高中数学第四章数系的扩充与复数的引入4.2复数的四则运算复数与几何素材北师大版选修1 - 220170925374

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复 数 与 几 何

复数与几何有着非常密切的关系，复数a+bi（a、b∈R）与复平面内的点 P（a、b）及向OP是一一对应的，这就为建立复数与几何的相互关系奠定了基础，为数形结合解决复数问题提供了依据，复数加、减、乘法的几何意义，又为用复数求解几何问题提供了依据。复数与几何这一课题，有很丰富的内容，对培养和提高综合应用数学知识和方法分析、解决问题的能力，开拓解题思路是十分有益的。

一、复数运算的几何意义

复数加法和减法的几何意义是向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则。

由这一意义可知：d=|Z1Z2|=|z2-z1|表示复平面上两点间的距离。这是一个十分重要而有用的结论。

例1、复数z≠0，点A、B分别对应复数z和（1-i）z，求证：ΔOAB是等腰直角三角形。

证明：∵|OA|=|z|

|OB|=|（1-i）z|=word/media/image2_1.png|z|

|AB|=|（1-I）z-z|=|-zi|=|z|

∴|OA|=|AB|，且|OB|2=|OA|2+|AB|2

即ΔOAB是等腰直角三角形

例2、（全国高考题）z1、z2∈C，|z1|=5，|z1-z2|=7, 求word/media/image3_1.png的值

简答如下：易知O、Z1、Z2构成如图三角形

COS∠Z1OZ2=word/media/image5_1.png=-word/media/image6_1.png

∴sin∠Z1OZ2=word/media/image7_1.pngword/media/image8_1.png

∴word/media/image3_1.png=word/media/image9_1.png（cos∠Z1OZ2+isinZ1OZ2）=-word/media/image10_1.png

二、复数与区域

当复数Z的实部、虚部、模、辐角分别在一定范围内取值时，所对应的点Z会在复平面上形成一定区域，反之，根据点Z在复平面上的区域，也可确定以上某个量的取值范围。

例3、已知Zi满足|z+3-word/media/image11_1.pngi|=word/media/image12_1.png，求|z|与argz的取值范围，并求出使|z|与argz取得最大值和最小值的复数z。

简答：由方程|z+3-word/media/image11_1.pngi|=word/media/image12_1.png表示的图形（如图）易知：

|OB| ≤|z|≤|OA|，π-∠POQ ≤argz ≤π

由此不难算出： word/media/image11_1.png

word/media/image12_1.png≤|z|≤word/media/image18_1.png，word/media/image19_1.pngπ≤argz≤π

且当z=zp=- word/media/image19_1.png+word/media/image19_1.pngword/media/image12_1.pngI时，

argz取最小值word/media/image20_1.pngπ

当z=zQ=-3时，argz取最大值π

当z=zA=-word/media/image21_1.png+word/media/image19_1.pngword/media/image12_1.pngI时，|z|最大为3word/media/image12_1.png

当z=zB=- word/media/image19_1.png+word/media/image22_1.pngI时，|a|最小为word/media/image12_1.png

说明：在此题的解决上，图形的直观性起到了十分明显的任用。

例4、设复数z满足z+word/media/image19_1.png∈R，且2≤z+word/media/image19_1.png≤4，求复数z在复平面上对应的点z组成的图形。

解：由z+word/media/image19_1.png∈R知word/media/image24_1.pngword/media/image25_1.png+word/media/image26_1.png z≤z+word/media/image27_1.png

整理得（word/media/image25_1.png-z）（1-word/media/image30_1.png）=0

即 word/media/image32_1.png=z或|z|=word/media/image12_1.png word/media/image11_1.png

设z=x+yi（x、y ∈R）则

y=0 或 x2+y2=3

y=0时，z=x，由于Cz+word/media/image33_1.png≤4

解得1≤x ≤3

此时点z组成的图形是线段AB。如图

当x2+y2=3时，由2≤z+word/media/image27_1.png≤4

解得 1≤x≤2

点Z组成的图形是一段圆弧，如图

三、复数与平面几何

例5、在正方形ABCD中，作∠EAB=15。且AE=AC。求证：BE∥AC

证明：如图建立复平面，设AB=1，则A、B、C、D分别对应复数

1、1、 1+i、i

∵∠EAB=15。，AE=AC，∠CAB=45。

∴ze=zc[cos]-30。）+isin（-30。）]

=word/media/image34_1.pngi

BE:ze-zB=word/media/image36_1.png-1=word/media/image37_1.png

∴∠XBE=arg(zE-zB)=45。=∠BAC

∴BE∥AC

说明:两复数之差的辐角可显示连接两点的向量方向,此题的关键是通过证明arg(zE-zB)= arg(zC-zA)而证得BE∥AC。

类似题目还有如高中代数课本（必修）下册217页第15题：利用复数证明余弦定理等。

四、复数与解析几何

由于复数和复平面上点集间的一一对应关系，当复数的实、虚部是一对实变量，即复数也成为变量时，其所对应的点就成为动点，即可形成一定的轨迹，因此，复数也是研究平面曲线的重要方法。

例6、写出下列曲线的复数形式的方法。

①以点A（x1、y1）、B（x2、y2）为端点的线段AB的中垂线方程；

②以点C（a、b）为圆心，r为半径的圆；

③以F1、2（word/media/image7_1.pngc、0）为焦点，长轴长2a（a>c>0）的椭圆；

④以F1、2（word/media/image7_1.pngc、0）为焦点，长轴长2a（a>c>0）的椭圆。

解：①|z-（x1+y1i）|=|z-（x2+Y2i）|

②|z-（a+bi）|=r

③|z-c|+|z-c|=2a

④||z+c|-|z-c|=2a

说明：用复数形式写出曲线的方程不仅是可能的，而且具有简单、清晰的优点，它与直角坐标方程F（z、y）=0表示曲线的方法相辅相成，可以互相转化。

例7、（84年全国高考题）设p≠0，实系数方程z2-2pz+q=0有两个虚根z1、z2，又设z1、z2在复平面上对应的点是Z1、Z2，求以Z1、Z2为焦点，且经过原点的椭圆的长轴之长。

解：由条件△=（-2p）2-4q<0

得q>p2>0

由于z1、z2共轭，知点Z1、Z2

关于X轴对称，故椭圆短轴在X轴上，

且原点是短轴一个端点，可得：

短轴长2b=| z1+z2|=2|p|

焦距2c=| z1-z2|=word/media/image39_1.png

=2word/media/image40_1.png

长轴长2a=2word/media/image41_1.png=2word/media/image42_1.png

例8、已知X∈C，word/media/image43_1.png为纯虚数，求z在复平面上对应的点Z的轨迹。

解法一、∵word/media/image44_1.png

∴由条件知z≠0，z≠1且zword/media/image45_1.png为纯虚数

∴（zword/media/image45_1.png）+word/media/image46_1.png=0

整理得 2zword/media/image45_1.png-word/media/image47_1.png=0

即 （z-word/media/image48_1.png）（word/media/image49_1.png）=word/media/image50_1.png

∴|z-word/media/image48_1.png|=word/media/image48_1.png

故所求轨迹是以（word/media/image48_1.png、0）为心，word/media/image48_1.png为半径的圆，点（0′,0），（1，0）除外。

解法：设：z=x+yi（x，y∈R）则

word/media/image51_1.png

所以有x2-x+y2=0，（x-1）2+y2≠0，y≠0。

说明：利用复数及其运算的几何意义，刻划曲线上的点满足的几何关系，并转化为复数形式或F（x、y）=0形式的曲线方程，是一种求轨迹的有效方法。

例9、如图，P是椭圆word/media/image52_1.png上的任一点，以OP为边作矩形OPQM（按逆时针排列），且使|OM|=2|OP|，求动点M的轨迹。

解法一：设P、M分别对应复数u+vi，x+yi（u、v、x、y∈R）

则有x+yi=（u+vi）word/media/image53_1.png

x=-2r u=word/media/image56_1.png

有 即

y=2u r=-word/media/image57_1.png

∵点P（u、v）在椭圆上

∴word/media/image58_1.png

即word/media/image59_1.png

得 M：word/media/image60_1.png

x=word/media/image62_1.png

解法二：∵word/media/image63_1.png可写为 （word/media/image64_1.png 为参数）

y=sinθ

∴向量word/media/image65_1.png对应数word/media/image66_1.png

向量word/media/image67_1.png对应复数（word/media/image66_1.png）word/media/image68_1.png

即 -2sinword/media/image64_1.png+2word/media/image69_1.png

∴点M（x、y）满足参数方程

x=-2sinword/media/image64_1.png

（word/media/image64_1.png是参数）

y=2 2cosword/media/image64_1.png

即：M：word/media/image71_1.png

注：此题中，若O、P、Q、M按顺时针排列，所得结果仍相同

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/02c25bedff4733687e21af45b307e87100f6f8d1.html