高中数学 抛物线教案

抛物线的几何性质教案

一、要点归纳

1.抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

2.抛物线的性质:抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：

3.通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦H1H2称为通径；通径：|H1H2|=2P

4．焦点弦：过抛物线焦点的弦，若，

则(1) x1+，（定义） (2) ，－p2．（韦达定理）

(3) 弦长, ,即当x1=x2时,弦长最短为2p，此时弦即为通径。

(4) 若AB的倾斜角为θ，则= （焦点弦公式与韦达定理）

5. 直线与抛物线相交所得弦长公式

6.点P(x0,y0)和抛物线的位置关系

(1)点P(x0,y0)在抛物线内y<2px0

(2)点P(x0,y0)在抛物线上y=2px0

(3)点P(x0,y0)在抛物线外y>2px0

7.直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．

这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：

注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．

二、例题分析

[例1] 给定抛物线，设A（）（），P是抛物线上的一点，且，试求的最小值。

解：设（）（）   则   

∴

∵ ，

∴（1）当时，，此时当时，

（2）当时，，此时当时，

[例2] 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，设交抛物线于A、B两点，求。

解：当时，直线AB的方程为

由得A（）、B（，）  ∴

当时，直线AB的方程为

由得

设A（）、B（），则

∴

[例3] 过抛物线的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点？

解：抛物线的准线与对称轴的交点为（），设直线MN的方程为

由  得

∵ 直线与抛物线交于M、N两点    ∴

即，，

设M（，），N（），抛物线焦点为F（1，0）

∵ 以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点

∴ MF⊥NF    ∴   即

又 ，，且、同号

∴    解得    ∴

即直线的倾斜角为或时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点。

[例4] 过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，求的值。

解：如图所示，设A（）、B（），AB的方程为

由得    ∴

又 ∵ ，   ∴  

∴    ∴    又

[例5] 如图，已知直线：交抛物线于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使的面积最大，并求这个最大面积。

解：由解得A（4，4）、B（1，），知，所以直线AB的方程为

设P（）为抛物线AOB这条曲线上一点，为P点到直线AB的距离

    ∵

∴      ∴

从而当时，

因此，当点P坐标为时，

[例6] 已知直线与曲线在第一象限有公共点，求的取值范围。

解：如图，易知抛物线与轴交于A（0，1）、B（0，3）

直线恒过C（），由图象及抛物线的延伸趋势可知

当大于零且小于BC的斜率时满足题意

而，故。

 [例7] 设抛物线的焦点为F，经过点F的直径交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//轴，证明：直线AC经过原点O。

证：因为抛物线的焦点坐标为F（）

所以经过点F的直线AB的方程为

代入抛物线方程得0

设A（）、B（），则

∵ BC//轴，且点C在准线上    ∴ 点C的坐标为

故直线OC的斜率为

即也是OA的斜率，所以直线AC经过原点O

[例8] 如果抛物线上总有关于直线对称的相异两点，试求的范围。

解：设抛物线上关于对称的相异两点坐标为A（）、B（）

∵ 两点都在抛物线上    ∴

（1）－（2），得     ∵ （A、B两点相异）∴ （3）

（3）代入（2），得

∵ ，且相异    ∴

∴    ∴ 的取值范围是（）

三、课堂练习

1．双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为 （　　）

A．3/16 B．3/8 C．16/3 D．8/3

2．已知双曲线的中心在原点，离心率为．若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是 （ ）

A． B． C． D．21

4．抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）

A．17/16 B．15/16 C．7/8 D．0

5．过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线有 条.

6．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）.

①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形

7．抛物线以轴为准线，且过点，证明：不论点在坐标平面内的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹的离心率是定值．

8. 已知抛物线，过动点且斜率为的直线与该抛物线交于不同两点，，

（1）求取值范围； （2）若线段垂直平分线交轴于点，求面积的最大值

练习答案：

1. A 2. B 3. D 4. B 5. 有且仅有两条 6. ②③⑤

7. 设抛物线的焦点的坐标为，根据抛物线的定义可知，点到点的距离等于点到轴的距离，则①

又设抛物线顶点的坐标为，∵为线段的中点，则,

代入①得， 即抛物线的顶点的轨迹方程为：，

∵，∴抛物线顶点的轨迹是椭圆，其中长半轴长为，短半轴长为，

则半焦距，所以它的离心率为定值.

8. （1）由题知的方程为，设，

由，得，

∴，得， ∵，

∴，，

得，∴取值范围．

（2）的中点，∴线段垂直平分线方程：， ∴，

，当时面积的最大值．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/f105f3ef998fcc22bcd10d29.html