2017-2018学年浙江省杭州市经济开发区八年级（上）期末数学试卷

2017-2018学年浙江省杭州市经济开发区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）点P（﹣2，4）所在的象限是（　　）

A．第三象限 B．第二象限 C．第一象限 D．第四象限

2．（3分）已知a＜b，下列式子正确的是（　　）

A．a+3＞b+3 B．a﹣3＜b﹣3 C．﹣3a＜﹣3b D．

3．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠C=40°，则∠E的度数为（　　）

A．80° B．75° C．40° D．70°

4．（3分）若三角形三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形一定是（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

5．（3分）如图，AB=DB，∠1=∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（　　）

A．BC=BE B．∠A=∠D C．∠ACB=∠DEB D．AC=DE

6．（3分）下列命题：

（1）三边长为5，12，13的三角形是直角三角形；

（2）等边三角形是轴对称图形，它只有一条对称轴；

（3）有两边及第三边上的高线对应相等的两个锐角三角形全等；

（4）把正比例函数y=2x的图象向上平移两个单位所得的直线表达式为y=2x+2．

其中真命题的是（　　）

A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（1）（4）

7．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，则说明∠D′O′C′=∠DOC的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

8．（3分）一次函数y=（m﹣3）x+m+2的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围在数轴上表示为（　　）

A． B．

C． D．

9．（3分）如图所示，D为BC上一点，且AB=AC=BD，则图中∠1与∠2的关系是（　　）

A．∠1=2∠2 B．∠1+∠2=90°

C．∠1+3∠2=180° D．3∠1﹣∠2=180°

10．（3分）已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是（　　）

A．﹣4＜a＜﹣3 B．﹣4≤a＜﹣3 C．a＜﹣3 D．﹣4＜a＜

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）“内错角相等，两直线平行”的逆命题是　 　．

12．（4分）三角形两边长分别是2，4，第三边长为偶数，第三边长为　 　．

13．（4分）等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，则这个三角形的底角为　 　．

14．（4分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为　 　cm2．

15．（4分）一次函数y=kx﹣2k+1的图象必经过一个定点，该定点的坐标是　 　．

16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限角平分线上的一点，且P点的横坐标为3．把一块三角板的直角顶点固定在点P处，将此三角板绕点P旋转，在旋转的过程中设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F，若△POE为等腰三角形，则点F的坐标为　 　．

三、解答题（本大题共7个小题，共66分）

17．（6分）解不等式（组）

（1）2（5x+3）≤x﹣3（1﹣2x）

（2）

18．（8分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．

（1）求证：△BAD≌△CAE；

（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．

19．（8分）如图所示，△ABC在正方形网格中，若点A的坐标为（0，3），按要求回答下列问题：

（1）在图中建立正确的平面直角坐标系，写出点B和点C的坐标；

（2）求△ABC的面积．

20．（10分）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回．如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：

（1）直接写出y甲，y乙与x之间的函数关系式（不写过程）；

（2）①求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；

②根据图象判断，x取何值时，y乙＞y甲．

21．（10分）如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，

（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；

（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD=BD，EF=3，DE=4，求CD的长．

22．（12分）某校八年级举行英语演讲比赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本，并且所购买A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量，设买A笔记本n本，买两种笔记本的总费为w元．

（1）写出w（元）关于n（本）的函数关系式，并求出自变量n的取值范围；

（2）购买这两种笔记本各多少时，费用最少？最少的费用是多少元？

（3）商店为了促销，决定仅对A种类型的笔记本每本让利a元销售，B种类型笔记本售价不变．问购买这两种笔记本各多少本时花费最少？

23．（12分）李老师给爱好学习的小兵和小鹏提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．

小兵的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．

小鹏的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，先证△GPC≌△ECP，可得：PE=CG，而PD=GF，则PD+PE=CF．

请运用上述中所证明的结论和证明思路完成下列两题：

（1）如图3，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=16，CF=6，求PG+PH的值；

（2）如图4，P是边长为6的等边三角形ABC内任一点，且PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，求PD+PE+PF的值．

2017-2018学年浙江省杭州市经济开发区八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）点P（﹣2，4）所在的象限是（　　）

A．第三象限 B．第二象限 C．第一象限 D．第四象限

【分析】点P（﹣2，4）横坐标为负，纵坐标为正，根据象限内点的符号，确定象限．

【解答】解：∵﹣2＜0，4＞0，

∴点P（﹣2，4）在第二象限，

故选：B．

【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

2．（3分）已知a＜b，下列式子正确的是（　　）

A．a+3＞b+3 B．a﹣3＜b﹣3 C．﹣3a＜﹣3b D．

【分析】由于a＜b，根据不等式的性质可以分别判定A、B、C、D 是否正确．

【解答】解：A、∵a＜b，∴a+3＜b+3，故本选项错误；

B、∵a＜b，∴a﹣3＜b﹣3，故本选项正确；

C、∵a＜b，﹣3a＞﹣3b，故本选项错误；

D、∵a＜b，∴，故本选项错误．

故选：B．

【点评】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

3．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠C=40°，则∠E的度数为（　　）

A．80° B．75° C．40° D．70°

【分析】根据全等三角形的性质：对应角相等解答即可．

【解答】解：∵△ABC≌△ADE，

∴∠E=∠C=40°，

故选：C．

【点评】本题考查了三角形全等的性质；解答时，除必备的知识外，还应将条件和所求联系起来，即将所求的角与已知角通过全等及内角之间的关系联系起来．

4．（3分）若三角形三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形一定是（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

【分析】设三个内角度数为2x、3x、4x，根据三角形内角和定理列出方程，解方程即可．

【解答】解：设三个内角度数为2x、3x、4x，

由三角形内角和定理得，2x+3x+4x=180°，

解得，x=20°，

则三个内角度数为40°、60°、80°，

则这个三角形一定是锐角三角形，

故选：A．

【点评】本题主要考查的是三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．

5．（3分）如图，AB=DB，∠1=∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（　　）

A．BC=BE B．∠A=∠D C．∠ACB=∠DEB D．AC=DE

【分析】本题要判定△ABC≌△DBE，已知AB=DB，∠1=∠2，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．

【解答】解：A、添加BC=BE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故正确；

B、添加∠A=∠D，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确；

C、添加∠ACB=∠DEB，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确；

D、添加AC=DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故错误．

故选：D．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

6．（3分）下列命题：

（1）三边长为5，12，13的三角形是直角三角形；

（2）等边三角形是轴对称图形，它只有一条对称轴；

（3）有两边及第三边上的高线对应相等的两个锐角三角形全等；

（4）把正比例函数y=2x的图象向上平移两个单位所得的直线表达式为y=2x+2．

其中真命题的是（　　）

A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（1）（4）

【分析】根据全等三角形的判定、轴对称的性质、直角三角形的判定及正比例函数的平移分别判断各项说法，即可得解．

【解答】解：（1）三边长为5，12，13的三角形是直角三角形，是真命题；

（2）等边三角形是轴对称图形，它只有三条对称轴，是假命题；

（3）有两边及第三边上的高线对应相等的两个锐角三角形全等，是真命题；

（4）把正比例函数y=2x的图象向上平移两个单位所得的直线表达式为y=2x+2，是真命题；

故选：B．

【点评】本题主要考查全等三角形的判定，涉及到轴对称的性质、直角三角形的判定及正比例函数的平移等知识点，要求学生们灵活掌握并运用全等三角形的判定定理．

7．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，则说明∠D′O′C′=∠DOC的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

【分析】如图，证明△D′O′C′≌△DOC，得到∠D′O′C′=∠DOC，即可解决问题．

【解答】解：如图，在△D′O′C′与△DOC中，

，

∴△D′O′C′≌△DOC（SSS），

∴∠D′O′C′=∠DOC，

故选：A．

【点评】该题主要考查了SSS公理及其应用问题；应牢固掌握判断两个三角形全等的方法，这是灵活运用解题的基础和关键．

8．（3分）一次函数y=（m﹣3）x+m+2的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围在数轴上表示为（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据一次函数的性质构建不等式组即可解决问题．

【解答】解：由题意：由题意：，

解得﹣2＜x＜3

故选：C．

【点评】本题考查一次函数的图象与系数的关系，不等式组的解集等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

9．（3分）如图所示，D为BC上一点，且AB=AC=BD，则图中∠1与∠2的关系是（　　）

A．∠1=2∠2 B．∠1+∠2=90°

C．∠1+3∠2=180° D．3∠1﹣∠2=180°

【分析】由已知AB=AC=BD，结合图形，根据等腰三角形的性质、内角与外角的关系及三角形内角和定理解答．

【解答】解：∵AB=AC=BD，

∴∠1=∠BAD，∠C=∠B，

∠1是△ADC的外角，

∴∠1=∠2+∠C，

∵∠B=180°﹣2∠1，

∴∠1=∠2+180°﹣2∠1

即3∠1﹣∠2=180°．

故选：D．

【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，此题关键是根据外角性质得∠2=∠1+∠C=∠1+∠B．

10．（3分）已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是（　　）

A．﹣4＜a＜﹣3 B．﹣4≤a＜﹣3 C．a＜﹣3 D．﹣4＜a＜

【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组的解集和已知不等式组的整数解有5个即可得出a的取值范围是﹣4≤a＜﹣3．

【解答】解：解不等式x﹣a＞0，得：x＞a，

解不等式3﹣2x＞0，得：x＜1.5，

∵不等式组的整数解有5个，

∴﹣4≤a＜﹣3．

故选：B．

【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，关键是能根据不等式组的解集和已知得出a的取值范围．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）“内错角相等，两直线平行”的逆命题是　两直线平行，内错角相等　．

【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．

【解答】解：“内错角相等，两直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行．

将条件和结论互换得逆命题为：两条直线平行，内错角相等．

故答案为：两直线平行，内错角相等．

【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

12．（4分）三角形两边长分别是2，4，第三边长为偶数，第三边长为　4　．

【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长．

【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，4﹣2＜a＜4+2．

即2＜a＜6，

由周长为偶数，

则a为4．

故答案为：4．

【点评】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

13．（4分）等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，则这个三角形的底角为　65°或25°　．

【分析】分两种情况讨论，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数．

【解答】解：有两种情况；

（1）如图，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，

则∠ADB=90°，

已知∠ABD=40°，

∴∠A=90°﹣40°=50°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=×（180°﹣50°）=65°；

（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，

则∠FHE=90°，

已知∠HFE=40°，

∴∠HEF=90°﹣40°=50°，

∴∠FEG=180°﹣50°=130°，

∵EF=EG，

∴∠EFG=∠G=×（180°﹣130°）=25°，

故答案为65°或25°；

【点评】本题考查了等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是能否利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质．解题时注意分类讨论思想的运用．

14．（4分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为　49　cm2．

【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．

【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，

故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．

故答案为：49cm2．

【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换．

15．（4分）一次函数y=kx﹣2k+1的图象必经过一个定点，该定点的坐标是　（2，1）　．

【分析】把一次函数解析式转化为y=k（x﹣2）+1，可知点（2，1）在直线上，且与系数无关．

【解答】解：根据题意可把直线解析式化为：y=k（x﹣2）+1，

故函数一定过点（2，1）．

故答案为：（2，1）．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是把一次函数进行整理变形．

16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限角平分线上的一点，且P点的横坐标为3．把一块三角板的直角顶点固定在点P处，将此三角板绕点P旋转，在旋转的过程中设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F，若△POE为等腰三角形，则点F的坐标为　（0，0）或（0，3）或（0，6﹣3）或（0，6+3）　．

【分析】根据题意，结合图形，分情况讨论：①PE=OE；②OP=PE；③OP=OE，依据OF的长即可得到点F的坐标．

【解答】解：△POE是等腰三角形的条件是：OP、PE、EO其中有两段相等，分情况讨论：

①当PE=OE时，PE⊥OC，则PF⊥y轴，则OF=PE=3，故F的坐标是（0，3）；

②当OP=PE时，∠OPE=90°=∠FPE，则F与O重合，即点F坐标为（0，0）；

③当OP=OE，点E在x轴正半轴上时，过P作PA⊥x轴，PB⊥y轴，易得△PAE≌△PBF，

∴BF=AE=OE﹣AO=3﹣3，

此时，OF=3﹣（3﹣3）=6﹣3，

当点E在x轴负半轴上时，同理可得，BF=AE=OE+AO=3+3，

此时，OF=3+（3﹣3）=6+3，

∴点F的坐标是：（0，6﹣3）或（0，6+3）．

故答案为：（0，0）或（0，3）或（0，6﹣3）或（0，6+3）．

【点评】本题考查坐标与图形变化、等腰三角形的判定等知识的综合运用，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论．

三、解答题（本大题共7个小题，共66分）

17．（6分）解不等式（组）

（1）2（5x+3）≤x﹣3（1﹣2x）

（2）

【分析】（1）不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集；

（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．

【解答】解：（1）去括号得：10x+6≤x﹣3+6x，

移项得：10x﹣x﹣6x≤﹣3﹣6，

合并得：3x≤﹣9，

系数化为1得：x≤﹣3．

（2），

由①得：x≤1，

由②得：x＞﹣2，

∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1．

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（8分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．

（1）求证：△BAD≌△CAE；

（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．

【分析】（1）要证△BAD≌△CAE，现有AB=AC，AD=AE，需它们的夹角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°很易证得．

（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE=90°，需证∠ADB+∠ADE=90°可由直角三角形提供．

【解答】证明：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS）．

（2）BD=CE，BD⊥CE，理由如下：

由（1）知，△BAD≌△CAE，

∴BD=CE；

∵△BAD≌△CAE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠ABD+∠DBC=45°，

∴∠ACE+∠DBC=45°，

∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，

则BD⊥CE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．

19．（8分）如图所示，△ABC在正方形网格中，若点A的坐标为（0，3），按要求回答下列问题：

（1）在图中建立正确的平面直角坐标系，写出点B和点C的坐标；

（2）求△ABC的面积．

【分析】（1）根据题意可以建立平面直角坐标系，从而可以写出点B和点C的坐标；

（2）根据图形可以求得△ABC的面积．

【解答】解：（1）如右图所示，

点B的坐标是（﹣3，﹣1），点C的坐标为（1，1）；

（2）由图可得，

△ABC的面积是：4×4﹣=5．

【点评】本题考查三角形的面积、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

20．（10分）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回．如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：

（1）直接写出y甲，y乙与x之间的函数关系式（不写过程）；

（2）①求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；

②根据图象判断，x取何值时，y乙＞y甲．

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）①构建方程组确定交点坐标即可；

②利用图象法即可解决问题；

【解答】解：（1）设甲离B地的距离y（km）与行驶时间x（h）的函数关系式为y=kx+b，

把（0，20），（2，0）代入得：，

解得：，

∴y甲=﹣10x+20．

同法可得当0＜x≤1时，y乙=20x，当1＜x≤2时，y乙=﹣20x+40，

（2）①由，解得

∴M（，）．

表示小时时两车相遇，此时距离B地千米．

②观察图象可知：＜x＜2时，y乙＞y甲．

【点评】本题考查了一次函数的应用，相遇问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答时认真分析函数图象，弄清函数图象的意义是关键．

21．（10分）如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，

（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；

（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD=BD，EF=3，DE=4，求CD的长．

【分析】（1）根据直角三角形的性质得到CE=AB，DE=AB，得到CE=DE，证明结论；

（2）过点E作EH⊥CD，根据三角形的面积公式求出EH，根据勾股定理求出DH，根据等腰三角形的性质计算即可．

【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，

∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，又∵E为AB的中点，

∴CE=AB，DE=AB

∴CE=DE，即△ECD是等腰三角形；

（2）∵AD=BD，E为AB的中点，

∴DE⊥AB，

已知DE=4，EF=3，

∴DF=5，

过点E作EH⊥CD，

∵∠FED=90°，EH⊥DF，

∴EH==，

∴DH==，

∵△ECD是等腰三角形，

∴CD=2DH=．

【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．

22．（12分）某校八年级举行英语演讲比赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本，并且所购买A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量，设买A笔记本n本，买两种笔记本的总费为w元．

（1）写出w（元）关于n（本）的函数关系式，并求出自变量n的取值范围；

（2）购买这两种笔记本各多少时，费用最少？最少的费用是多少元？

（3）商店为了促销，决定仅对A种类型的笔记本每本让利a元销售，B种类型笔记本售价不变．问购买这两种笔记本各多少本时花费最少？

【分析】（1））①总费用=12×A种笔记本的本数+8×B种笔记本的本数；=列出不等式组可得自变量的取值范围；

（2）两条一次函数的性质即可解决问题；

（3）分三种情形分别讨论即可解决问题；

【解答】解：（1）由题意可知：w=12n+8（30﹣n），

∴w=4n+240，

又∵A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量的．

∴，解得5≤n≤，

（2）w=4n+240，

∵k=4＞0，

∴w随n的增大而增大，

∴当n=5时，w取到最小值为260元．

（3）w=（12﹣a）n+8（30﹣n），

∴w=（4﹣a）n+240，

当4﹣a＞0，即a＜4时，n=5，即买A笔记本5本，B笔记本25本，花费最少，

当4﹣a=0，即a=4时，5≤n≤13，即买A笔记本5﹣13本，B笔记本25﹣17本，花费为240元，

当4﹣a＜0，即a＞4时，n=13，即买A笔记本13本，B笔记本17本，花费最少．

【点评】本题考查一次函数的应用，不等式组等知识，解题的关键是学会构建一次函数解决实际问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

23．（12分）李老师给爱好学习的小兵和小鹏提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．

小兵的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．

小鹏的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，先证△GPC≌△ECP，可得：PE=CG，而PD=GF，则PD+PE=CF．

请运用上述中所证明的结论和证明思路完成下列两题：

（1）如图3，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=16，CF=6，求PG+PH的值；

（2）如图4，P是边长为6的等边三角形ABC内任一点，且PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，求PD+PE+PF的值．

【分析】（1）先由折叠判断出BE=BF，进而利用等面积法得出PG+PH=EQ，再求出BF，最后利用折叠的性质，即可得出结论；

（2）先求出等边三角形的高AM，再判断出PD+PE+PF=AM即可得出结论．

【解答】解：（1）如图3，过点E作EQ⊥BC于Q，连接BP，

∵四边形ABCD是长方形，

∴AD∥BC，

∴∠DEF=∠BFE，

由折叠可得，∠DEF=∠BEF，

∴∠BFE=∠BEF，

∴BE=BF，

∵PG⊥BE、PH⊥BC，

∴S△BEF=S△BEP+S△BFP=BE•PG+BF•PH=BF（PG+PH），

∵S△BEF=BF•EQ，

∴PG+PH=EQ，

∵四边形ABCD是长方形，

∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．

∵AD=16，CF=6，

∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=10．

由折叠易知，△DCF≌△BC'F≌△BAE，

∴C'F=CF=6，

∴C'B=AB=EQ=8；

（2）过A作AM⊥BC，连接PA，PB，PC，如图4所示：

∵△ABC为等边三角形的边长为6，AM⊥BC，

∴M为BC的中点，即BM=CM=3，

在Rt△ABM中，AB=6，BM=3，

根据勾股定理得：AM=3

又∵S△ABC=S△ABP+S△BPC+S△ACP

=PE•BC+PF•AC+PD•AB=AB（PE+PF+PD）=BC•AM，

∴（PE+PF+PD）=AM=3．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积的计算，折叠的性质，解本题的关键是利用等面积法判断出PG+PH=EQ．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/00ede1f585868762caaedd3383c4bb4cf6ecb743.html