江苏省南京市2021届新高考第二次适应性考试数学试题含解析

江苏省南京市2021届新高考第二次适应性考试数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知m为实数，直线e6c5419e04a1206d2b1ba0ec48009362.png：b5e70cfa78d8e6d466a43022395e2bf6.png，c7b5cb501695b127a4a5203ecdf63d70.png：ce70b520ece16e88d3dd1ac700851699.png，则“40aa2227f8ab9f9737e2ce467090bb9c.png”是“2140f2240288d58c7c6a4a81008a2e3b.png”的（ ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

根据直线平行的等价条件，求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】

当m=1时，两直线方程分别为直线l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0满足l1∥l2，即充分性成立，

当m=0时，两直线方程分别为y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不满足条件．

当m≠0时，则l1∥l2⇒17d25f3f1ca903c8ddca8b2ae8dc3e2d.png，

由dddfbb0a958c809ba6489c2c799871e3.png得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2，

由e5abe154d4ed8eb459a6a6375b04d52b.png得m≠2，则m=1，

即“m=1”是“l1∥l2”的充要条件，

故答案为：A

【点睛】

（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线2f56badd9099234316e18c9eedcbc55b.png和直线1475653e85848e594d128699685cd426.png平行，则b576597d0bf7ba4121cc070713017b5f.png且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.

2．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（　　）

A．该市总有 15000 户低收入家庭

B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户

C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户

D．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户

【答案】D

【解析】

【分析】

根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.

【详解】

解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，

则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确，

该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确，

该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确，

该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．

故选：D.

【点睛】

本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.

3．若f10bc3c94b77e1d6b9f98106daf335c1.png满足约束条件7612a846124b57d85252f416f4cd0095.png则bedbaebccc86d43e52619b1529b8a93b.png的最大值为（ ）

A．10 B．8 C．5 D．3

【答案】D

【解析】

【分析】

画出可行域,将bedbaebccc86d43e52619b1529b8a93b.png化为e3c0fe864b8657a4c2900506dcc0a32d.png,通过平移b810a0181c17cef27f6c885f20288537.png即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值.

【详解】

解:由约束条件d8d66d27fd1737e371807aa1ba615e5f.png作出可行域如图,

化目标函数bedbaebccc86d43e52619b1529b8a93b.png为直线方程的斜截式,e3c0fe864b8657a4c2900506dcc0a32d.png.由图可知

当直线e3c0fe864b8657a4c2900506dcc0a32d.png过000ac0832a89d7cb12040a4844ffada6.png时,直线在415290769594460e2e485922904f345d.png轴上的截距最大,fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png有最大值为3.

故选:D.

【点睛】

本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为6f0b1dcca5ca41bd4d5bb08a83084be1.png 的形式,在可行域内通过平移d38138d655b44f7560b26504c31bdb11.png找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.

4．已知c276d23cff48cf7e4508d8057225d7ca.png,则ea19503c963c301b115a4fc5fedf9c92.png (　　)

A．bcb817ad10ab30322dc3a51b24808bec.png B．ab59fd2af526dbdfe719e70718edcb63.png C．f14c47a53694b536ea36e55e5df3d40c.png D．7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png

【答案】B

【解析】

【分析】

利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．

【详解】

3862e3a8ccc80c71a7f1def5c8db63de.png，4bc77f5817385644f00ef5ea2d1a74e2.png

fe3a5c366279602bf76fc27b18d59bb8.png

605238913ce4c1149aa4b0c0420333d7.png

本题正确选项：9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png

【点睛】

本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．

5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（ ）

A．6里 B．12里 C．24里 D．48里

【答案】C

【解析】

【分析】

设第一天走8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png里，则3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png是以8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png为首项，以93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png为公比的等比数列，由题意得f7b986117875f4bfc83ae0150b5ef43b.png，求出7489cc6588ca4f41de798d90bdebd170.png（里9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png，由此能求出该人第四天走的路程．

【详解】

设第一天走8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png里，则3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png是以8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png为首项，以93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png为公比的等比数列，

由题意得：f7b986117875f4bfc83ae0150b5ef43b.png，

解得7489cc6588ca4f41de798d90bdebd170.png（里9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.pngcabc1d8369f6fc5e9c5f6ff3358b07c0.png（里9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png．

故选：C．

【点睛】

本题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．

6．已知复数fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png满足3f0c7d95bbd7755a24f47f354a2c2e10.png，则d0d97045f74bde2959afeb0472e61599.png（ ）

A．653c60f72eea745503c749baa7daf10e.png B．7bd484a0be0fb00b8f39068afc425b39.png C．8ca9318120d1a3ed802c611965821210.png D．1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc.png

【答案】A

【解析】

【分析】

由复数的运算法则计算．

【详解】

因为3f0c7d95bbd7755a24f47f354a2c2e10.png，所以489ef2ca668659ba7cd205fdd1ecad8c.png

故选：A．

【点睛】

本题考查复数的运算．属于简单题．

7．函数6d0e4675b6fbb8ebdb3a13072640ce2c.png的定义域为（ ）

A．ce4cfbf432feb76e27c3ea56476ada42.png或3f7fb4efc982d493caaaac6b3763d1b8.png B．7713e23a16dc986e084f862bb5bebca2.png或b350d1f5996c3a9648c9d2986b501e59.png

C．a3037d8e0a099a0ad760bad3a812e275.png D．7d749d604ced0e25a5364d1d8f9dd18c.png

【答案】A

【解析】

【分析】

根据偶次根式被开方数非负可得出关于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的不等式，即可解得函数f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png的定义域.

【详解】

由题意可得81eca9f022963401101315bc698d3a0b.png，解得cc69901b141619b3e8a7a398cc830108.png或5ced45d090c91b3772036c475f2ff5b3.png.

因此，函数f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png的定义域为ce4cfbf432feb76e27c3ea56476ada42.png或3f7fb4efc982d493caaaac6b3763d1b8.png.

故选：A.

【点睛】

本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.

8．已知cc1ced36b51267339d59432f0f5a81f9.png.给出下列判断：

①若832777b8d951df0396ebb4eeafc06778.png，且25503413b02e864dfcd022f0a03c901c.png，则486dfe1e9b70c52e8fda09e48508ab65.png；

②存在d07877bc9f6ee211b98a5ae6ed3ff736.png使得50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的图象向右平移81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png个单位长度后得到的图象关于415290769594460e2e485922904f345d.png轴对称；

③若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在1c82564797bc7c1fc0cdc14c7bb7dd48.png上恰有7个零点，则45bf03a575f6e81359314e906fb2bff3.png的取值范围为0dc9c1805638756addb8df6787567631.png；

④若50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在499da51605d6dc0270553669d4e87998.png上单调递增，则45bf03a575f6e81359314e906fb2bff3.png的取值范围为d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png.

其中，判断正确的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

对函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png化简可得2db452b9862e918d4405ec7098a3629c.png，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案.

【详解】

因为6dd0a51bcaf3330f6f7a496a473d3b5f.png，所以周期5531870331aadb22f0ee945be34eb22d.png.

对于①，因为f2c91cda264fefffc407f740bfc9078a.png，所以dd68570ec28e1e8017ca6268d3265d45.png，即018b35006247a6c4e99481a41aa1da1d.png，故①错误；

对于②，函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的图象向右平移81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png个单位长度后得到的函数为b3bebc2da19f4e648668cd9a0b33ffec.png，其图象关于415290769594460e2e485922904f345d.png轴对称，则808504fae6528517235613f9c7dc35f8.png，解得c3993377c194fa39d26ad2478cdbdbfc.png，故对任意整数8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png，ada989814c54bb5121ce4dba7129f16a.png，所以②错误；

对于③，令05a0a6192ed52d3b0ac042f9a95c98c4.png，可得1e7f27b41f28a5824933db61afd06d07.pnga74685f5a85a936296ea6453efa60f2a.png，则ab203c8cfd63930d9fbd649db27e959f.png，

因为fa1aa6a12ae07fea7bf0cc16ba3982b0.png，所以50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在1c82564797bc7c1fc0cdc14c7bb7dd48.png上第1个零点e2e41a37e241fe21071b160b4a6503ca.png，且212fc14cccf494422a611ce638280eb3.png，所以第7个零点23f09cc4bb60f9de706947ee8c294cfc.png，若存在第8个零点746870ccaf013c34080dbb81d882e1f3.png，则289bed9a08c94addd2865fbeaa8a1c43.png，

所以70f8c62ec018bc23d701ecdd29f133af.png，即753a2155cbe469369ca38b723e3a1483.png，解得00063f1a8e384dd7ff7ae1e01a1df7fa.png，故③正确；

对于④，因为38bb8972a0b3ab20d805078f99b64475.png，且ce6484a4b9c853d8e3a0d905e4eef57d.png，所以e49ce522f8d35f5b56354348f7e0f5f3.png，解得9abbdc169e2dab8bbb02956ae3f09f95.png，又c22a5e56a6f2f0db4c6785841caf9cf4.png，所以30b6821f8c4f9656238fd5344ee86f21.png，故④正确.

故选：B.

【点睛】

本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.

9．直三棱柱0009e4dc258a3d757dba159c76dae58f.png中，128d4a310c45ae672eb90c643b0b5cbd.png，0c906b9808314d82b6de7ef5a3bd29c7.png，则直线d63a232008ecbceb36a757eac9d9a157.png与22215eba113c07f62f2b86145ec78a48.png所成的角的余弦值为（ ）

A．2caf8383a51dc5a80a30f35520848a35.png B．fa21af7b4aa2fa85d9ddbe5a4ea785ad.png C．6a6f9d220af34df75ca26ecb8d23f3b0.png D．463e10b4289d71d8f76004d317ee77b5.png

【答案】A

【解析】

【分析】

设858ccfcaf4babb7165e3359177769b3a.png，延长9d417dea13f2855580c7c2c6dbc254cd.png至f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png，使得9b6261db3c71ef6a4a329dbc4a213eb9.png，连0dbef70daaf1d94f139a18de627e6228.png，可证85f9f53049e4c4ff4d2b4fe540a122eb.png，得到c0248bad776c012cceddcfbd531db4df.png（或补角）为所求的角，分别求出e608d7e597cb0de4705d508dca379396.png，解97f46662ccbdf3524cfe8bc274295721.png即可.

【详解】

设858ccfcaf4babb7165e3359177769b3a.png，延长9d417dea13f2855580c7c2c6dbc254cd.png至f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png，使得9b6261db3c71ef6a4a329dbc4a213eb9.png，

连0dbef70daaf1d94f139a18de627e6228.png，在直三棱柱0009e4dc258a3d757dba159c76dae58f.png中，20493e765a1450b7ae24a7b4c31d2d19.png，

015987fe1d394304a6ce5216383caa7b.png，四边形e52cdda8f968847285c4e161b0055a8f.png为平行四边形，

002add0f04d5bd4ec8014feb5216e24d.png，26b09b6d16f34ba0a5b8fe179c3446b4.png（或补角）为直线d63a232008ecbceb36a757eac9d9a157.png与22215eba113c07f62f2b86145ec78a48.png所成的角，

在94adf6255fc91030cc500e3c5468bec9.png中，dab110659f625bd603f162c2325088dd.png，

在03e1694779a04742ffe225cb1899f0ca.png中，195cf06369bdc53647c8364c507bde3d.png，

在25d862b410314e6d8d370db2c890b083.png中，

f3851722fdc5a83a00fc0f317e8a8907.png，

在a9aec7d34bd830f799978094056416f0.png中，78512c864cf7b9f1e6b44ea96ee57b78.png，

在f84a3aad0ac6caa25f3ac95171c28a12.png中，7d0b424cce5ac2207308b76a5ecd9865.png.
故选：A.

【点睛】

本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题.

10．已知函数cec137eff729d60dd422461f60423ff7.png，7e2322b10d80fcf998e59cf9a8f03c90.png，若对任意的13affbbc004d80c5469cbbbb41f09474.png，存在实数b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png满足a079fbfe188f2344099218ce06258431.png，使得369ffee75c98e5994bd1cdf7094594b5.png，则8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png的最大值是( )

A．3 B．2 C．4 D．5

【答案】A

【解析】

【分析】

根据条件将问题转化为aeeedda9d40b7094e12beda31ccc58a3.png，对于3d3e00e0b84ad6b64a3461fe9092698a.png恒成立，然后构造函数00c3424ea9894c06fe466dabc918873e.png，然后求出ca8e608169b20a94570ac837e8ba0833.png的范围，进一步得到8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png的最大值.

【详解】

b25a0456fe6f2ce3ed005795fbf4cab8.png，7e2322b10d80fcf998e59cf9a8f03c90.png，对任意的13affbbc004d80c5469cbbbb41f09474.png，存在实数b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png满足a079fbfe188f2344099218ce06258431.png，使得369ffee75c98e5994bd1cdf7094594b5.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png易得f17723063ed733e3497ef89774a4c3d9.png，即899d20aa3d6f0482574706869e44dadf.png恒成立，

7898b27ae98efc9c3cfdb2ccc8093032.png，对于3d3e00e0b84ad6b64a3461fe9092698a.png恒成立,

设00c3424ea9894c06fe466dabc918873e.png，则fda271021065d6ddf0d0c390e0f465ff.png，

令353cc3bdd30a3ae7418690e705827176.png，610a351cd189358c24cf9f6cefb9c360.png在3d3e00e0b84ad6b64a3461fe9092698a.png恒成立，

b2c1d4a0d037d3c912c68ea3f5305922.png，

故存在958b6a75985b7ae0d42e57c41a68f38f.png，使得908629a175dcfd2d38b3e12370dcec07.png，即1287fae7045b290578d6daae952c6a37.png，

当be2e4ba084d7ed67ce46013ea0027c04.png时，e6c9ceb07bced230704373b0a0ab321d.png，ca8e608169b20a94570ac837e8ba0833.png单调递减；

当86704149dcacb47d0a585113054001b9.png时，af1081e37fdfca0eb61a9d1af2c98a8f.png，ca8e608169b20a94570ac837e8ba0833.png单调递增.

274d14e82a83b8a3d7e0c7ee8c9e2c4c.png,将1287fae7045b290578d6daae952c6a37.png代入得：

406790b27e16810c751759e1ef8c1ba4.png，

dd3313fc79d4c0e616e571e4536384bd.png，且ba82e38b5b391cd55353bb08f60571db.png，

2a72191bf95a87fe3d12e8dbcd9f0d14.png

故选：A

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题.

11．已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是公差为a2a0f5e84a63d0437843ef8c753b21c4.png的等差数列，且6a5ceb0318ce2a62663f35519ff8c653.png成等比数列，则421aea9b52c112c539bc3359146707a3.png（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【解析】

【分析】

根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.

【详解】

由6a5ceb0318ce2a62663f35519ff8c653.png成等比数列得c50ba49819ff45828157299b99e077e8.png，即ecee88ef5c953cca924e6b7eaafde329.png，已知70c3b0045afdc51be2540c9d3191da7b.png，解得5960c6feffc6e9a0ec129643e1603a9d.png.

故选：7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png.

【点睛】

本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.

12．2fde8f9e6332daae925609728e53d370.png是48bde692fe16bd604c306f1c31decda5.png恒成立的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】

设96a31d6e9cc7c17a7a3040e2796e74b1.png 成立；反之，7d2f1e47691159b1843535e25aee4e6c.png满足 c5f15dfc69ef38e33185bb8f84d1d443.png，但f17f71099a4be4009aaff8b602a64e4f.png，故选A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13． “北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是aff185a245a2668ec799176ee4ca5ea6.png,acc0e15ad7914acf55fd099d980ab6bb.png,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________.

【答案】93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png

【解析】

【分析】

画出图形，结合椭圆的定义和题设条件，求得f24f071a6ff25db0c9da484cbe06a17a.png的值，即可求得椭圆的离心率，得到答案.

【详解】

如图所示，设椭圆的长半轴为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，半焦距为4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png，

因为地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是aff185a245a2668ec799176ee4ca5ea6.png,acc0e15ad7914acf55fd099d980ab6bb.png,

可得3c216f522c9eb19dc9f5a2082c73f64c.png，解得bb3d3be6b06a519ebda6b4f280a94a7d.png，

所以椭圆的离心率为54af72082a94fafa3ac97c037721143f.png.

故答案为：93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png.

【点睛】

本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，列出方程组，求得f24f071a6ff25db0c9da484cbe06a17a.png的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

14．已知点565916fdc4f0364b33ce9c7f270984a2.png是抛物线0ff78994e25d20f2d72e310f8fa2a767.png的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png，若双曲线C中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为______.

【答案】8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png

【解析】

【分析】

由点2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png坐标可确定抛物线方程，由此得到644c239c4749ba1c60e58b834027d0fc.png坐标和准线方程；过95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png作准线的垂线，垂足为a70551615177dd823474af1a4203cbfc.png，根据抛物线定义可得415290769594460e2e485922904f345d.png，可知当直线9d7fd3affa6072e1598f76e6af64655b.png与抛物线相切时，f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得0c2db65db677ca1eb545dd0c27a2074c.png点坐标，根据双曲线定义得到实轴长，结合焦距可求得所求的离心率.

【详解】

6362c4cdd6248327a1b4a7e03d5caa76.png是抛物线95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png准线上的一点 ab2fd2fc6f46da1f9baac5b8917a1cae.png

cc88a2cdd12b95af296a6833f6a9045f.png抛物线方程为f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png b7bf0bbb3aea3ebebe87dc0550cbb01d.png，准线方程为dc5e659c7ec404d6c81051eec0c72366.png

过95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png作准线的垂线，垂足为f09cde28adaf00019c27a630997ef7ee.png，则4eb9e7338d09dbc89e98fddbc529fc61.png

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png 84dde0b950017b74a01375a0b5f956c9.png

设直线5360ebb286137a6243110ab44c0fc2f0.png的倾斜角为95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png，则c03388d9eab0726041a1f75ab788218f.png

当8c95c069eb8d0328456c38beacabc590.png取得最小值时，95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png最小，此时直线7bdea27ad616b8571fbd9c6fd34a7961.png与抛物线相切

设直线95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png的方程为d9681d05860552e9c3113da381f916fc.png，代入9b55e58c93c101cb9349682c1eb816a6.png得：95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png

9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png，解得：d9681d05860552e9c3113da381f916fc.png 957d53c86d665223012f9db580ddb6c1.png或95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png

c1b507ab9ffd335b8ef8a74205ec6bb6.png双曲线的实轴长为9a89f52d1ed75e44ee14a4f13d9c1ab7.png，焦距为1cc51acdfe2e0ede3a1ae681b4c972b6.png

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png双曲线的离心率a0120a824f994d9c50192431aae8a941.png

故答案为：4bc3c43b38c136cb7a40b233c50b591e.png

【点睛】

本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用；关键是能够确定当6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png取得最小值时，直线06f6a489209115c5cef3f45036aad3ec.png与抛物线相切，进而根据抛物线切线方程的求解方法求得44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png点坐标.

15．已知44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png为椭圆cb04e748b1d83807d47fe9cfdc49c6e2.png上的一个动点，08992b1547e8c49ecad711f9198bd842.png，6a4f9c55751eabb8cd10143161abbac6.png，设直线0fd3f8dd5edc33b28db1162e15e8fcbc.png和96d4cdff8ed57e93e3b3d843cffe3af7.png分别与直线440bcb2225cd249b09bb29454f83249d.png交于69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png，8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png两点，若c33b3116eb585080aa1fa75e5ea79ca2.png与05f7c1bfa009ab88b84e565abd486dd6.png的面积相等，则线段7457cdd15d09bfc6c4dbb5d2b6f87390.png的长为______.

【答案】d65c417151b3e2b1f531682632decc01.png

【解析】

【分析】

先设44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png点坐标，由三角形面积相等得出两个三角形的边之间的比例关系，这个比例关系又可用线段上点的坐标表示出来，从而可求得点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的横坐标，代入椭圆方程得纵坐标，然后可得a42af4de46f9a2ca002ae5f8ebe94dca.png．

【详解】

如图，设e4f1b250ead2ba50cdb8642cf9433de6.png，83484c6aa0c015061155e021a599db2b.png，cbc379408b8eafe93c4d63d9cf81cd30.png，

由d77eb84011fd2d96b46ccc63eccf9743.png，得dff4afe041ce82e6138eb06d35713e60.png，

由71b26b040933b804002cb3baafbe8464.png得9a1b5a5d94b94e0fe8ae7a377a19ab40.png，∴e32b5666bd709e8274de6de714e7c3ad.png，解得6df6521c7df5697bac0891389808eef6.png，

又44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png在椭圆上，∴aef160e204cd49d68d2cd2105a1a4ec9.png，f8454c4fded28285ac4c50d755afca0e.png，

∴c8acd911d58231b506200608a01bd543.png．

故答案为：d65c417151b3e2b1f531682632decc01.png．

【点睛】

本题考查直线与椭圆相交问题，解题时由三角形面积相等得出线段长的比例关系，解题是由把线段长的比例关系用点的横坐标表示．

16．图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中f9279a2a56ec6a57378a5026c3239d07.png，则fa0be5d78de7a0b2ff1157421921c2e2.png的值是______.

【答案】4d74b90901d7ffd13195eb3e91663d76.png

【解析】

【分析】

先求出向量66e2463a39c638c919cdd76adfe650c8.png和9ee5f624f3f5a505fb6bfae0fe040ca3.png夹角的余弦值，再由公式即得.

【详解】

如图，过点c487c81042aa996131c586080b15e03e.png作aba17124f56a21b52498c9a460a3e38d.png的平行线交04c0eeafabf634a8fcc24dd533481d27.png于点9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png，那么向量66e2463a39c638c919cdd76adfe650c8.png和9ee5f624f3f5a505fb6bfae0fe040ca3.png夹角为5daf702d71ab1f8fb851f0be73b24c33.png，3a2b1cc2233e2e8d101c6493f8bb665f.png，752695409a7bede156a42f51d09367ce.png，2caf28b2e4dedcec7aa470fd646389b4.png，48b526a134fdb5cf7423c89003f67c3c.png，且3cc7b2aa82fefe0f1007228b3b09a1ba.png是直角三角形，081c447c10fe0e9d4ff7c93dabe67444.png，同理得1176b86e7d403abb46d7f6f8d27691a5.png，14f5989a4ef513379d02f9476ff360d3.png44cb76e0bc611aa2a3c0d901d5a6c0e5.png，047abf571294d4ddee6f2c4bbce9f4ab.png.

故答案为：4d74b90901d7ffd13195eb3e91663d76.png

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积，解题关键是找到向量66e2463a39c638c919cdd76adfe650c8.png和9ee5f624f3f5a505fb6bfae0fe040ca3.png的夹角.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，角ce04be1226e56f48da55b6c130d45b94.png的对边分别为a44c56c8177e32d3613988f4dba7962e.png,且8f54a06171b7585e352f81bd0c631068.png.

（1）求92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的值；

（2）若14e0f4c3c2e84bc77a0f8d3534f4c2b8.png,求b778743b8bfe44752a09fad05f764d3b.png的取值范围.

【答案】（1）b81222fd4c025444e3c3886f8530f2e8.png（2）f5073900976c5cd4034d9e9c47d07e5b.png

【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的值，所以可以考虑到根据余弦定理将56ba54a4944b9de6e5124a38947aa005.png分别用边表示，再根据正弦定理可以将688a13644939ecf727c89ccf1fe42bb4.png转化为225b9a82c2424f66c3db040f14e92ec6.png，于是可以求出92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的值；（2）首先根据8da9da3eaae2b04cf56401ffdf257669.png求出角9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png的值，根据第（1）问得到的92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png值，可以运用正弦定理求出75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png外接圆半径e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png，于是可以将b778743b8bfe44752a09fad05f764d3b.png转化为8e1be54bf61bdfbbb5a07826a33380a0.png，又因为角9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png的值已经得到，所以将8e1be54bf61bdfbbb5a07826a33380a0.png转化为关于7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也可以在求出角9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png的值后，应用余弦定理及重要不等式275b679550dc4ed24211df84f0e8f8ed.png，求出b778743b8bfe44752a09fad05f764d3b.png的最大值，当然，此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件.

试题解析：（1）由8f54a06171b7585e352f81bd0c631068.png，

应用余弦定理，可得

ef37818f5a8651f4bca6df3bd36b138d.png

化简得af33be9e307556bedcbec42667e0a078.png则b81222fd4c025444e3c3886f8530f2e8.png

（2）f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png 14e0f4c3c2e84bc77a0f8d3534f4c2b8.png

adde2159c8a682173b927ef2e6c840ce.png即b10219f5449e7dd27a8c98bc6ce5e5f7.png

4ce3f8c338130e98e8e2cb9919a850ac.png 24a11c6f68a0df5bbc114ee8d1252d2a.png 所以e0ecd6e2eb1198b5edce1dba610e4857.png

法一.f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png 7f44ac74f93704b6288f2f2118877703.png,

则bc34999c5473c977c6df264a632ab366.png

=0b76b86cbc92ac490722b275de031556.png

=3f2926471efc49cb3dacd14e1644343f.png

=baad2822d01a1e3d33c7c78d254a52a0.png

又6f20004262164be150b4ea993ee0fb79.png 08c92c4017f6e399b3334621c89fd402.png

法二

因为b81222fd4c025444e3c3886f8530f2e8.png 由余弦定理e92b531a5e1ad676ea320b24f5dcd0b7.png

得be338ca2c4519b16559ddf16ad92e6a8.png，

又因为b6a23588448f3b9bd5008a74a6504f7c.png，当且仅当3a4b324ac68dd0bf2802abe457653208.png时“43ec3e5dee6e706af7766fffea512721.png”成立.

所以be338ca2c4519b16559ddf16ad92e6a8.png 6312cf81d3981d07588cb5646a76ff68.png

4aec7e62ed0cbe166442ebe7df552f34.png又由三边关系定理可知26e216bbe051a4fbae74b71c7ed038c5.png

综上f5073900976c5cd4034d9e9c47d07e5b.png

考点：1.正、余弦定理；2.正弦型函数求值域；3.重要不等式的应用.

18．已知椭圆f819226cda7fd48fab1ba25cb3c6e002.png，点3dd2b46fe0a6e95d1eed6b4e912a5229.png为半圆d2eee806ae0c127513287e83d4c83124.png上一动点，若过44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png作椭圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的两切线分别交9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴于69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png、8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png两点.

（1）求证：72999543ccfeeca4c8bd6f98279d0992.png；

（2）当47e2e49165a953e5381c468628da47d6.png时，求f0168aee1f144c5f40751161b1e3bb43.png的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）f646bffee45a818048725dfed3681596.png.

【解析】

【分析】

（1）分两种情况讨论：①两切线21b7eb30013b04776f5b06bc59209391.png、7b6166324dc52f374d908e03602b1daf.png中有一条切线斜率不存在时，求出两切线的方程，验证结论成立；②两切线21b7eb30013b04776f5b06bc59209391.png、7b6166324dc52f374d908e03602b1daf.png的斜率都存在，可设切线的方程为b5f6981e8d36a2a314b1cd9fff1ecea1.png，将该直线的方程与椭圆的方程联立，由1afea4af73213d645ca37914acb12a91.png可得出关于8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png的二次方程，利用韦达定理得出两切线的斜率之积为768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png，进而可得出结论；

（2）求出点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png、8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png的坐标，利用两点间的距离公式结合韦达定理得出4a6aac068ed2b1927454c8201412081b.png，换元e6c45f7579fccfe4d17c746ee52d26fd.png，可得出0b1d941d3740bca1ce3406fcfce3da4a.png，利用二次函数的基本性质可求得f0168aee1f144c5f40751161b1e3bb43.png的取值范围.

【详解】

（1）由于点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png在半圆d2eee806ae0c127513287e83d4c83124.png上，则595dc659c0c47a6ce5f401c05b3c61fe.png.

①当两切线21b7eb30013b04776f5b06bc59209391.png、7b6166324dc52f374d908e03602b1daf.png中有一条切线斜率不存在时，可求得两切线方程为141f54f0fd05751b8e76655870995e6a.png，6a267007228f9f654a0d28dec6932c31.png或ac70eac92b72787601d231cf757c7025.png，6a267007228f9f654a0d28dec6932c31.png，此时72999543ccfeeca4c8bd6f98279d0992.png；

②当两切线21b7eb30013b04776f5b06bc59209391.png、7b6166324dc52f374d908e03602b1daf.png的斜率都存在时，设切线的方程为b5f6981e8d36a2a314b1cd9fff1ecea1.png（21b7eb30013b04776f5b06bc59209391.png、7b6166324dc52f374d908e03602b1daf.png的斜率分别为de83b4778b8582d6b501555da17bd8e7.png、565916fdc4f0364b33ce9c7f270984a2.png），

85c25dcd10a942894d9bd07cbd06a1a9.png7cb442598c23f2fe9c7dcc60b0d67cc8.png，

038494dcee94b2709ed8ae2d84d1bb22.png，f498be79f86b19e19362fc1264477bf0.png，a72ea95240b2b71e7ae8653f63664db6.png.

综上所述，72999543ccfeeca4c8bd6f98279d0992.png；

（2）根据题意得4f9db45aa493c614efdf23f7b803633a.png、862cecc6904c5ccac9443bd3eb0ab3fc.png，

81ab8465444af1aee61c7f168ef981f5.png21550c413afd3eac72f58920e7f9e701.png，

令e6c45f7579fccfe4d17c746ee52d26fd.png，则d258d3ab5b03a7b54268eb2ef8f2f26c.png，

所以，当5ee651229839db5e99938803c48e749c.png时，9f4d7760c115200af9ff31b703d45aa9.png，当08b07a59482285efbe2895430361690e.png时，546f546da9e514542b43d3cbde8e0975.png.

因此，f0168aee1f144c5f40751161b1e3bb43.png的取值范围是f646bffee45a818048725dfed3681596.png.

【点睛】

本题考查椭圆两切线垂直的证明，同时也考查了弦长的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题.

19．已知等差数列22a24dc84cd0b549de22d40705c9fd7a.png满足31553487745a0f7596d9431727ffd194.png，公差35cccf8c17a0c3bab5b96a31aeeaa9b7.png，等比数列3cb0df53a18654a4c503171adcfe5ff2.png满足0702c7f1637d8fb8aa35942cdc32a8b6.png，1e8608b5de2627fb56f79f46154295e0.png，c55201f937b345a3182dfb5179808f66.png．

a77b3859cea3fba07cf30043af9dafe7.png求数列29e09cf5f00b0775cca89ad37a326a33.png，82bd31ca43ce9827c52a8feb2edd11dc.png的通项公式；

4847acef124418c705153576282ebd02.png若数列c2196e00bc8bd87732d45cbe12a3522e.png满足42b0397d8c58a7907e8a76ab38946aed.png，求e7a3af492d2ffb86b834587a6a275cec.png的前66efd731e6e05610b67f2b594a3747eb.png项和82bd31ca43ce9827c52a8feb2edd11dc.png．

【答案】4847acef124418c705153576282ebd02.png，489577f621960ddd3bb74edae71215af.png；a249cd42caf3ecc76e8d0da2d37eaed9.png.

【解析】

【分析】

d38e0edf475c995ea121f4f541deaaf5.png由735a8c4a1d687a0748db5bc9ed6c54ef.png，公差22a24dc84cd0b549de22d40705c9fd7a.png，有d248122901b49cbe951b655df041b61d.png，be859485a9291a7f3708dfa810db2f87.png，30b87032660b24c41ac83dbf57e8f7f5.png成等比数列，所以533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png，解得98a765e259637f9d7f50a8cd9f5d4be7.png.进而求出数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png，d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的通项公式；

cfab2bad8acd00a6340608423c935294.png当6d24e2bc97c5e4283dd8e34674afe7ea.png时，由3928d4adca2e99ff1ac8e0d0ae772a92.png，所以6bb4a96cfe938ac6803f3c144a988958.png，当da2e344f876f3f19860694bfcac4f02a.png时，由c7b3855dac5adf49dc1d43331f6a4c0e.png，28ba863f54f7473d2c6a148c3db21e93.png，可得1fc5031fd4bef358147984442e33e8fb.png，进而求出前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和44d853a7808a331d95220fcb38095649.png．

【详解】

解：51fadace4482637a37d7ba4df5bd53b4.png由题意知，ce7bccd95db37776721a69c77d633ac3.png，公差1d1524e69d13cd77795b6d20f2fc2546.png，有1，def0b2ac15709f5e79ffb9b6391fe1fa.png，b0f90cc86355cabfc17e64988ef8ca83.png成等比数列，

所以fa7362f4df61727156f0056fa51c4bb4.png，解得87dd9e833d58394690e907aed4c2e01c.png．

所以数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式e5ce37a04469a4adc6a46e83c1e1f388.png．

数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的公比25a6377f043661c6808cd71d5bda40c7.png，其通项公式dc1c6b68e1c78687d1fb1c619831c1d9.png．

cfab2bad8acd00a6340608423c935294.png当6d24e2bc97c5e4283dd8e34674afe7ea.png时，由3928d4adca2e99ff1ac8e0d0ae772a92.png，所以6bb4a96cfe938ac6803f3c144a988958.png．

当a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png时，由c7b3855dac5adf49dc1d43331f6a4c0e.png，28ba863f54f7473d2c6a148c3db21e93.png，

两式相减得a699d58dfaaee10a1c63cbabcbc1441b.png，

所以1fc5031fd4bef358147984442e33e8fb.png．

故6a239c6e9dd0cd79758307cab11cf2f5.png

所以1481b422ffb9352ff79e12c45d74b178.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和f14996a2af126082eb40cfee0a0c1689.png

31074417f610337eb20c882f72c7dcc6.png，a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png．

又6d24e2bc97c5e4283dd8e34674afe7ea.png时，86d71c435b7e5ea31a1ca503ec827486.png，也符合上式，故75511fed93783ba3be43bdfc3d5bf3a1.png.

【点睛】

本题主要考查等差数列和等比数列的概念，通项公式，前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，方程思想，分类讨论思想，应用意识，属于中档题．

20．已知抛物线69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png：c7aa00efe62b38b9097f55c9fbab11b5.png（08297f9dcc77d2e8f0a9d461fc8d29a7.png）的焦点800618943025315f869e4e1f09471012.png到点c9974408c16e3acc08c3e83ef973eed0.png的距离为216554093aa007ab9947ed316b9c44a1.png.

（1）求抛物线69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png的方程；

（2）过点8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png作抛物线69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png的两条切线，切点分别为7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png，点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png分别在第一和第二象限内，求9a89f52d1ed75e44ee14a4f13d9c1ab7.png的面积.

【答案】（1）b7bf0bbb3aea3ebebe87dc0550cbb01d.png（2）1cc51acdfe2e0ede3a1ae681b4c972b6.png

【解析】

【分析】

（1）因为98957530e70cde6dc0f46062d6d6e2db.png，可得d9fcdab7e4e60982f1b6c8116d7e2bf0.png，即可求得答案；

（2）分别设d4cd0dabcf4caa22ad92fab40844c786.png、f0e830424544178301073a09bf236472.png的斜率为de83b4778b8582d6b501555da17bd8e7.png和565916fdc4f0364b33ce9c7f270984a2.png，切点36d096f7d525a6f569ea030c7e84d4c3.png，0ff78994e25d20f2d72e310f8fa2a767.png，可得过点8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png的抛物线的切线方程为2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png：644c239c4749ba1c60e58b834027d0fc.png，联立直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png方程和抛物线69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png方程，得到关于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png一元二次方程，根据1afea4af73213d645ca37914acb12a91.png，求得de83b4778b8582d6b501555da17bd8e7.png，565916fdc4f0364b33ce9c7f270984a2.png，进而求得切点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png坐标，根据两点间距离公式求得4313cf348a99a009bdecfefa5cd49ab4.png，根据点到直线距离公式求得点9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png到切线d9681d05860552e9c3113da381f916fc.png的距离8277e0910d750195b448797616e091ad.png，进而求得9a89f52d1ed75e44ee14a4f13d9c1ab7.png的面积.

【详解】

（1）f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png98957530e70cde6dc0f46062d6d6e2db.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.pngd9fcdab7e4e60982f1b6c8116d7e2bf0.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png解得905b566b5fb4359eb506b353ea3775f2.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png抛物线69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png的方程为b7bf0bbb3aea3ebebe87dc0550cbb01d.png.

（2）由题意可知，d4cd0dabcf4caa22ad92fab40844c786.png、f0e830424544178301073a09bf236472.png的斜率都存在，分别设为de83b4778b8582d6b501555da17bd8e7.png和565916fdc4f0364b33ce9c7f270984a2.png，切点36d096f7d525a6f569ea030c7e84d4c3.png，

0ff78994e25d20f2d72e310f8fa2a767.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png过点8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png的抛物线的切线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png：644c239c4749ba1c60e58b834027d0fc.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png由a70551615177dd823474af1a4203cbfc.png,消掉415290769594460e2e485922904f345d.png,

可得9d7fd3affa6072e1598f76e6af64655b.png，

f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png0c2db65db677ca1eb545dd0c27a2074c.png，即6362c4cdd6248327a1b4a7e03d5caa76.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png解得ab2fd2fc6f46da1f9baac5b8917a1cae.png，cc88a2cdd12b95af296a6833f6a9045f.png，

又f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png由b7bf0bbb3aea3ebebe87dc0550cbb01d.png，

得dc5e659c7ec404d6c81051eec0c72366.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.pngf09cde28adaf00019c27a630997ef7ee.png，4eb9e7338d09dbc89e98fddbc529fc61.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png同理可得84dde0b950017b74a01375a0b5f956c9.png，5360ebb286137a6243110ab44c0fc2f0.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.pngc03388d9eab0726041a1f75ab788218f.png，8c95c069eb8d0328456c38beacabc590.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png7bdea27ad616b8571fbd9c6fd34a7961.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png切线d9681d05860552e9c3113da381f916fc.png的方程为9b55e58c93c101cb9349682c1eb816a6.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png点9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png到切线d9681d05860552e9c3113da381f916fc.png的距离为957d53c86d665223012f9db580ddb6c1.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.pngc1b507ab9ffd335b8ef8a74205ec6bb6.png，

即9a89f52d1ed75e44ee14a4f13d9c1ab7.png的面积为1cc51acdfe2e0ede3a1ae681b4c972b6.png.

【点睛】

本题主要考查了求抛物线方程和抛物线中三角形面积问题，解题关键是掌握抛物线定义和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起目标的关系式

21．75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的内角ce04be1226e56f48da55b6c130d45b94.png所对的边分别是a44c56c8177e32d3613988f4dba7962e.png，且75544b5df94a4fd22304ea615e15f8bb.png，29e09cf5f00b0775cca89ad37a326a33.png.

（1）求74aefa13d6ab8e4bfbd241583749dfe8.png；

（2）若f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png边上的中线a249cd42caf3ecc76e8d0da2d37eaed9.png，求75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的面积.

【答案】（1）82bd31ca43ce9827c52a8feb2edd11dc.png，4847acef124418c705153576282ebd02.png（2）0a09295ee321a63cb5bb6a93e55d5e01.png

【解析】

【分析】

（1）先由正弦定理，得到c55201f937b345a3182dfb5179808f66.png，进而可得a77b3859cea3fba07cf30043af9dafe7.png，再由29e09cf5f00b0775cca89ad37a326a33.png，即可得出结果；

（2）先由余弦定理得e7a3af492d2ffb86b834587a6a275cec.png，66efd731e6e05610b67f2b594a3747eb.png，再根据题中数据，可得22a24dc84cd0b549de22d40705c9fd7a.png，从而可求出3990d999679b910ed222f6c76a3dffde.png，得到31553487745a0f7596d9431727ffd194.png，进而可求出结果.

【详解】

（1）由正弦定理得35cccf8c17a0c3bab5b96a31aeeaa9b7.png，

所以3cb0df53a18654a4c503171adcfe5ff2.png，

因为0702c7f1637d8fb8aa35942cdc32a8b6.png，所以1e8608b5de2627fb56f79f46154295e0.png，

即c55201f937b345a3182dfb5179808f66.png，所以a77b3859cea3fba07cf30043af9dafe7.png，

又因为29e09cf5f00b0775cca89ad37a326a33.png，所以82bd31ca43ce9827c52a8feb2edd11dc.png，4847acef124418c705153576282ebd02.png.

（2）在c2196e00bc8bd87732d45cbe12a3522e.png和42b0397d8c58a7907e8a76ab38946aed.png中，由余弦定理得

e7a3af492d2ffb86b834587a6a275cec.png，66efd731e6e05610b67f2b594a3747eb.png.

因为82bd31ca43ce9827c52a8feb2edd11dc.png，4847acef124418c705153576282ebd02.png，489577f621960ddd3bb74edae71215af.png，a249cd42caf3ecc76e8d0da2d37eaed9.png，

又因为d38e0edf475c995ea121f4f541deaaf5.png，即735a8c4a1d687a0748db5bc9ed6c54ef.png，

所以22a24dc84cd0b549de22d40705c9fd7a.png，

所以d248122901b49cbe951b655df041b61d.png，

又因为be859485a9291a7f3708dfa810db2f87.png，所以30b87032660b24c41ac83dbf57e8f7f5.png.

所以533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的面积98a765e259637f9d7f50a8cd9f5d4be7.png.

【点睛】

本题主要考查解三角形，灵活运用正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.

22．如图，正方形cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png所在平面外一点满足6fb369eb4620fe87c00b48cc1744a6f9.png，其中70b64df0b0b9a9abe352aa7df231287f.png分别是b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png与e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png的中点.

（1）求证：1f0412cc1424a57269ee37b61a8f368a.png；

（2）若0ab559df5a3b33dee19481bd3ddd51e0.png，且二面角8a31fea5fa220f16a063c4822cf82337.png的平面角的余弦值为ea9f7e5db4450aaa5ca00a08196e3969.png，求f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png与平面5a424e50ffdca719329d9ab07625d5ef.png所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）261a15863cf5ae8e2e85662e28a84a5e.png

【解析】

【分析】

（1）先证明EFb6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.png平面61666c73c504a5b1198993290a787be8.png，即可求证1f0412cc1424a57269ee37b61a8f368a.png；

（2）根据二面角8a31fea5fa220f16a063c4822cf82337.png的余弦值，可得782efb691dd7e54d19b6695fb2066770.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，以92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png为坐标原点，建立空间直角坐标系,利用向量计算线面角即可.

【详解】

（1）连接4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png，交2c9b682412689d6723e3b31653b5774c.png于点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png，

连结b3918665ee674080bf505e1b2d862187.png.则cb0c3eeae8525df1a67f50de75c7f0a6.png，

故f431867f7c954181048c378eba019135.png面61666c73c504a5b1198993290a787be8.png.

又48ee20602fc2377ed314c9ddd7175564.png面61666c73c504a5b1198993290a787be8.png，

因此1f0412cc1424a57269ee37b61a8f368a.png.

（2）由（1）知27673d13e6740f9a109e1391b2222d0b.png即为二面角8a31fea5fa220f16a063c4822cf82337.png的平面角，

且d17557b3c91a18f168af77f8b1ad5c0f.png.

在64277e0220a9a67f41a81ec453656986.png中应用余弦定理，得0ee7d64e79e7f3170d4da747d9d5de0b.png，

于是有29f245b92f78a788d2fce690cf74ba30.png，

即b65afb1b271718f0a55ffc48b26920f2.png，从而有782efb691dd7e54d19b6695fb2066770.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png.

以92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则a4eb8a32714ae41572d74c75f0ad3a39.png，

于是fd19c75c44a6dfe36c47d36cdd51b4e7.png，0743a0b51b89b61ac1ed5c288b7b7a35.png，

设平面5a424e50ffdca719329d9ab07625d5ef.png的法向量为1c38f9d49f0f126831178aca9dcb6cd4.png，

则94dc9ec70f4963af3eb4c3d16f02d0f0.png，即d67eb7d937bc2880e5c273dafadaae06.png，解得919860b52317a584e5de6f3257631d16.png

于是平面5a424e50ffdca719329d9ab07625d5ef.png的一个法向量为b6e340b6d4de34dd1bc115d775dc430c.png.设直线f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png与平面5a424e50ffdca719329d9ab07625d5ef.png所成角为7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png，因此29b741f9c3faaf2774212f5dbc518483.png.

【点睛】

本题主要考查了线面垂直，线线垂直的证明，二面角，线面角的向量求法，属于中档题.

23．如图，d7181a74a780dc53d79897e52488ed26.png平面cdd16b14e4719878d4cfa28b68964f0d.png分别是a3efd14b212e52590298b067c31d9537.png上的动点，且e51f1d5a569b4d8ab4f653ae3776376f.png.

（1）若平面ae69c26035822dcd39df8428d485f8f5.png与平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png的交线为2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png，求证：0675260103ede93f210a4fa04dc35010.png；

（2）当平面a4b9d4656cf6b92c1de53a32ddb740b1.png平面72c5cc0e2586935d16539f31a2a4fec4.png时，求平面ae69c26035822dcd39df8428d485f8f5.png与8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png平面所成的二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）4d74b90901d7ffd13195eb3e91663d76.png

【解析】

【分析】

（1）首先由线面平行的判定定理可得ec7ce4655c3ffbefd6813cd69047c951.png平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png，再由线面平行的性质定理即可得证；

（2）以点9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png为坐标原点，87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png，5fc810cf62601df84b7923b9964c53e6.png所在的直线分别为0c1ef12c1e2845808d48b347e95f12cf.png轴，以过点9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png且垂直于87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png的直线为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；

【详解】

解：（1）由e51f1d5a569b4d8ab4f653ae3776376f.png，0d60003876f3297f3a6bcf76f55c0b3c.png

又db2c9e7f15a40e2d4dc4753f75ce9845.png平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png，50ae2e8856aa4b71904205a4e8c0b96c.png平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png，所以ec7ce4655c3ffbefd6813cd69047c951.png平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png.

又e232703fd229bad9133cbc719093ef2a.png平面ae69c26035822dcd39df8428d485f8f5.png，且平面7b5c81cc646986b6eaca1b6367295e02.png平面5dddb5a94efd716398cfff3eb3e0a779.png，

故0675260103ede93f210a4fa04dc35010.png.

（2）因为877dbe7b7363064ca5b71d98d99a595b.png平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png，所以248b33f82999360c311305e5385e903b.png，又313946984089216bc8f90a1041f29b9c.png，所以9efeaea4019f6bf21848a8efe214850c.png平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png，

所以1dbcbf1aa7b0d0c189808a112f9aac5b.png，又694d6ebaba6c5cf04a0c7e6d079a158d.png，所以3db74d8c333c718aa901cbbbd0d93eff.png.

若平面a4b9d4656cf6b92c1de53a32ddb740b1.png平面72c5cc0e2586935d16539f31a2a4fec4.png，则3613672ba027ff4d2efbaa8fd087aca4.png平面72c5cc0e2586935d16539f31a2a4fec4.png，所以e0b9c369a2cc4566afb3a52014429d7a.png，

由e658cbd4345e788a6a5ff10f0fa84f21.png且2316efa15079fc7ac7e9de2d3efcf336.png，

又1e3cd941314cc20566294becd5a6b575.png，所以a92991b8ade8fb3b852ef7626b5881e8.png.

以点9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png为坐标原点，87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png，5fc810cf62601df84b7923b9964c53e6.png所在的直线分别为0c1ef12c1e2845808d48b347e95f12cf.png轴，以过点9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png且垂直于87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png的直线为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴建立空间直角坐标系，

则cb491886e46f8615b7cfebe315d9dfbc.png ，c4d27fb5ffdfd07df1f1d61e4533d9f1.png，设56787623b341d6eae03ad61a8b896db8.png

则d9ba270602b5c9df1c4ec70b392aeee7.png

由22850ce355453b2503d25071ee5126e2.png，可得3440da16783d4398d57431f20a780064.png，35b262d6a7b9de4b7505ce4bc6ed5406.png，即42f6660f242277a454350d83746a785d.png，所以可得dd1c0c9f7a31fb0482e3517bdd8a480c.png，所以a6ea82cb25495bb2c11f0f0251ef87bb.png，

设平面ae69c26035822dcd39df8428d485f8f5.png的一个法向量为56330bc302a7b97936e73f8d6a311496.png，则

d0574d110498b18a25b85dfe9009472e.png，dbc104a3c395bbb6ce2a67e35d389385.png，b496c102affc515210d0be0906d9eb72.png，取4fa1685e101f71a3eac645540c53d7f8.png，得329f0c61b62f71f6a351ff2adc66a2ee.png

所以603e73c5688a6aed379f0c96f7f285b7.png

易知平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png的法向量为ac19500f7574b00df8a16a3fef3a9654.png，

设平面ae69c26035822dcd39df8428d485f8f5.png与平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png所成的二面角为7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png，

则9d13366433e54ae4b91fb36c540c2a20.png，

结合图形可知平面ae69c26035822dcd39df8428d485f8f5.png与平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png所成的二面角的余弦值为4d74b90901d7ffd13195eb3e91663d76.png.

【点睛】

本题考查线面平行的判定定理及性质定理的应用，利用空间向量法求二面角，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/f3ffa8f64a35eefdc8d376eeaeaad1f347931150.html