一、功和功率的计算
1．功的计算方法
(1)利用W＝Fscos α求功，此时F是恒力．
(2)利用动能定理或功能关系求功．
(3)利用W＝Pt求功．
2．功率的计算方法
(1)P＝：此式是功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，但常用于求解某段时间内的平均功率．
(2)P＝Fvcos α：此式一般计算瞬时功率，但当速度为平均速度时，功率为平均功率．
例1 质量为m＝20 kg的物体，在大小恒定的水平外力F的作用下，沿水平面做直线运动.0～2 s内F与运动方向相反，2～4 s内F与运动方向相同，物体的v－t图像如图1所示，g 取10 m/s2，则( )
图1
A．拉力F的大小为100 N
B．物体在4 s时拉力的瞬时功率为120 W
C．4 s内拉力所做的功为480 J
D．4 s内物体克服摩擦力做的功为320 J
答案 B
解析 由题图可得：0～2 s内物体做匀减速直线运动，加速度大小为：a1＝＝ m/s2＝5 m/s2，匀减速过程有F＋f＝ma1.匀加速过程加速度大小为a2＝＝ m/s2＝1 m/s2，有F－f＝ma2，解得f＝40 N，F＝60 N，故A错误．物体在4 s时拉力的瞬时功率为P＝Fv＝60×2 W＝120 W，故B正确.4 s内物体通过的位移为s＝(×2×10－×2×2)m＝8 m，拉力做功为W＝－Fs＝－480 J，故C错误.4 s内物体通过的路程为x＝(×2×10＋×2×2) m＝12 m，摩擦力做功为Wf＝－fx＝－40×12 J＝－480 J，故D错误．
针对训练 1 如图2所示，两个完全相同的小球A、B，在同一高度处以相同大小的初速度v0分别水平抛出和竖直向上抛出，不计空气阻力，则( )
图2
A．两小球落地时速度相同
B．两小球落地时重力的功率相等
C．从开始运动至落地，重力对两小球做功相同
D．从开始运动至落地，重力对两小球做功的平均功率相等
答案 C
解析 由动能定理可得两球落地时速度大小相等，但落地时的速度方向不相同，故速度不相同，A项错误．重力在落地时的瞬时功率P＝mgvcos α，α为重力与速度方向的夹角，由于α不相等，故两小球落地时重力的功率不相等，B项错误．重力做功取决于下降的高度h，从开始运动至落地h相等，故重力对两小球做功相同，C项正确．重力做功的平均功率P＝，两球运动的时间不相等，故重力对两小球做功的平均功率不相等，D项错误．
二、对动能定理的理解及在多过程问题中的应用
动能定理一般应用于单个物体，研究过程可以是直线运动，也可以是曲线运动；既适用于恒力做功，也适用于变力做功；既适用于各个力同时作用在物体上，也适用于不同的力分阶段作用在物体上，凡涉及力对物体做功过程中动能的变化问题几乎都可以使用，但使用时应注意以下几点：
1．明确研究对象和研究过程，确定初、末状态的速度情况．
2．对物体进行正确的受力分析(包括重力、弹力等)，弄清各力做功大小及功的正、负情况．
3．有些力在运动过程中不是始终存在，物体运动状态、受力等情况均发生变化，则在考虑外力做功时，必须根据不同情况分别对待，正确表示出总功．
4．若物体运动过程中包含几个不同的子过程，解题时，可以分段考虑，也可视为一个整体过程考虑，列出动能定理方程求解．
例2 一列火车由机车牵引沿水平轨道行驶，经过时间t，其速度由0增大到v.已知列车总质量为M，机车功率P保持不变，列车所受阻力f为恒力．求这段时间内列车通过的路程．
答案
解析 以列车为研究对象，列车水平方向受牵引力和阻力．设列车通过的路程为x.据动能定理WF－Wf＝Mv2－0，因为列车功率一定，据P＝可知牵引力的功WF＝Pt，Pt－fx＝Mv2，解得x＝.
例3 滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来．如图3是滑板运动的轨道，BC和DE是两段光滑圆弧形轨道，BC段的圆心为O点，圆心角为60°，半径OC与水平轨道CD垂直，水平轨道CD段粗糙且长8 m．某运动员从轨道上的A点以3 m/s的速度水平滑出，在B点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧形轨道BC，经CD轨道后冲上DE轨道，到达E点时速度减为零，然后返回．已知运动员和滑板的总质量为60 kg，B、E两点到水平轨道CD的竖直高度分别为h和H，且h＝2 m，H＝2.8 m，g取10 m/s2.求：
图3
(1)运动员从A点运动到达B点时的速度大小vB；
(2)轨道CD段的动摩擦因数μ；
(3)通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B点？如能，请求出回到B点时速度的大小；如不能，则最后停在何处？
答案 (1)6 m/s (2)0.125 (3)不能回到B处，最后停在D点左侧6.4 m处或C点右侧1.6 m处
解析 (1)由题意可知：vB＝
解得：vB＝6 m/s.
(2)从B点到E点，由动能定理可得：mgh－μmgxCD－mgH＝0－mvB2
代入数据可得：μ＝0.125.
(3)设运动员能到达左侧的最大高度为h′，从B到第一次返回左侧最高处，根据动能定理得：
mgh－mgh′－μmg·2xCD＝0－mvB2
解得h′＝1.8 m
所以第一次返回时，运动员不能回到B点
设运动员从B点运动到停止，在CD段的总路程为x，由动能定理可得：
mgh－μmgx＝0－mvB2
解得：x＝30.4 m
因为x＝3xCD＋6.4 m，所以运动员最后停在D点左侧6.4 m处或C点右侧1.6 m处．
三、动能定理与平抛运动、圆周运动的结合
动能定理常与平抛运动、圆周运动相结合，解决这类问题要特别注意：
(1)与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法，如分解位移或分解速度求平抛运动的有关物理量．
(2)与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件：
①有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为vmin＝0.
②没有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为vmin＝.
例4 如图4所示，一可以看成质点的质量m＝2 kg的小球以初速度v0沿光滑的水平桌面飞出后，恰好从A点沿切线方向进入圆弧轨道，其中B为轨道的最低点，C为最高点且与水平桌面等高，圆弧AB对应的圆心角θ＝53°，轨道半径R＝0.5 m．已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，不计空气阻力，g取10 m/s2.
图4
(1)求小球的初速度v0的大小；
(2)若小球恰好能通过最高点C，求在圆弧轨道上摩擦力对小球做的功．
答案 (1)3 m/s (2)－4 J
解析 (1)在A点由平抛运动规律得：
vA＝＝v0.①
小球由桌面到A点的过程中，由动能定理得
mg(R＋Rcos θ)＝mvA2－mv02②
由①②得：v0＝3 m/s.
(2)在最高点C处有mg＝，小球从桌面到C点，由动能定理得Wf＝mvC2－mv02，代入数据解得Wf＝－4 J.
针对训练2 如图5所示，在某电视台的“冲关大挑战”节目中，参赛选手沿固定的倾斜滑道AB下滑，通过光滑圆弧轨道BC后从C点飞出，落到水池中的水平浮台DE上才可以进入下一关．某次比赛中，选手从A点由静止开始下滑，恰好落在浮台左端点D.已知滑道AB与圆弧BC在B点相切，C点切线水平，AB长L＝5 m，圆弧半径R＝2 m，∠BOC＝37°，C点距浮台面的竖直高度h＝2.45 m，水平距离L1＝2.8 m，浮台宽L2＝2.1 m，选手质量m＝50 kg，不计空气阻力．g＝10 m/s2，求：
图5
(1)选手运动到C点时的速度大小；
(2)在圆弧C点，选手对轨道压力大小；
(3)若要进入下一关，选手在A点沿滑道下滑的初速度最大是多少？(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
答案 见解析
解析 (1)选手从C点飞出后做平抛运动，所以：
h＝gt2
L1＝vCt
代入数据得：vC＝4 m/s
(2)设在C点选手受到的支持力大小为N，则在C点：
N－mg＝m
代入数据得：N＝900 N
根据牛顿第三定律，在C点，选手对轨道的压力大小为900 N.
(3)由动能定理，选手从A运动到C过程中，满足：
mg(Lsin 37°＋R－Rcos 37°)－Wf＝mvC2
若要进入下一关，选手最远运动到E点，设此时选手运动到达C点时的速度大小为vC′，根据题目条件得：vC′＝7 m/s
设最大初速度为vm，根据动能定理得：
mg(Lsin 37°＋R－Rcos 37°)－Wf＝mvC′2－mv m2
联立表达式，代入数据得：vm＝ m/s
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/c608c707ed3a87c24028915f804d2b160b4e86d9.html
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