勾股定理的几种证法

勾股定理的几种常见证法

证法1

　　作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P.

　　∵ D、E、F在一条直线上， 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD，

　　∴ ∠EGF = ∠BED，

　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

　　∴ ∠BEG =180°―90°= 90°

　　又∵ AB = BE = EG = GA = c，

　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形。

　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°

　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD，

　　∴ ∠ABC = ∠EBD.

　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°

　　即 ∠CBD= 90°

　　又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，

　　BC = BD = a.

　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形。

　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

　　设多边形GHCBE的面积为S，则

　　A2+B2=C2

证法2

　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

　　过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

　　过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

　　F作FN⊥PQ，垂足为N.

　　∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，

　　∴ ∠MPC = 90°，

　　∵ BM⊥PQ，

　　∴ ∠BMP = 90°，

　　∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。

　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，

　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，

　　∴ ∠QBM = ∠ABC，

　　又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，

　　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

　　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2

证法3

　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形.

　　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，

　　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，

　　∴FI=a，

　　∴G,I,J在同一直线上，

　　∵CJ=CF=a，CB=CD=c，

　　∠CJB = ∠CFD = 90°，

　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，

　　同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，

　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE

　　∴∠ABG = ∠BCJ,

　　∵∠BCJ +∠CBJ= 90°，

　　∴∠ABG +∠CBJ= 90°，

　　∵∠ABC= 90°，

　　∴G,B,I,J在同一直线上，

　　A2+B2=C2。

证法4

　　作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

　　BF、CD. 过C作CL⊥DE，

　　交AB于点M，交DE于点L.

　　∵ AF = AC，AB = AD，

　　∠FAB = ∠GAD，

　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

　　∵ ΔFAB的面积等于，

　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM

　　的面积的一半，

　　∴ 矩形ADLM的面积 =.

　　同理可证，矩形MLEB的面积 =.

　　∵ 正方形ADEB的面积

　　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

　　∴ 即A2+B2=C2

证法5（欧几里得的证法）

　　《几何原本》中的证明

　　在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

　　在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：

　　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。

　　其证明如下：

　　设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²；。同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2；。把这两个结果相加， AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB2;+ AC2;= BC2；。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的

证法6（欧几里德（Euclid）射影定理证法）

　　如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高

　　通过证明三角形相似则有射影定理如下：

　　（1）（BD）2;=AD·DC，

　　（2）（AB）2;=AD·AC ，

　　（3）（BC）2;=CD·AC。　

　　由公式（2）+（3）得：（AB）2;+（BC）2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD）·AC=（AC）2；，

　　图1即 （AB）2;+（BC）2;=（AC）2，这就是勾股定理的结论。

图1

证法七（赵爽弦图）

　　在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：

　　4×（ab/2）+（b-a）2 =c2；　

　　化简后便可得：a2 +b2 =c2;

　　亦即：c=(a2 +b2 )1/2

　　勾股定理的别名 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。

　　中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

　　在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。

　　在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．

　　前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理（1876年4月1日）。

　　1 周髀算经， 文物出版社，1980年3月， 据宋代嘉定六年本影印，1-5页。

　　2. 陈良佐：周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。刊於《汉学研究》， 1989年第7卷第1期，255-281页。

　　3. 李国伟： 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。刊於《第二届科学史研讨会汇刊》， 台湾，1991年7月， 227-234页。

　　4. 李继闵：商高定理辨证。刊於《自然科学史研究》，1993年第12卷第1期，29-41页。

　　5. 曲安京： 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明。刊於《数学传播》20卷， 台湾，1996年9月第3期， 20-27页

证法8（达芬奇的证法）

达芬奇的证法

　　三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一，因为要证的事勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D'都是直角。

　　证明：

　　第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE

　　第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'

　　因为S1=S2

　　所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'

　　又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF

　　所以OF2+OE2=E'F'2

　　因为E'F'=EF

　　所以OF2+OE2=EF2

　　勾股定理得证。

证法9

　　从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：

b ( a + b )= 1/2c2 + ab + 1/2(b + a)(b - a)

　　矩形面积 =（中间三角形）+（下方）2个直角三角形+（上方）1个直

　　角三角形。

　　（简化） 2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab

　　2b2 - b2 + a2 = c2;

　　a2 + b2 = c2;

　　注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。

证法10

　　在Rt三角形ABC中，角C=90度，作CH垂直于AB于H。

　　令a/sinA=b/sinB=c/sinC=d

　　1=sin90=sinC=c/d=AH/d+BH/d=cosA×b/d+cosB×a/d=cosA×sinB+cosB×sinA=a/c·a/c+b/c·b/c

　　=(a^2+b^2)/c^2=1

　　所以a^2+b^2=c^2

　　得证。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/f7adbfd2690203d8ce2f0066f5335a8102d266f4.html