2019-2020年高三数学 3.4复合函数的导数（第二课时）大纲人教版选修

2019-2020年高三数学 3.4复合函数的导数(第二课时)大纲人教版选修

课　　题

3.4.2　复合函数的导数（二）

教学目标

一,教学知识点

复合函数的求导法则.

二,能力训练要求

能够利用复合函数的求导法则，求解一些复杂的函数的导数.

三,德育渗透目标

1.培养学生灵活运用知识的能力.

2.培养学生综合运用知识的能力.

教学重点

利用复合函数的求导法则求函数的导数.

教学难点

如何设中间变量，弄清复合函数是由哪些基本函数复合而成，把哪一部分看成一个整体.求导的次序是由外向内.通过练习，能够熟练地掌握复合函数的求导法则.

教学方法

讲练结合，以练为主.

教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］复合函数的求导法则是什么？

［生］复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数.

［师］用公式如何表示？要注意什么？

［生］y′x=y′u·ux′.利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.

［师］这节课我们还是来看一下利用复合函数的求导法则如何求一些复合函数的导数.

Ⅱ.讲授新课

（一）课本例题

［例2］求y=的导数.

［师生共析］这道题如何设中间变量呢？可以设u=（1-3x）4,这时u仍是复合函数，再设v=1-3x.或者可以把y看成y=（1-3x）-4，这时只要设u=1-3x就可以了.

解法一：令y=,u=（1-3x）4.

再令u=v4，v=1-3x.

∴y′x=y′u·u′x=y′u·u′v·v′x=（）′u·（v4）′v·（1-3x）′x

=·4v3·（-3）

=-·4·（1-3x）3（-3）

=.

解法二：令y=u-4,u=1-3x.

y′x=y′u·u′x=（u-4）′u（1-3x）′x

=-4u-5·（-3）=12（1-3x）-5.

［师］ 上述两种方法都求得正确结论，但是选取的中间变量不同，求导过程就有难易之分.所以求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量.如果你们已经熟练掌握了复合函数的求导法则，那么中间步骤可以省略不写.

［板书］解:y′x=［（1-3x）-4］′= -4（1-3x）-5（-3）=12（1-3x）-5.

［例3］求y=的导数.

解：y=（）,

y′=（）·（）′ =（）·

=·

=x（1-x）.

（二）精选例题

［例1］求y=（ax-bsin2ωx）3对x的导数.

［学生板演］解：y′=3（ax-bsin2ωx）2·（ax-bsin2ωx）′

=3（ax-bsin2ωx）2［a-（bsin2ωx）′］

=3（ax-bsin2ωx）2［a-2bsinωx·（sinωx）′］

=3（ax-bsin2ωx）2［a-2bsinωx·cosωx·ω］

=3（ax-bsin2ωx）2（a-bω·sin2ωx）.

［例2］求y=sinnxcosnx的导数.

［学生板演］解：y′=（sinnx）′cosnx+sinnx（cosnx）′

=nsinn-1x·cosnx+sinnx·（-sinnx）

=nsinn-1xcosnx-sinnxsinnx.

［学生点评］做得不正确.在第二步时还要对sinx求导，以及对nx也求导.

［学生改正］解：y′=（sinnx）′cosnx+sinnx（cosnx）′

=nsinn-1x·（sinx）′cosnx+sinnx·（-sinnx）（nx）′

=nsinn-1xcosxcosnx-nsinnxsinnx

=nsinn-1x（cosxcosnx-sinxsinnx）

=nsinn-1xcos（n+1）x.

［师］不要忘了对中间变量还要进行求导.

［例3］求函数y=-x2（3x-2）（3-2x）的导数.

［学生分析］这是求三个函数乘积的导数，只要根据公式

（uvω）′=u′vω+uv′ω+uvω′就可以求了.

［学生板演］解：y′=（-x2）′（3x-2）（3-2x）+（-x2）（3x-2）′（3-2x）+（-x2）·（3x-2）（3-2x）′

=-2x（3x-2）（3-2x）-x2·3（3-2x）-x2（3x-2）（-2）

=24x3-39x2+12x.

［例4］某质点的运动方程是s=t3-（2t-1）2,求在t=1 s时的瞬时速度.

解:∵s′=3t2-2（2t-1）=3t2-4t+2,

∴t=1时,s′=3-2=1,即在t=1 s时的瞬间速度为1.

［例5］

已知函数f（x）=（+x）n（n∈N*）.

（1）求f′（x）；

（2）判断f（n）-f（n-）与的大小，并且证明.

分析：（1）利用定义或复合函数的求导的方法求解.

（2）利用二项式定理展开，分别求展开式中各项的极限.

（1）解法一：∵f（x）=（+x）n，

∴令u=+x,f=un.

∴f′（x）=f′u·u′x=（un）′·（+x）′=nun-1·1=nun-1=n（+x）n-1.

解法二：也可以先用二项式定理展开，再求导数.

∵f（x）=（+x）n，

∴f（x）=C0n·（）n+C1n·（）n-1x+C2n·（）n-2·x2+…+Cnn·xn.

∴f′（x）=0+C1n·（）n-1+2C2n·（）n-2·x+…+nCnn·xn-1.

又kCkn=n·C,k=0,1,2,…,n,

∴f′（x）=nC（）n-1+nC（）n-2x+…+nCxn-1

=n［C（）n-1+C（）n-2x+…+Cxn-1］

=n（+x）n-1.

（2）证f（n）-f（n-）≤,

∵f（n）-f（n-）=（+n）n-nn,

=（+n）n-1,

故只需证（+n）n-nn≤（+n）n-1,

即证C0n（）n+C1n（）n-1·n+…+C（）·nn-1≤C·（）n-1+C（）n-2·n+…+C·nn-1.（*）

∵0≤k≤n-1,

∴≤1.

∵，

∴Ckn（）n-k·nk≤C（）n-k-1·nk.

∴（*）式成立，即

f（n）-f（n-）≤,

当且仅当n=1时取“=”.

Ⅲ.课堂练习

1.求下列函数的导数.

（1）y=;

（2）y=;

（3）y=sin（3x-）;

（4）y=cos（1+x2）.

（1）解：y==（2x2-1）-3,

y′=［（2x2-1）-3］′

=-3（2x2-1）-4（2x2-1）′

=-3（2x2-1）-4（4x）

=-12x（2x2-1）-4.

（2）解：y==（）=（3x+1）,

y′=［（3x+1）］′

=-（3x+1）（3x+1）′

=-（3x+1）·3=-（3x+1）.

［师］有的函数要先进行变形，化成幂函数的形式，这样求导起来会比较方便.

（3）解：y′=［sin（3x-）］′

=cos（3x-）（3x-）′

=cos（3x-）·3=3cos（3x-）.

（4）解：y′=［cos（1+x2）］′

=-sin（1+x2）（1+x2）′

=-sin（1+x2）·2x=-2xsin（1+x2）.

2.下列函数中，导数不等于sin2x的是（D）

A.2-cos2x

B.2+sin2x

C.sin2x

D.x-cos2x

解析：A：（2-cos2x）′=0-（-sin2x）（2x）′

=sin2x·2=sin2x.

B:（2+sin2x）′=0+·2sinx·（sinx）′=·2·sinx·cosx=sin2x.

C:（sin2x）′=·2sinx（sinx）′

=·2sinxcosx=sin2x.

D:（x-cos2x）′=1-·2cosx（cosx）′=1-·2cosx（-sinx）=1+sin2x.

3.设函数f（x）=（x-a）3,曲线y=f（x）在点P（x1,f（x1））与点Q（x2,f（x2））处的切线互相平行,且两切线斜率的取值范围是［3,6］,则弦PQ在x轴上的射影长的取值范围为（D）

A.［1,2］

B.［2,3］

C.［1,］

D.［2,2］

解析：∵f′（x）=3（x-a）2,

f（x）在P（x1,f（x1））,Q（x2,f（x2））处的切线平行,

∴f′（x1）=f′（x2）.

∴3（x1-a）2=3（x2-a）2.

∴x12-2ax1+a2=x22-2ax2+a2.

∴（x1+x2）（x1-x2）-2a（x1-x2）=0.

∴（x1-x2）（x1+x2-2a）=0.

又∵x1≠x2,∴x1+x2=2a.

设P,Q在x轴上的射影为P1,Q1,

∴P1,Q1关于点（a,0）对称.

∴|P1Q1|=|x1-x2|

=|x1-a+a-x2|=|x1-a|+|a-x2|

=|x1-a|+|x2-a|.

又∵f′（x1）=f′（x2）∈［3,6］,

∴1≤（x1-a）2≤2,1≤（x2-a）2≤2.

∴1≤|x1-a|≤,1≤|x2-a|≤.

∴|P1Q1|=|x1-a|+|x2-a|∈［2,2］.故选D.

4.求y=的导数.

解：y′=（）′

=

=

=

=

=

=（1-x2）.

Ⅳ.课时小结

这节课主要复习巩固了如何运用复合函数的求导法则进行求导.求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量.一些根式函数或分母上是幂函数分子为常数的分式函数，通常经过变形，转化成幂函数，这样求导起来会比较方便.利用幂函数的求导公式.

Ⅴ.课后作业

一,课本P123习题3.4　1（3）（4）,2（3）（4）,3（1）.

二,1.预习内容：课本P123～124对数函数的导数.

2.预习提纲：

（1）（lnx）′=考虑证明过程，可用结论（1+x）=e.

（2）（logax）′=logae.

板书设计

3.4.2　复合函数的导数（二）

课本例题

例2.求y=的导数.（两种方法）

例3.求y=的导数.

精选例题

例1.求y=（ax-bsin2ωx）3对x的导数.

例2.求y=sinnxcosnx的导数.

例3.求y=-x2（3x-2）（3-2x）的导数.

例4.

例5.

课堂练习

1.求下列函数的导数.

（1）y=；

（2）y=；

（3）y=sin（3x-）；

（4）y=cos（1+x2）.

2.下列函数中，导数不等于sin2x的是 （　　）

A.2-cos2x　　　

B.2+sin2x

C.sin2x

D.x-cos2x

3.

4.求y=的导数.

课时小结

课后作业

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/ff5e2e1a77a20029bd64783e0912a21615797ff6.html