相似三角形判定定理总结--很强大

学习目标

1、知道相似三角形的定义及有关概念，知道相似比为1的相似三角形是全等三角形；会读、会用 “∽”符号；能准确写出相似三角形的对应角与对应边的比例式；

2、掌握相似三角形判定的预备定理及相似三角形的判定定理1、2；

3、综合运用所学两个定理，来判定三角形相似，计算相似三角形的边长。

学习重点

相似三角形判定的预备定理及相似三角形的判定定理1、2及其应用。

学习难点

判定定理1、2的证题方法与思路（同一法）。

1、相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。

2、相似三角形的等价关系：

（1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；

（2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC

（3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。

3、三角形相似的判定

（1）三角形相似的判定方法

①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似

②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似

2、本次课的内容：

例1：依据下列条件，判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。

1）∠A＝∠D＝70°,∠B＝60°,∠E＝50°；

2）∠A＝40°，∠B＝80°,∠E＝80°,∠F＝60°；

例2、下列四组图形，必是相似形的是 （　 　）

Ａ、有一个角为40°的两个等腰三角形；

Ｂ、有一个角为50°的两个等腰梯形；

Ｃ、邻边之比都为2：3的两个平行四边形；

Ｄ、有一个角为100°的两个等腰三角形。

例3、已知，如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED＝∠B

word/media/image1.gif求证：250afa1d54090f19aa716418e0c2e723.png

例4、四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA＝1，OB＝ 1.5,OC＝3,OD＝2

word/media/image3.gif求证：△OAD∽△OBC

word/media/image4.gif5、已知，如图，D是△ABC的边AB上的点，且c01a7e73641f31cc963137975a8ffe34.png

求证：△ACD∽△ABC

【课堂练习】

word/media/image6.gif一、选择题：

1、如图， D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠BED＝∠A，则下列各式中一定成立的是 （ ）

A、6a03d504e882c66cac2448a374e62bbf.png B、ca87a1137257fde40421b60a4c5f9d2c.png

C、ffa9bc65abcece80c69f7372f7448f49.png D、b43359bd20d1c574249683b6c9dd3c4e.png

2、下列两个三角形不一定相似的是 （ ）

A、有一个角为60°的两个等腰三角形 B、有一个角为80°的两个等腰三角形

C、有一个角为90°的两个等腰三角形 D、有一个角为100°的两个等腰三角形

3、已知：在△ABC中，三边长分别为d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，216554093aa007ab9947ed316b9c44a1.png，2，△A’B’C’ 的两边长分别为1，aa4e3cfb024c7ff30a8846913966dfb1.png，若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’的第三边长为 （ ）

A．a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.png　　　　B．２　　　　C．d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png　　　　D．44dd454ebaaa58a80fe43f4a19faf2df.png

4、如图一，AB∥CD，AE∥FD， AE、FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形 （ ）

A、4对 B、5对 C、6对 D、7对

5、下列说法正确的是 （ ）

A、两边成比例且有一个角相等的两个三角形相似

B、对应角相等的两个三角形相似

C、有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似

word/media/image17.gifD、一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似

6、如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列条件中：

①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，

能满足△APC∽△ACB的条件是 （ ）

A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②③

8、下列条件能判定△ABC∽△A/B/C/的有 （ ）

1）∠A=450，AB=12，AC=15，∠A/=450，A/B/=16，A/C/=20

2）∠A=470，AB=1.5，AC=2，∠B/=470，A/B/=2.8，B/C/=2.1

3）∠A=470，AB=2，AC=3，∠B/=470，A/B/=4，B/C/=6

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

8、在△ABC和△A/B/C/，AB:AC=A/B/:A/C/,∠B=∠B′,则这两个三角形 （ ）

A、相似但不全等 B、全等或相似 C、不一定相似 D、一定不全等

二、填空题：

1、已知△ABC∽△DEF，对应边AB与DE的比为5：3，则△ABC与△DEF的相似比为 。

2、已知△ABC≌△A’B’C’，则△ABC与△A’B’C’的相似比为 。

3、如图二，AB∥CD，AD与BC相交于P，AB=4，CD=7，AD=10，则PＤ长为

4、如图三，BC∥DE∥FG，图中有 对相似三角形。

word/media/image18.gif5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于点D，则图中相似的三角形有 对。

6、如图一,在△ABC中,D在AB上,要说明△ACD∽△ABC相似,已经具备了条件 ，

还需添加的条件是 或 或 。

7、如图二，点D、E分别在边AB、AC上，AD=2，BD=4，AE=3，若△ABC∽△ADE,则CE的值是____。

word/media/image19.gif8、如图三，△ABC中，点D、E在AC、AB边上，若△ABD∽△ACE，AD=5，AB=10，AE=7，则 AC= ．

9、如图四，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝2cm。

1）在AB上取一点D，当AD＝______时，△ACD∽△ABC

2）在AC的延长线上取一点E，当CE＝__时，△AEB∽△ABC；

三、解答题：

1、如图， E是平行四边形ABCD的边BA的延长线上的一点，CE交AD于点F。图中有哪几对相似三角形？

word/media/image20.gif

2、如图五，已知：E是平行四边形ABCD的AD边上一点， 若5e98dbf1971e1ea6f9912d326294f095.png，CE交BD于点F，BF=20㎝，求DF的长。

word/media/image23.gif3、已知，等腰△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，且∠ADE＝∠C，求证：△ABD∽△DCE

word/media/image24.gif4、如图,四边形ABCD是正方形，E是CD的中点,P是BC上的一点,且00e0a0f52c09b98f285b609ae6eda2ef.png

求证：△ABP∽△PCE

5、如图，方格纸上各方格的边长为1个单位，点A、B、C、D在小正方形顶点的位置上，试判断△ADB与△ACD是否相似，并说明理由。

word/media/image26.gif

6、如图，△ABC中，AB＝12， AC＝15，D为AC上一点，CD＝6ca8c824c79dbb80005f071431350618.pngAC，在AB边上找一点E，使得△ADE与若△ABC相似，求AE的长

word/media/image28.gif

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/fce867e17f21af45b307e87101f69e314232fa69.html