等腰直角三角形中的常用模型
模型一:一条直线(不与三角形的边重合)过等腰直角三角形的直角顶点
(1)以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边,必定可以构造一对全等的直角三角形:
例1.如图:RtΔABC中,∠BAC=90º,AB=AC,点D是BC上任意一点,过B作BE⊥AD于点E,过C作CF⊥AD于点F。
(1)求证:BE-CF=EF;
(2)若D在BC的延长线上(如图(2)),(1)中的结论还成立吗若不成立,请写出新的结论并证明。
1.如图1,等腰Rt△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,点P在线段BC上(不与B、C重合),以AP为腰长作等腰直角△PAQ,QE⊥AB于
(1)求证:M为BE的中点
(2)若PC=2PB,求
(2)以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边,必定可以构造一对全等的直角三角形:
3、如图:RtΔABC中,∠BAC=90º,AB=AC,点D是BC上任意一点,过B作BE⊥AD于点E,交AC于点G,过C作CF⊥AC交AD的延长线与于点F。
(1)求证:BG=AF;
(2)若D在BC的延长线上(如图(2)),(1)中的结论还成立吗若不成立,请写出新的结论并证明。
变式1:如图,在R
变式2:等腰Rt△ABC中,AC=AB,∠BAC=90°,点D是AC的中点,AF⊥BD于点E,交BC于点F,连接DF,求证:∠1=∠2。
变式3:等腰Rt△ABC中,AC=AB,∠BAC=90°,点D、E是AC上两点且AD=CE,AF⊥BD于点G,交BC于点F连接DF,求证:∠1=∠2。
模型二:等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边
等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边,一定可以以两腰为对应边构造全等三角形
例1:等腰Rt△ABC中,AC=AB,∠BAC=90°,E是AC上一点,过C作CD⊥BE于D,连接AD,求证:∠ADB=45°。
变式1:等腰Rt△ABC中,AC=AB,∠BAC=90°,E是AC上一点,点D为BE延长线上一点,且∠ADC=135°求证:BD⊥DC。
变式2:等腰Rt△ABC中,AC=AB,∠BAC=90°,BE平分∠ABC交AC于E,过C作CD⊥BE于D,DM⊥AB交BA的延长线于点M,
(1)求
模型三:两个等腰直角三角形共一个顶点
(1)两个等腰直角三角形共直角顶点,必定含一对全等三角形:
例1、如图1,△ABC、△BEF都是等腰直角三角形,∠ABC=∠BEF=90º,连接AF、CF,M是AF的中点,连ME,将△BEF绕点B旋转。猜想CF与EM的数量关系并证明;
(2)两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反,必定可利用平移构造含一对全等三角形:
如图,△ABC和△EBD都是等腰直角三角形,∠BAC=∠BED=90º。把DE平移到CF,使E与C重合,连接AE、AF,则△AEB与△AFC全等(关键是利用平行证明∠ABE=∠ACF)
例.如图:两个直角三角形ABC、ADE的顶点A重合,P是线段BD的中点,连PC、PE。
(1)如图1,若∠BAC=∠DAE=45°,当A、C、D在同一直线上时,线段PC、PE的关系是 ;
(2)如图2、3,将⊿BAC绕A旋转α度,(1)中的结论是否仍然成立任意选择一个证明你的结论。
三【巩固练习】
1.已知:Rt⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,若O是BC的中点,以O为顶点作∠MON,交AB、AC于点M、N。
(1)若∠MON=90°(如图1),求证:OM=ON;
(2)若∠MON=45°(如图2),求证:①AM+MN=CN;
2、如图,在平面直角坐标系中,△AOB为等腰直角三角形,A(4,4)。
(1)若C为x轴正半轴上一动点,以AC为直角边作等腰直角△ACD,∠ACD=90°,连OD,求∠AOD的度数;
(2)过A作y轴的垂线交y轴于E,F为x轴负半轴上一点,G在EF的延长线上,以EG为直角边作等腰Rt△EGH,过A作x轴垂线交EH于点M,连FM,等式
3.在△ABC和△DCE中,AB=AC,DC=DE,∠BAC=∠EDC=90°,点E在AB上,连AD,DF⊥AC于点F。试探索AE、AF、AC的数量关系;并求出∠DAC的度数。
4.如图:等腰Rt△ABC和等腰Rt△EDB,AC=BC,DE=BD,∠ACB=∠EDB=90°,E为AB是一点,P为AE的中点。
⑴连接PC,PD;则PC,PD的位置关系是 ;数量关系是 ;并证明你的结论。
⑵当E在线段AB上变化时,其它条件不变,作EF⊥BC于F,连接PF,试判断△PCF的形状;在点E运动过程中,△PCF是否可为等边三角形若可以,试求△ACB与△EDB的两直角边之比。
6.已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC,Rt△CEF,∠ABC=∠CEF=90°,连接AF,M是AF的中点,连接MB、ME.
(1)如图1,当CB与CE在同一直线上时,求证:MB∥CF;(2)如图1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长;
(3)如图2,当∠BCE=45°时,求证:BM=ME.
7、如图,在平面直角坐标系中,A (4,0),B (0,4)。点N为OA上一点,OM⊥BN于M,且∠ONB=45°+∠MON。
(1)求证:BN平分∠OBA;
(2)求
(3)若点P为第四象限内一动点,且∠APO=135°,问AP与BP是否存在某种确定的位置关系请证明你的结论。
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