高阶等差等比数列的通项及其前N项和求法

高阶等差、等比数列的性质、通项、前n项和求法

章君

（福建师范大学 数学系 福建 福州 350108）

★高阶等差数列

定义：对于一个给定的数列，把它连续的两项与的差-记为.

得到一个新的数列.称数列为原数列的一阶差数列.如果=-（），则数列是的一阶差数列.称为的二阶差数列.以此类推，可以得到数列的阶差数列，其中. 如果某一数列的阶差数列是一个非零常数列，则称此数列为阶等差数列.

性质：

若数列是阶等差数列，则它的一阶差数列是-1阶等差数列.

数列是阶等差数列的充要条件是：数列的通项是关于的次多项式.

若数列是阶等差数列，则其前和是关于的+1次多项式.

★高阶等比数列

定义：对于一个给定的数列，把它连续的两项与的比记为.

得到一个新的数列.称数列为原数列的一阶比数列.如果=（），则数列是的一阶比数列.称为的二阶比数列.以此类推，可以得到数列的阶差数列，其中. 如果某一数列的阶比数列是一个非零常数列，则称此数列为阶等比数列.

一、高阶等差数列的通项及的求法

求高阶等差数列的通项及前项和的时候，通常采用逐差法或待定系数法.

下面先介绍逐差法求通项.

★方法一 逐差法 我们先看一个例题：

【例1】求数列的通项：：1，7，25，61，121，211，…

解：先作各阶差数列：

数列：1，7，25，61，121，211，…

一阶差数列：6，18，36，60，90，…

二阶差数列：12，18，24，30，…

三阶差数列：6，6，6，…

由此可见，数列是3阶等差数列，数列是首项为12、公差为6的等差数列，故： ∵，

∴，

于是得到

…

将以上各式两边分别相加，得：

∴

因为此公式当时的值，故数列的通项公式为：

又∵

∴

由此可得，当时，

…

将以上各式相加，得：

∴

又此式当时的值，故数列的通项公式为：

一般地，设数列的K阶差数列记为，如果数列是P阶等差数列，那么（P-1）阶差数列是等差数列，于是可以求出数列的通项公式，利用，仿照上述例题的作法，可以求出数列的通项公式，依次类推，可求出数列的通项公式.

利用逐差法求高阶差数数列的通项还是比较麻烦，下面介绍待定系数法求通项.

★ 方法二 待定系数法

下面先证明两个定理.

定理1 设P为正整数，前n个自然数的P次幂的和记为，即

.则是关于n的（p+1）次多项式.

证明： <用数学归纳法>

当p=1时，∵，

它是关于n的2次多项式，故结论是正确的.

设结论当是正确的，则是关于n的（k+1）次多项式. ∵

，

于是.

根据假设分别是关于n的（k+1）次、k次、（k-1）次，…1次多项式，而与n无关，因此是关于n的(k+2)次多项式.就是说，当 p=k+1时，是关于n的(k+2)次多项式，即结论当p=k+1时也是正确. 因此，是关于n的(p+1)次多项式.

定理2 数列为p阶等差数列充要条件是：数列通项为n的p次多项式.

证明： 先证必要性. 用数学归纳法.

当p=1时，数列是等差数列，其通项，这是关于n的一次多项式.

设p=k，即当为k阶差数列时，数列就是k阶差数列时，根据假设可令

依次令n=2,3,4，… 得：

将以上各式两边分别相加，化简后得：

根据定理1，右边第一个括号的和是关于n的(k+1)次多项式，第二个括号是关于n的k次多项式，…，因此，是关于n的(k+1)次多项式.

∴当为(k+1)阶等差数列时，是关于n的(k+1)次多项式，即p=k+1时结论也是成立的.

由上述证明可知，当为p阶等差数列时，是关于n的p次多项式.

充分性.设数列的通项是关于n的p次多项式,设

作它的一阶差数列：

如果连续作p次，则得到p阶差数列是常数列，因此数列是p阶等差数列.

定理3 若数列为p阶等差数列，则其前n项和是关于n的（p+1）次多项式.

证明：∵是p阶等差数列，根据定理2，它的通项公式是关于n是p次多项式.设，

则

根据定理1，分别是关于n的（p+1）次、p次、（p-1）次，…多项式，因此，是关于n的（p+1）次多项式.根据定理2和定理3，我们可以求出任意的高阶等差数列的通项公式和前n项和公式.

【例1】 求下面数列的通项公式及前n项和5，17，35，59，89，…

解：先判断是几阶等差数数列. 数列：5，17，35，59，89，…

一阶差数列：12，18，24，30…

二阶差数列：6，6，6，…

因此，数列是二阶等差数列，根据定理2，是关于n的2次多项式；根据定理3，前项n和是关于n的3次多项式.于是设：

　　　 　　　①

　　　　　②

其中都是待定系数.

因为于是由①式得方程组

解之得:因此数列的通项公式为

∴于是由②式得方程组： 解之得:

因此，数列的前n项和

【例2】求数列的和

解： 数列的通项是关于n的2次多项式，因此，数列的前n项和是关于n的3次多项式，于是可设

∵

于是得方程组：

解这个方程组得

因此，数列的和

这个例题，如果是自然数的方幂和公式来计算，则会简单一些：

.

二、高阶等比数列的通项及的求法

下面我们介绍用逐差法求高阶等比数列的通项及前n顶和的问题.

【例1】 求下列数列的通项：

（1）：5，11，23，47，…，

（2）：5，15，49，155，477，….

解：（1）先作各阶差数列： 数列：5，11，23，47，…，

一阶差数列6，12，24，…，

由此可知，数列是一阶等比数列，数列的首项为6，公比为2，于是：

∴

将以上各式两边分别相加，得：

∴

因此，数列的通项公式为：

（2）数列及其各阶差数列为：

数列5，15，49，155，477，…，

一阶差数列：10，34，106，322，…，

二阶差数列：24，72，216，

由此可见，数列是首项为24、公比为3的等比数列，于是数列的通项公式为：

将以上各式两边分别相加，得：

又

将以上各式两边相加，得：

因此，数列的通项公式为：

下面介绍用待定系数法求一阶和二阶等比数列的通项的方法.

定理1 若数列为一阶等比数列，则数列的通项公式为：

其中A、B为非0的常数，q为一阶差数列的公比.

证明： 因为数列是一阶等比数列，故数列

是等比数列.设公比为，

则因为.

由此得

将以上各式两边分别相加，得：

∴.

此公式当，时的值为，因此数列通项公式为：

令则数列的通项公式可以写成

定理证毕.

★当数列为二阶等比数列时，因为一阶差数列是一阶等比数列，由定理可得此数列的通项公式为：

其中q是二阶差数列的公比，是常数.将此公式两边求和，得：

即.

由此可以得到，二阶等比数列的通项公式为：

. 其中都是常数.

一般地说，p阶等比数列的通项形式为：

.

利用上述结论，可以用待定系数法求高阶等比数列的通项公式.

【例2】 求数列：1，31，221，1211，6201，31191，…的通项公式.

解：不难验证，数列是2阶等比数列，且二阶差数列的公比为5，于是可设数列通项为： ∵于是得方程组

解这个方程组，得A=10，B=-10，C=1.

因此，数列的通项公式为

∵ p阶等比数列的通项公式为：

于是数列的前n项和为：.

由此可见，只要求出高阶等比数列的通项公式，它的前n项和也是可以求出来的.

【例3】 求数列的前n项和.

解：先求数列：3，5，9，17，33，…的通项，这个数列的一阶差数列为2，4，8，16，…是一个等比数列，其公比为2，因而可设数列的通项公式为

因为于是方程组 解之A=2，B=1.

因此，数列的通项公式为

∴ 数列的通项公式为：

数列的前n项和为

.

化简后，得数列的前n项和公式：

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