逆矩阵的几种求法与解析
王红斌 指导教师:袁晓红
(河西学院数学与应用数学专业2012级3班32号, 甘肃张掖 734000)
摘 要 矩阵在线性代数中有很重要的地位,矩阵理论具有十分丰富的内容,它是学习数学与其他学科的基础,为了更便捷地解决矩阵的逆,本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法.主要有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法与解方程组法,并对部分进行了简要论证.
关键词 逆矩阵;分块矩阵;初等变换;伴随矩阵
中图分类号 O151.21
Several ways of solution and analysis of Inverse Matrix
Wang Hongbin Instructor Yuan Xiaohong
(No.32 class 3 of 2012, Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, He Xi University, Zhangye, Gansu 734000)
Abstract: In order to solve the inverse matrix more convenient, This paper according to the different characteristics of different matrix which simply introduced several methods, there are definition method, adjoint matrix method, elementary transformation method, as well as a brief argumentation on it partly.
Keywords: Inverse matrix ;Partitioned matrix;Elementary transformation;Adjoint matrix
1 引言
矩阵是高等代数的主要研究对象之一,在自然科学、工程技术乃至社会科学中均广泛应用.而矩阵的逆矩阵在矩阵理论中又有着重要地位,由于其解法灵活,综合性较强,能力要求较高,解决这类问题,要掌握各数学分支知识,并能综合运用各种数学技能,灵活选择合理的解题方法.在数学上,灵活运用从特殊到一般的思想,可以使很多难以解释的问题得到很好的解决.关于矩阵的逆,在高等代数和线性代数的学习中就有了一定的认识,如何求逆矩阵一直是研究者探讨的问题.本文重点总结了常见的几种求逆矩阵的方法,并对其原理和应用范围进行简单的说明.不同矩阵的逆矩阵可用不同的方法来求,从而达到简便易求的目的.
2 预备知识
2.1 几个定义
定义1[1] 设是一个
阶矩阵,如果存在
阶矩阵
,使得
,则称矩阵
是可逆矩阵,并称
是
的逆矩阵.
定义2[4] 通常用若干条纵线和横线将矩阵分成许多小矩阵,每一个小矩阵称为
的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
例如
,
其中四个分块分别是
,
,
,
.
定义3[9] 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
(1)对调矩阵的两行(对调两行,记为
);
(2)以数乘某一行中的所有元素(第
行乘
,记为
);
(3)把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去(第
行的
倍加到第
行上,记为
).
把定义中的“行”换成“列”,即得到矩阵的初等列变换的定义(所用记号是把“”换成“
”).
矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换.
2.2 几个定理
定理1[4] 阶矩阵
为可逆的充分必要条件是
非奇异.且
,
其中是
中元素
的代数余子式.矩阵
称为矩阵A的伴随矩阵,记作,于是有
.
定理2[6] 如果阶矩阵
可逆,那么它的逆矩阵是
,
其中
,
.
3 求逆矩阵的几种方法
3.1 用定义法求逆矩阵
例1[8] 求证如果方阵满足
,那么
是可逆矩阵,且
.
证明 因为与
可以交换, 所以
,
因,于是得
,
同理可得
,
因此是可逆矩阵,且
,
同理可以证明也可逆,且
.
由此可知, 只要满足,就可以利用此题求出一类矩阵E
A的逆矩阵.
例2 设,求
的逆矩阵.
分析 由于中有许多元素为零,考虑
是否为零矩阵,若为零矩阵,则可以采用例1的方法求
的逆矩阵.
解 容易验证
,
,
而,所以
.
3.2 初等变换法
求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵,特别是在方阵阶数较高时,常用初等变换法.如果A可逆,则A可通过行初等变换,化为单位矩阵I,即存在初等矩阵使
, (1)
用右乘上式两端,得
. (2)
比较(1)、(2)两式,可看到当A通过行初等变换化为单位矩阵的同时,对单位矩阵I作同样的初等变换,就化为A的逆矩阵.
用矩阵表示,就是求逆矩阵的初等行变换法.
例3[5] 已知矩阵,求
.
解 由
于是
.
在事先不知n阶矩阵是否可逆的情况下,也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0,则意味着A不可逆,则说明不可逆,即
,则不存在.
例4 求的逆矩阵.
解
由于左端矩阵中有一行元素全为0,于是它不可逆,因此A不可逆.
注意:上面是用作行初等变换求逆矩阵;同样只用初等列变换也可以求逆矩阵,但在计算时单位矩阵不放在
的右边,而是放在
的下面.
用矩阵表示:.就是求逆矩阵的初等列变换法.
3.3 用伴随矩阵去求逆矩阵
用伴随矩阵求逆矩阵法,主要是求出矩阵的行列式以及它的伴随矩阵.
例5 判断矩阵
是否可逆?若可逆,求出
.
解 因为所以
可逆.
又
所以
用此方法求逆矩阵,对于小型矩阵,特别是二阶方阵求逆既方便、快捷,又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵,只需要将主对角线元素的位置互换,次对角线的元素变号即可.
3.4 分块矩阵求逆矩阵法
命题1[5] 设分别是
矩阵,
均可逆,则
.
证明 由,两边求逆得
,
即
=
.
同理可求出的逆矩阵,故对大型且可划分为以上的分块矩阵.可用此法求逆矩阵.
例6[5] 设,求
.
解
,
,
;
,
;
所以
.
命题2 设,其中
分别为
阶、
阶、
阶方阵,
分别为
和
矩阵,设
可逆,则
可逆
可逆.
这时
.
证明 考虑
故可逆,
可逆
可逆
例7 求矩阵的逆矩阵.
解 分析:这个矩阵经过仔细观察,它正好可以写成命题2中的形式,故可将
分块为
可以表示为
型.
因为
令可逆,
所以也可逆.并且
,
由命题2,得
.
又
,
,
,
.
对矩阵分块时,应知道是按行分块还是按列分块.
3.5 三角矩阵的一种求逆法
三角矩阵可逆的充分必要条件是其主对角线元素非零,且其逆矩阵仍为同结构的三角矩阵.其主对角线元素为为原主对角线元素的倒数.
例8 求上三角阵的逆矩阵.
解 根据上定理可求得
,
,
,
,
,
因此
.
如果是下三角矩阵,则
为上三角矩阵.根据逆矩阵的性质:
,再根据定理3可求三角矩阵
的逆矩阵.
3.6 利用线性方程组求逆矩阵
若阶矩阵
可逆,则
,于是
的第
列是线性方程组
[7]的解,
,
是第
个分量是1的单位向量.因此,我们可以去解线性方程组
,其中
,然后把所求得的解的公式中的
分别用
,
,
,
代替,便可以求得
的第
列,这种方法在某些时候可能比初等变换法求逆矩阵稍微简一点.下面例子说明该方法的应用.
例9[1] 求矩阵的逆矩阵.
解 设,
解方程组
,即
解得
然后把列,分别用
,
,
,
,
代入,得到矩阵
的第1,2,3,4,5列,分别为
,
,
,
,
,
.
这种方法特别适用于线性方程组比较容易求解的情形.
4 小结
以上各种求逆方法只是我的一些粗浅的认识,也许有很多的不当之处,我希望我的这篇文章能给大家带来帮助,能帮助我们更快更准地解决好繁琐的求逆矩阵问题.同时,它还是我们更好的学习线性代数的必备基础知识,认真掌握它,可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的基础.但我很希望各位老师和同学给于指导.能使我的这篇文章更加完善和实用.
致谢 感谢袁晓红老师的精心指导.
参 考 文 献
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[5]杨子胥.高等代数习题集[M].济南:山东科学技术出版社,1984.
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[8]丘维声.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2001.
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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/f99545f93169a4517623a398.html
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