泰勒公式证明必须看

泰勒公式（提高班）

授课题目：

§3.3泰勒公式

教学目的与要求：

1.掌握函数在指定点的泰勒公式；

2.了解泰勒公式在求极限及证明命题中的应用.

教学重点与难点：

重点：几个常用函数的泰勒公式

难点：泰勒公式的证明

讲授内容：

对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达．由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数。

在微分的应用中已经知道，当很小时，有如下的近似等式：

，．

这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子．显然．在处这些—次多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值．

但是这种近似表达式还存在着不足之处：首先是精确度不高，它所产生的误差仅是关于的高阶无穷小；其次是用它来作近似计算时，不能具体估算出误差大小．因此，对于精确度要求较高且需要估计误差的时候，就必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式．

于是提出如下的问题：设函数在含有的开区间内具有直到()阶导数，试找出一个关于()的次多项式

(1)

来近似表达，要求与之差是比高阶的无穷小，并给出误差的具体表达式．

下面我们来讨论这个问题．假设在处的函数值及它的直到阶导数在处的值依次与，，相等，即满足

，，

，，

按这些等式来确定多项式(1)的系数.为此，对（1）式求各阶导数，然后分别代人以上等式，得

，，， ，

即得 ，，，. (2)

将求得的系数代入（1）式，有

.

下面的定理表明，多项式(2)的确是所要找的次多项式．

定理1 （泰勒(Taylor)中值定理） 如果函数在含有的某个开区间()内具有直到()阶的导数，则当任一，有

, （3）

其中 ， （4）

这里是与之间的某个值．

证明 ．只需证明

(在与之间)．

由假设可知，在()内具有直到()阶导数，且

对两个函数及在以及为端点的区间上应用柯西中值定理(显然，这两个函数满足柯西中值定理的条件)，得

(在与之间)，

再对两个函数与在以及为端点的区间上应用柯西中值定理，得

(在与之间)．

照此方法继续做下去，经过()次后．得

(在与之间，因而也在与之间)．

注意到（因），则由上式得

（在与之间），

定理证毕．

多项式(2)称为函数按()的幂展开的次近似多项式，公式(3)称为按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式．而的表达式(4)称为拉格朗日型余项．

当时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式：

(在与之间)．

因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广．

出泰勒中值定理可知，以多项式近似表达函数时，其误差为．如果对于某个固定的，当时，，则有估计式：

（5）

及

由此可见，当时误差是比高阶的无穷小，即

．

这样，我们提出的问题完满地得到解决.

在不需要余项的精确表达式时，阶泰勒公式也可写成

(7)

的表达式（6）称为佩亚诺（Peano）型余项，公式（7）称为按的幂展开的带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式.

在泰勒公式(3)中，，如果取，则在0与之间．因此可令，从而泰勒公式变成较简单的形式，即所谓麦克劳林(Maclauri)公式 () （8）

在泰勒公式（7）中，如果取，则有带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式

（9）

由（8）或（9）可得近似公式：

，

误差估计式（5）相应地变成

（10）

例1 写出函数的带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式．

解 因为 ，

所以

把这些值代入公式(8)，并注意到便得

+ ()．

由这个公式可知，若把用它的次近似多项式表达为

，

这时所产生的误差为

（）.

如果取，则得无理数e的近似式为 ，

其误差

当时，可算出，其误差不超过．

例2 求的带有拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式．

解 因为 ，，，

，，

所以

等等．它们顺序循环地取四个数0，1，0，一1，于是按公式(8)得(令)

，

其中 （）.

如果取m＝1，则得近似公式

这时误差为 （）

如果分别取2和3，则可得的3次和5次近似多项式

和，

其误差的绝对值依次不超过和．以上三个近似多项式及正弦函数的图形都画在图1中，以便于比较．

类似地，还可以得到

，

其中 （）；

，

其中 （）；

，

其中 （）

由以上带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式，易知相应的带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式。

除了洛必达法则之外，泰勒公式也是极限计算的重要方法。

例3 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限

解 由于分式的分母~，只需将分子中和分别用带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式表示，即

，

于是 ，

对上式作运算时，把两个比高阶的无穷小的代数和记为，故

注 本例解法就是用泰勒公式求极限的方法，这种方法的关键是确定展开的函数(如本例中的和)及展开的阶数(如本例中的3阶)。

补充例题 设且.证明：.

证明

而在点处的一阶泰勒公式为

即，又由于，故.

小结与提问：

小结：泰勒公式提供了“判定函数极值的第二充分条件”的分析依据；提供了“利用二阶导数符号来判定函数曲线凹向”的分析依据；提供了近似计算的理论基础。

提问：1. 泰勒定理的余项有哪些形式?若是在点的阶泰勒公式的余项，问下列等式是否成立?

(1)当固定时，；

(2)当固定时，．

2.函数的麦克劳林公式可以写成

（）吗?

课外作业：

1. 4. 7. 10. (1)

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/f717718952e2524de518964bcf84b9d528ea2c0c.html