折叠结构

折叠结构

【轴对称（折叠）思考层次全貌】

1. 全等变换：对应边相等、对应角相等．

2. 对称轴性质：对称轴上的点到对应点的距离相等，对应点所连线段被对称轴垂直平分．

3. 组合搭配：矩形背景下常出现等腰三角形、两次折叠常出现直角，60°角、折叠会出现圆弧等．

4. 作图：核心是找到对应点，作对应点连线的垂直平分线（折痕），补全图形．

【要求】

①读一读操作要领，按照操作要领去做题，思路受阻时回头再看操作要领，做完题对照操作要领思考一步步是如何进行操作的；

②做题时，需要执行读题标注（如目标、条件），观察特征，验证取舍等动作．

【第一次训练】

操作要领：

遇折叠，考虑全等变换；找折痕（对称轴），利用对应边相等，对应角相等转移条件，表达线段长，利用勾股定理（或相似、三角函数）建方程；做题时常借助背景图形提供的角度、线段长，对条件进行转移、表达．

【例题1】如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长为__________cm．

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分析思路：

1. 读题标注、转化；

正方形，折叠，中点，目标，如右图所示

2. 背景图形；

边长为8的正方形；

3. 分析条件，组合特征；

折叠是全等变换----对应边相等，对应角相等；

EN=DN；______+NC=DN+NC=8，

转移，表达----设CN=x，则EN=DN=_____

4. 求解目标：勾股定理列方程

在Rt△______中，勾股定理列方程为_______________，解得x=_______即CN=_____cm．

【配套小练习】

练习1：如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，点D在BC边上，将直角边AC沿直线AD折叠，点C恰好落在斜边AB上的点E处，则线段CD的长为__________．

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练习2：如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=4cm，BC=5cm，则EF的长为________．

【第二次训练】

操作要领：

①折叠属于全等变换，找折痕，利用对应边相等，对应角相等转移条件，表达线段长，利用勾股定理建方程；

②上述思路进行不下去时，从“对称轴上的点到对应点的连线距离相等”，从折痕与背景图形的交点处入手，结合所求目标，连接对应线段，表达求解；或者考虑“折痕”为对称轴，“对应点所连线段被对称轴垂直平分”，利用垂直平分（题目中会出现全等或相似）解题．（这两条性质可以逐一尝试）

【例题2】如图，将长为4cm，宽为2cm的长方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边的中点E处，压平后得到折痕MN，则线段AM的长为__________．

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分析思路：

1. 读题标注、转化；

长方形，折叠，中点，目标，如右图所示

2. 背景图形；

长为4，宽为2的长方形，DE=EC=1，E是定点；

3. 分析条件，组合特征；

折叠是全等变换----对应边相等，对应角相等；

上方：AM=MF，但MF所在的直角三角形无相关线段长信息，求解不出来；

下方：BN=EN；______+NC=BN+NC=4，在Rt△______中，勾股定理能够求BN（NE，NC等），但跟目标无关，先不进行计算；

4. 求解目标；

方式一：考虑折叠性质“对称轴上的点到对应点的连线距离相等”，连接MB和ME，则MB=ME，可以用来表达列方程求解；如图所示

转移表达----设AM=x，则DM=_____；在Rt△______中， _____________（用含x的代数式表示）；在Rt△______中， _____________（用含x的代数式表示）；建立方程为_______________，解得x=_______，即AM=_____．

方式二：考虑折叠性质“对应点所连线段被对称轴垂直平分”，连接BE，则_____被_____垂直平分；如图所示

过点M作MG⊥BC于点G，则△MGN∽△______，且相似比为1:2，由CE的长，可求GN的长，结合AM=BG=BN-GN，（BN可通过第3条中的分析求出）即可求出AM的长．

中间用到一个很重要的结论：“十字结构”会出现全等或相似．而折叠中的垂直平分经常会提供十字结构，以下是一般的“十字结构”的图形和结论．

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△ABE≌△BCF △DCE≌△ABF △ABE∽△BCF

【配套小练习】-----练习3和练习4均要求用折叠的两种性质解题（每种图中展示一种方法）

练习3：如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将该纸片折叠，使点B落在CD边上的点处，点A的对应点为，折痕为MN．若，则AM的长为__________．

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练习4：如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处．若AB=6，AD′=2，则MN的长为　　　，BN的长为　　　　．

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练习5：如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则EF的长为_________．（要求用“对应点的连线被对称轴垂直平分”解题，有其余方法可自行尝试）

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练习6：如图，长方形纸片ABCD，AB=5，BC=10，CD上有一点E，ED=2，AD上有一点P，PD=3，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，与AD交于点G，则PQ的长是（ ）（要求用“对应点的连线被对称轴垂直平分”解题，有其余方法可自行尝试）

A． B．3 C． D．

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练习7：如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得A点落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG，若GF的长为13cm，则线段CE的长为_____________．

【第三次训练】

操作要领：

当上述两种思路都进行不下去的时候考虑背景提供的条件，如长方形中折叠会出现等腰三角形（以折痕为底）；（原理是：平行+角平分线出现等腰三角形）

【例题3】用长方形下的折叠会出现等腰三角形，快速求BF的长

如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则BF的长为_________．

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拓展：请在右上图中补全（例题2）长方形下的折叠出现的等腰三角形，在图上进行体现，并用此思路尝试求AM的长；

如图，将长为4cm，宽为2cm的长方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边的中点E处，压平后得到折痕MN，则线段AM的长为__________．

【配套小练习】

练习8：如图，长方形ABCD中，AB=15cm，点E在AD上，且AE=9cm，连接EC，将长方形ABCD沿直线BE翻折，点A恰好落在EC上的点A'处，则A'C=_______cm．

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练习9：已知一个长方形纸片OABC，OA=6，点P为AB边上一点，AP=2，将△OAP沿OP折叠，点A落在点A′处，延长PA′交边OC与点D，经过点P再次折叠纸片，使点B落在边OC上的点D处，则AB的长为____________．

练习10：如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将该纸片折叠，使点B落在CD边上的点处，点A的对应点为，折痕为MN．若，则AM的长为__________．（请用长方形下的折叠会出现等腰三角形，解题）

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【第四次训练】折叠作图训练及计算求解

1 题目中给出已知的对应点，直接作垂直平分线，找折痕；

2 题目中没有直接给出的对应点，而是给出对应点满足的条件；

此时往往“折痕过定点”，题目往往会产生圆（圆弧），通过作圆弧找到对应点的位置，再作垂直平分线找折痕．

练习11：如图，在矩形ABCD中，已知AB=12，AD=8，如果将矩形沿直线l翻折后，点A落在边CD的中点E处，直线l分别与边AB，AD交于点M，N，那么MN的长为_________．

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练习12：在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在线段AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在对角线AC上的A′处，则AP的长为_____________．

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练习13：如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=6，AF=BE=2，点G是线段AD上的动点，将矩形ABCD沿直线EG折叠．当点C的对应点C′落在四边形ABEF对角线所在直线上时，求AC′的长为_____________．

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练习14：如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，BC=20cm，O是BC的中点，沿过O的直线翻折.若点B恰好落在AD上，那么折痕的长度为________.

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练习15：在矩形ABCD中，BC=6，CD=8，点P在线段AB上(不含端点A，B)任意一点．若将△PBC沿PC折叠，使点B的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时，BP的长为_____________．

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用你学到的内容，尝试用多种方法解题。

如图，矩形ABCD中，AB=12，BC=10，点E是BC上一点且BE=2，点F是CD上一点且CF=4，将矩形ABCD折叠，使点E和点F重合，折痕分别与AD、BC交于点HG，则AH的长为__________．

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如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，沿过点A的直线折叠矩形ABCD，使得点B落在线段CD上，折痕交CB于点F，则AF=________．

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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/f4b2f4c2bdeb19e8b8f67c1cfad6195f312be8f8.html