2017-2018学年高一数学下学期第二次月考试题（含解析）(2)

延边第二中学2017-2018学年度第二学期第二次阶段检测

高一年级数学试卷

一、选择题（每题只有一个选项正确，每题4分，共48分）

1. 下列命题正确的是 （ ）

A. 若a、b都是单位向量，则a=b B. 若，则四点A、B、C、D构成平行四边形

C. 若两向量a、b相等，则它们是始点、终点都相同的向量 D. 与是两平行向量

【答案】D

【解析】分析：逐一分析即可.

详解：A，单位向量长度相等，但方向不一定相同，故A不对；

B，A，B，C，D四点可能共线，故B不对；

C，只要方向相同且长度相等，则这两个向量就相等，与始点、终点无关，故C不对；

D，因与方向相反，是平行向量，故D对.

故选：D.

点睛：本题考查了向量相等和平行向量的定义，考查了对向量基础概念的理解和应用.

2. 若是第二象限角，则化简的结果是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】分析：根据的范围，利用同角三角函数的基本关系化简所给的式子可得结果.

详解：是第二象限角，

，

则，

故选：A.

点睛：本题考查同角三角函数的基本关系的应用.

3. 已知输入实数，执行如图所示的流程图，则输出的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件，可得.

详解：初始化数值

执行第一次循环：成立，；

执行第二次循环：成立，；

执行第三次循环：成立，；

判断不成立，输出.

故选C.

4. 已知为圆上的三点，若，圆的半径为，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】分析：根据题意画出图形，结合图形得出四边形是菱形，且一内角为，由此求出的值.

详解：如图所示：

，

四边形是菱形，且，

又圆O的半径为2，

，

故选：D.

点睛：本题考查了平面向量的数量积应用问题.

5. 设向量，且，则的值为 （ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】，那么，解得，故选D．

6. 在中，，，，则在方向上的投影是（ ）

A. 4 B. 3 C. -4 D. -3

【答案】D

【解析】分析：根据平面向量的数量积可得，再结合图形求出与方向上的投影即可.

详解：如图所示：

，

，

，

又，，

在方向上的投影是：，

故选：D.

点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题.

7. 的单调递减区间为（ ）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】分析：利用诱导公式可得本题即求函数的单调递增区间.

.....................

令，求得，，

故函数的单调递增区间即得单调递减区间为：

，

故选：C.

点睛：本题主要考查诱导公式、正弦函数的增区间，体现了转化的数学思想.

8. 将四位八进制中的最小数转化为六进制数为()

A. 2120(6) B. 3120(6) C. 2212(6) D. 4212(6)

【答案】C

【解析】四位八进制中的最小数为,

故为

9. 已知则等于（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】分析：首先根据条件得出，然后根据三角恒等变换公式即可得到

的值.

详解：.

点睛：本题考查三角恒等变换等知识，在解题的过程中关键在于角的拼凑，把用和来表示，体现了整体的思想.

10. 函数,若在区间上是单调函数,且则的值为（ ）

A. B. 或 C. D. 或

【答案】B

【解析】分析：由在区间是有单调性，可得范围，从而得；由，可得函数关于对称，又，有对称中心为；讨论与是否在同一周期里面相邻的对称轴与对称中心即可．

详解：因为在单调，∴，即，而；若，则；若，则是的一条对称轴，是其相邻的对称中心，所以，∴.

故选B.

点睛：本题考查三角函数的周期性及其求法，确定与是否为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心是关键，也是难点，属于难题．

11. 在中，，， .若， （ ），且，则的值为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】分析：根据题意画出图形，根据向量的加减的几何意义，再根据平面向量的数量积列出方程求出的值.

详解：如图所示：

在中，，， ，，

,

（ ），

，

，

.

故选：A.

点睛：(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对 要引起足够重视，它是求距离常用的公式．

(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，就会达到简化运算的目的．

12. 已知向量与的夹角为，．若向量满足，则的最大值为（ ）

A. B. C. 4 D.

【答案】B

【解析】设，由于与的夹角为，则可设，设，则，故向量的终点在以为圆心，为半径的圆上，的最大值为圆心到原点的距离加上半径，即，故选B．

【名师点睛】本题可根据已知条件构造坐标系，从而可求得的终点的轨迹方程，再根据平面几何知识进行求解．

二、填空题（每题5分，共20分）

13. 在区间内任取两个数分别记为,则函数至少有一个零点的概率为___________.

【答案】 .

【解析】分析：设区间内随机取两个数分别记为，对应区域为边长为的正方形，而使得函数有零点的范围是判别式，求出.

详解：设区间内随机取两个数分别记为，则对应区域面积为，

而使得函数有零点的范围为，对应区域面积为，

由几何概型的概率公式得到使得函数有零点的概率为：.

故答案为：.

点睛：应用几何概型求概率的方法

建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．

(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；

(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；

(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．

14. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点，则__________．

【答案】10.

【解析】分析：首先利用三角函数的定义式，结合题中所给的角的终边所过的点的坐标求得，之后借助于同角三角函数关系式，将关于正余弦分式形式的式子上下同除，得到关于切的式子，代入求值即可得结果.

详解：根据角的终边过，利用三角函数的定义式，可以求得，所以有，故答案是10.

点睛：该题考查的是有关利用角的正切值来求关于正余弦的分式形式的式子的值的问题，在解题的过程中，需要注意利用角的终边所过的点，结合三角函数的定义式求得正切值，之后对分式的分子分母上下同除，将其化为切的式子求解即可.

15. 如图，已知中，点在线段上，点在线段上，且满足，若，，则的值为__________．

【答案】-2.

【解析】分析：利用数量积运算性质可得：利用向量共线定理及其三角形法则可得，再利用数量积运算性质即可得出.

详解：，，

，

，化为，

.

故答案为：-2.

点睛：本题考查了数量积运算性质、向量共线定理及其三角形法则，考查了推理能力与计算能力.

16. 给出下列命题：

①已知任意两个向量不共线，若、、则三点共线；

②已知向量与的夹角是钝角，则的取值范围是；

③设，则函数的最小值是；

④设，若是平行四边形(为原点),则

其中正确命题的序号为__________．

【答案】③④.

【解析】分析：对选项逐一判断即可.

详解：对①，，，故三点不共线，所以①错误；

对②，向量与的夹角是钝角，，即，解得，又，得，此时与反向，应去掉，所以②错误；

对③，函数，，，当时，，所以③正确；

对④，由题意得，，四边形是平行四边形，,，,，又，，，，所以④正确.

故答案为：③④.

点睛：本题考查命题的真假判断与应用.

三、解答题（共52分）

17. 已知：三点,其中.

（Ⅰ）若三点在同一条直线上，求的值；

（Ⅱ）当时，求．

【答案】(1) .

(2) .

【解析】分析：（1）先求出的坐标，再根据向量共线得到的值；

(2)根据的值，再求．

详解：（Ⅰ）依题有，

共线， ， .

（Ⅱ）由得 ，

.

又, ,

,

.

（1）本题主要考查向量的线性运算，考查向量共线和垂直的坐标表示，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2) 如果=,=，则||的充要条件是,则.

18. 已知.

（1）化简；

（2）若，且，求的值．

【答案】（1）sin α·cos α.

（2）.

【解析】试题分析：（1）利用三角函数的诱导公式，即可化简得到；

（2）由（1）和得，进而可得的值．

试题解析：

(1)f(α)＝＝sin α·cos α.

(2)由f(α)＝sin α·cos α＝可知，

(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝

又∵＜α＜， ∴cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0.

∴cos α－sin α＝.

19. 已知函数的部分图像如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）若函数在上取得最小值时对应的角度为，求半径为2，圆心角为的扇形的面积.

【答案】（1）.

（2）.

【解析】试题分析：（1）由图象观察，最值求出，周期求出，特殊点求出，所以；（2）由题意得，所以扇形面积。

试题解析：

(1)∵，∴根据函数图象，得.

又周期满足，∴.解得.

当时，. ∴.

∴.故.

(2)∵函数的周期为，∴在上的最小值为-2.

由题意，角满足，即.解得.

∴半径为2，圆心角为的扇形面积为

.

20. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.

（Ⅰ）写出函数的解析式；

（Ⅱ）若对任意， 恒成立，求实数的取值范围；

【答案】（1）.

（(2).

【解析】分析：（1）根据图像变换得函数的解析式；（2）先求 在值域，再转化研究对应二次不等式在恒成立，结合二次函数图像可得 ，解不等式可得实数的取值范围；(3)转化研究对应函数图像在一个周期上的交点，再根据周期性确定实数和正整数，

详解：（Ⅰ）；

（Ⅱ）设则，

可化为，

设， ，则的图象是开口向上的抛物线一段，

当且仅当，即，

所以的取值范围是. 注：该小题也可采用分离参数求解.

点睛：本题主要考查函数的图象变换规律，函数的恒成立问题.

21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，三点满足.

（1）求证：三点共线，并求的值；

（2）已知， ， ，且函数的最小值为，求实数的值.

【答案】（1）.

（2）.

【解析】分析：（1）证明三点共线，只需证明由三点中，任意两点形成的两个向量共线即可，原等式可转化为，可证明共线及求得比值；

（2）利用向量的坐标运算，求得函数，对进行换元，利用一元二次函数的单调性可求得最小值为，得到关于的方程，解得的值．

详解：（1）证明：，

,又因为有公共点B，A,B,C三点共线.

.

（2），

，

设，

①当无最小值，不合题意；

②当,

③当，不合题

意.综上可知，.

点睛：考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，共线向量基本定理，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量数量积的坐标运算.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/f555ed24b8d528ea81c758f5f61fb7360b4c2bef.html