高中数学 专题1.7.2 定积分在物理中的应用教案 新人教A版选修22

定积分在物理中的应用

【教学目标】

1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．

2．通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．

【教法指导】

本节学习重点：能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．

本节学习难点：学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．

【教学过程】

☆探索新知☆

探究点一　变速直线运动的路程

思考　变速直线运动的路程和位移相同吗？

例1　一辆汽车的速度－时间曲线如图所示．求汽车在这1 min行驶的路程．

解　由速度－时间曲线可知：

v(t)＝4f5d38d39024ca8d8f26eb022f0c3051.png

因此汽车在这1 min行驶的路程是：

s＝ʃ957b1277e55544ad98a9f7686681d997.png3tdt＋ʃfd0a6dcd6b387ab5da7c06a3ff6a0d0f.png30dt＋ʃ325ad4d5045b146ab9ab42bdf807bd99.png(－1.5t＋90)dt

＝003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.pngt2|d996dedd06729a3c2615b79a3ff5b8d8.png＋30t|fd0a6dcd6b387ab5da7c06a3ff6a0d0f.png＋(－265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.pngt2＋90t)|be3efd46db1462e4ccdf9c4bd46b75e3.png

＝1 350 (m)．

答　汽车在这1 min行驶的路程是1 350 m.

反思与感悟　(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．

(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．

跟踪训练1　一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v(t)＝t2－4t＋3(m/s)运动．求：

(1)在时刻t＝4时，该点的位置；

(2)在时刻t＝4时，该点运动的路程．

解　(1)由ʃe7ae70874cd1718935fed718d484334b.png(t2－4t＋3)dt＝(a210ebbce18c39757cd85e5985d271ea.png－2t2＋3t)|62def2c3a2d0d47c9c3e779d705fd7af.png＝b6ad479a47924ebb75f5c54d546eb338.png知，

在时刻t＝4时，该质点离出发点b6ad479a47924ebb75f5c54d546eb338.pngm.

(2)由v(t)＝t2－4t＋3>0，

得t∈(0,1)∪(3,4)．

这说明t∈(1,3)时质点运动方向与t∈(0,1)∪(3,4)时运动方向相反．

故s＝ʃe7ae70874cd1718935fed718d484334b.png|t2－4t＋3|dt

＝ʃed2f2fb3a9f9d80b809dd2d85907589d.png(t2－4t＋3)dt＋ʃb7caaa7face1063d7d9c148e1f654a14.png(4t－t2－3)dt＋ʃf6e371a2cb2ac958fa4b26424f474cb3.png(t2－4t＋3)dt＝4.

即在时刻t＝4时，该质点运动的路程为4 m.

探究点二　变力做功问题

思考　恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为W＝Fs，那么变力做功问题怎样解决呢？

例2　如图所示，一物体沿斜面在拉力F的作用下由A经B、C运动到D，其中AB＝50 m，BC＝40 m，CD＝30 m，变力F＝86d40fe11bea66f8b214dcefb18c2e0b.png(单位：N)，在AB段运动时F与运动方向成30°角，在BC段运动时F与运动方向成45°角，在CD段运动时F与运动方向相同，求物体由A运动到D所做的功．(9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png≈1.732，1553867a52c684e18d473467563ea33b.png≈1.414，精确到1 J)

解　在AB段运动时F在运动方向上的分力F1＝Fcos 30°，在BC段运动时F在运动方向上的分力F2＝Fcos 45°.

由变力做功公式得：

W＝ʃfeae837aa5ced891d69154ab935750ff.pngb7122e0412825a3c3b9ba6eef82efea8.pngcos 30°dx＋ʃa5a661bc41fd82215f6d6b9de5857618.pngb7122e0412825a3c3b9ba6eef82efea8.pngcos 45°dx＋600

＝650b368ae8765c782fa1f259021c09f8.png4566a0f58503e9c9c1779c1b94e44f36.png|feae837aa5ced891d69154ab935750ff.png＋2ffde07a9c450d176d37da84369181f9.png4566a0f58503e9c9c1779c1b94e44f36.png|a5a661bc41fd82215f6d6b9de5857618.png＋600

＝55280ee38063e4e841899238d3b90f71.png9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png＋4501553867a52c684e18d473467563ea33b.png＋600≈1 723 (J).

所以物体由A运动到D变力F所做的功为1 723 J.

反思与感悟　解决变力做功注意以下两个方面：

(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步．

(2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．

跟踪训练2　设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．

答　使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功为22.5 J.

☆课堂提高☆

1．一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：s，v单位：m/s)的速度运动，则该物体在

3～6 s间的运动路程为(　　)．

A．46 m B．46.5 m C．87 m D．47 m

【答案】　B

【解析】　s＝word/media/image7_1.png(3t＋2)dt＝65a7c8e835bc0caf879ef10360cf13f3.pngae75e01ae30acec259539c55a2149896.png＝(54＋12)－b4de1b14fe4b9ae8ebaf21a1ebb73b58.png＝46.5(m)．

2.从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为(　　)

A.33773559c5e642b3ea04e179079c8dfc.pngg B.94f7b8d3c31ae0e329bed2998dfaf493.pngg

C.003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.pngg D．2g

【答案】　C

【解析】　h＝ʃ4b17fab31583efe64099b3bcef7d0cfa.pnggtdt＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pnggt2|eaf582c901b8586c8eee1bee8869f0b9.png＝003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.pngg.

3．一物体从A处向B处运动，速度为1.4t m/s(t为运动的时间)，到B处时的速度为35 m/s，则AB间的距离为(　　)

A．120 m B．437.5 m

C．360 m D．480 m

【答案】　B

【解析】　从A处到B处所用时间为25 s.所以|AB|＝ʃ16c92804d47c801cf2ec0451bc3b1554.png1.4tdt＝0.7t2|48ee2a0be57285244971c937975ccc55.png＝437.5 (m)．

4．如果1 N的力使弹簧伸长1 cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功为(　　)

A．0.5 J B．1 J

C．50 J D．100 J

【答案】　A

5．A、B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中

C点，这一段速度为1.2 t(m/s)，到C点速度达24 m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经t s后，速度为(24－1.2 t)m/s，在B点恰好停车，试求：

(1)A、C间的距离；

(2)B、D间的距离；

(3)电车从A站到B站所需的时间．

【解析】　(1)设A到C经过t1 s，由1.2t1＝24得t1＝20(s)，

∴AC＝word/media/image9_1.png1.2tdt＝0.6 t2387d34cd1f6a512f7249e7d788c90267.png＝240(m)．

(2)设从D―→B经过t2s，

由24－1.2 t2＝0得t2＝20(s)，

∴DB＝∫200(24－1.2t)dt＝240(m)．

(3)CD＝7 200－2×240＝6 720(m)．

从C到D的时间为t3＝03b3804716b762d299b4c7a5a0c96e90.png＝280(s)．

于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．

6．一物体按规律x＝bt3作直线运动，其中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所做的功．

【解析】　物体的速度v＝x′(t)＝(bt3)′＝3bt2，媒质的阻力F阻＝kv2＝k·(3bt2)2＝9kb2t4(其中k为比例常数，k>0)．当x＝0时，t＝0；

当x＝a时，t＝(93da2eaf2e67b247d23e9972eb4240c0.png)1c8e4106457a61c77bb8da4f53f588bd.png.

所以阻力所做的功为W阻＝ʃ0a523fa71efa19f5f3694b82dd40cca8.pngF阻dx＝word/media/image10_1.pngkv2·vdt

＝word/media/image10_1.png9kb2t4·3bt2dt＝word/media/image10_1.png27kb3t6dt＝052cbb5d73e39cf12ba5ceed5e7f9353.pngkb3t7|word/media/image11_1.png＝052cbb5d73e39cf12ba5ceed5e7f9353.pngkword/media/image12_1.png·word/media/image13_1.png.

故物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所做的功为14ea08195eda586de10c90884378d09e.pngkword/media/image12_1.png·word/media/image13_1.png.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/fa743bd8acf8941ea76e58fafab069dc502247c2.html