9fa4da54388c.png时，0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png点到7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png两点的距离差恰好为eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png.

word/media/image182_1.png

当点0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png靠近点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png时，0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png到7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png两点的距离差变小，所以原不等式的解为

62d96657febda402c8705c226854f915.png.

解析2 因为8e537c3333d054f22cef94a39a01024c.png、2分别是29a5694b9a10779e2e1df28425be3cdf.png和1cde478169c1e85e569cdf1675f181b6.png的零点，于是分三种情况讨论：

（1）当6d7d6a03f0f3b2959b4d63641a158d4f.png时，原不等式变为

354eea8f132d9c100fe88bc9e69058f4.png，

此式恒成立，故6d7d6a03f0f3b2959b4d63641a158d4f.png是原不等式的解.

（2）当831d01bfb5ba7cab1278a92dfde9a76c.png时，原不等式变为

014c662434fb31bd313c1d7363c824c9.png，

解得 62d96657febda402c8705c226854f915.png.

所以，ee14fb20cc5b5d16092f0af7b2313ff5.png是原不等式的解.

（3）若961493342dc3a50043fbcf08176ac65b.png，原不等式变为

8f956e5fdb4a13153b7019b3b6f6dc5b.png，

即1247b3bc8a6a995087035df1d92067aa.png，此不等式无解.

综上所述，原不等式的解为62d96657febda402c8705c226854f915.png.

15. 解不等式a0fb339aa19c0ff9e72e621cf2bde01f.png.

解析 原不等式等价于

729f7585c4ff171478d4c03e7bfe5091.png，①

或 99af9f1d6d111d6f22d60f5bc8d42ed1.png. ②

①的解为d893062c89fcdb7dd0996e2f529392f7.png；②的解为4611d00a6b2872b79cf6dc6982efe663.png.

所以，原不等式的解为4611d00a6b2872b79cf6dc6982efe663.png或d893062c89fcdb7dd0996e2f529392f7.png.

16. 解不等式：

6313aa2ef71d7c86a8aca428abb46d53.png.

解析 注意8fe529f7ea5aae60eecd1636ee3dac09.png，整体分解.

由题意得

5de19581aacf560320a61ed6de4d7846.png，

即 e7e4e233083fada80509f7f4d37ab3da.png或853c62966b139f3d86a56753668c11f7.png，

而由e7e4e233083fada80509f7f4d37ab3da.png得

70bd59c13dc73bf9bd6d754179e97497.png或1f0aad094e55c176338e471da040c22b.png，

由853c62966b139f3d86a56753668c11f7.png得

11c20b4009a383548126d98f420cd393.png.

所以，原不等式的解为

1f0aad094e55c176338e471da040c22b.png或11c20b4009a383548126d98f420cd393.png或70bd59c13dc73bf9bd6d754179e97497.png.

17. 解不等式组：

3e035404d2c32fef0339b3facd0ae498.png

解析 由f195203ac1e2821fe2d19d61ba1bd20e.png得6d7d6a03f0f3b2959b4d63641a158d4f.png或1631f135663f065d258fa73a3f1d3ff5.png.

由a5fe3896087c884659e67589600fa52d.png得289c5fb0ee39664cfefad9acd336baa6.png.

于是原不等式组的解就是

8c70798250f4bc1978651e23f067f0c0.png

即

a69cc60bff43131b99de317cb274fac2.png或e70883c91b65955946c44d3beedce29e.png.

18. 0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png取何值时，不等式

ba8c8ebff9742aa37a49e3cb6cf3d889.png

无实数解？

解法1 欲使不等式ba8c8ebff9742aa37a49e3cb6cf3d889.png无实数解，关键是求出d470d7fc4ec24dbc3fb835d13a76a001.png的最小值.

因23ef7ca3857867f6157fa553e77ceb8f.png、a7f3c46f89ba491f597ce037d3880252.png的零点分别是9be08abbfe1309750cbfc6b85306d873.png、c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png.

当d052b95e9a12cb1f80113fcdded922fb.png时，0e46a932e86c0fd8412ad46254eff1af.png.当285af938f285c84c6bbcb0e0034e8815.png时，d470d7fc4ec24dbc3fb835d13a76a001.png有最小值45c48cce2e2d7fbdea1afc51c7c6ad26.png；

当f2cb494ea35a8738d26ab146b2d8a085.png时，da1abcd269bbfe089b5acde132affa20.png，最小值及最大值都是45c48cce2e2d7fbdea1afc51c7c6ad26.png；

当49f800f6a17487df9bd707b818acbd8c.png时，5bd2b6bd957787eea381e5bfc12d768e.png，无最小值.

故d470d7fc4ec24dbc3fb835d13a76a001.png的最小值为45c48cce2e2d7fbdea1afc51c7c6ad26.png.

欲使不等式ba8c8ebff9742aa37a49e3cb6cf3d889.png无实数解，则e3a84a7a91f54964599f5b73e8f19b97.png.

解法2 由a12c36e8be087d0676ec9962897c257a.png，得

bcdd40eb35c42f4bc6481ba4a2f45b79.png，

故欲使不等式ba8c8ebff9742aa37a49e3cb6cf3d889.png无实数解，只需e3a84a7a91f54964599f5b73e8f19b97.png即可.

19. 若不等式39f0804731104a3811b3fad463964179.png有解，求0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围.

解析1 利用不等式性质：

151a02d68f44a866a3d8c9d4f593720e.png，

又39f0804731104a3811b3fad463964179.png，

可得1e678fe1ccc42b3ec4736dd084f5774b.png.

解析2 根据绝对值的几何意义，因为709d4aa30cb12f33220db00b483f5ba6.png、a4fd1ff9754a78d8df3381b9a71f9a57.png分别表示数轴上点9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png到点768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png和eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png的距离，所以7696f8afcc1b1b2388555677c1f2ef87.png表示数轴上某点到7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png：768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png和9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png：eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png的距离和.从图可见，不论9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png在7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png点左边或者9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png点右边时，9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png到7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png点距离和至少为a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png；当9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png在b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png两点之间时，9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png到7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png点距离和为a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png.所以1e678fe1ccc42b3ec4736dd084f5774b.png.

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评注 解绝对值不等式常用分类讨论方法

（1）当5c718cd8d0682b37d5444000b894095f.png时，原不等式化为dc33e68d2f32c5164f01cf8b9f80d79d.png；

（2）当022017017ebeb4dbd50b1fb2dd925879.png时，原不等式化为1e678fe1ccc42b3ec4736dd084f5774b.png；

（3）当5ced45d090c91b3772036c475f2ff5b3.png时，原不等式化为46b6cbad75d81b0fc05a4d47348aa206.png.

综上所述，1e678fe1ccc42b3ec4736dd084f5774b.png.

本题中，两个绝对值符号中未知数的系数相同，所以我们利用了绝对值的几何意义.

20. 已知11510443f4c574c459afe9c2d35be0f1.png且e60333d3b240520471d7568908045e11.png，求6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的取值范围.

解析 整理可得86e27dc4fcdf1ae4c4c382fbf966f274.png.

因为11510443f4c574c459afe9c2d35be0f1.png，所以

b911b3ac75ce3ef11e1a203d5c37ffd9.png，

即 00e9b5e1735c43427bbdca74ee7d891e.png.

（1）当e6384b0ee3faddc93a135be3e78067ab.png时，fd48ff446bbf0a275cc61719aa353d99.png，解之得beef97e6db03d6c836244547581d149e.png.

（2）当0a0596a02eb219bd6336b93543a68c06.png时，e9401dc505e208e868c3fb91a2d99e6c.png，解之得9cf6dacb4ffa5908ac1862fc296cb176.png.

综上，6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的取值范围为beef97e6db03d6c836244547581d149e.png或者9cf6dacb4ffa5908ac1862fc296cb176.png.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/0598465050d380eb6294dd88d0d233d4b04e3f65.html