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[专题整理][解答题]放缩法、构造法数列、导函数

发布时间：2013-05-30 12:31:40 来源：文档文库

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高考压轴题中的放缩法与构造法

（数列与不等式、函数与不等式）

总的来说，高考中与不等式有关的大题（主要是证明题）一般常用均值不等式、构造函数后用导数工具、裂项相消等常见放缩法来解决．证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：以下的所有放缩法中裂项相消法、均值不等式法放缩、二项分布法放缩以及函数放缩法最常用必须掌握，所以要先看这些方法．其他的方法，如果有精力的话可以了解一下．如果真的掌握不了也足以应付高考．

一、裂项放缩

【例1】（1）求的值；（2）求证：．

【解析】

（1）∵，∴．

（2）∵，∴．

【常用放缩技巧】

（1）；

（2）；

（3）（）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）；

（9），；

（10）；

（11）；

（12）（）；

（13）

；

（14）；

（15）；

（16）（）；

（17）．

【例2】（1）求证：（）；

（2）求证：；

（3）求证：；

（4）求证：．

【解析】

（1）∵，∴；

（2）；

（3）先运用分式放缩法证明出，再结合进行裂项，最后就可以得到答案；

（4）首先，∴容易经过裂项得到；再证，而由均值不等式知道这是显然成立的，∴．

【例3】求证：．

【解析】

一方面：∵，∴；另一方面：；当时，，当时，，当时，，∴综上有．

【例4】（2008年全国卷）设函数，数列满足，．设，整数．证明：．

【解析】

由数学归纳法可以证明是递增数列，故存在正整数，使，则，否则若（），则由知：，，∵，于是．

【例5】已知：、，，，求证：．

【解析】

首先可以证明：．

，∴要证：，只要证：

；故只要证：，即等价于，即等价于，，而正是成立的，∴原命题成立．

【例6】已知：，，求证：．

【解析】

，∴；从而．

【例7】已知：，，求证：（）．

【解析】

，∵，∴，∴（）．

二、函数放缩

【例8】求证：（）．．

【解析】

先构造函数由，从而；∵

，∴．

【例9】求证：，（）．

【解析】

构造函数，得到，再进行裂项，求和后可以得到答案；或函数构造形式：，（）．

【例10】求证：．

【解析】

提示：．函数构造形式：，．

当然本题的证明还可以运用积分放缩：如图，取函数．

首先：，从而，取有，，∴有、、、、，相加后可以得到：；另一方面，从而有，取有，，∴有，∴综上有．

【例11】求证：和．

【解析】

构造函数后即可证明．

【例12】求证：．

【解析】

，叠加之后就可以得到答案．

函数构造形式：（）（）（加强命题）

【例13】证明：（，）．

【解析】

构造函数（），求导可以得到：，令，有，令，有，∴，∴，令有，，∴，∴（，）．

【例14】已知，，证明：．

【解析】

，然后两边取自然对数，可以得到，然后运用和裂项可以得到答案．

放缩思路：

．于是，，即．

注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论（）来放缩：，即．

【例15】（2008年厦门市质检）已知函数是在上处处可导的函数，若在上恒成立．

（1）求证：函数在上是增函数；

（2）当，时，证明：；

（3）已知不等式在且时恒成立，求证：（）．

【解析】

（1），∴函数在上是增函数；

（2）∵在上是增函数，∴；，两式相加后可以得到．

（3）【方法一】；；；；

相加后可以得到：，

∴；

令，有

，

∴（）．

【方法二】，∴，又，∴（）．

【例16】（2008年福州市质检）已知函数．若，，证明：．

【解析】

设函数（），∵，∴，∴，∵，令，则有，∴函数在上单调递增，在上单调递减，∴的最小值为，即总有；而，∴，即，令，，则，∴，∴．

三、分式放缩

姐妹不等式：（，）和（，）；记忆口诀“小者小，大者大”；解释：看的大小，若小，则不等号是小于号，反之．

【例19】姐妹不等式：和，也可以表示成为：和．

【解析】

利用假分数的一个性质（，）可得：，即．

【例20】证明：．

【解析】

运用两次次分式放缩：（加1）；（加2）；两式相乘可以得到：，∴有．

四、分类放缩

【例21】求证：．

【解析】

．

【例22】（2004年全国高中数学联赛加试改编）在平面直角坐标系中，轴正半轴上的点列与曲线（）上的点列满足，直线在轴上的截距为．点的横坐标为，．

（1）证明：，；

（2）证明有，使得对都有．

【解析】

（1）依题设有：，由得：，又直线在轴上的截距为满足，，，，，显然，对于，有．

（2）证明：设，则

；设，则当时，．∴，取，对都有：；故有<成立．

【例23】（2007年泉州市高三质检）已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0]．若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论．

【解析】

首先求出，∵，∴，∵，，…，，故当时，，因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，则当时，必有．故不存在常数A使对所有的正整数恒成立．

【例24】（2008年中学教学参考）设不等式组表示的平面区域为，设内整数坐标点的个数为．设，当时，求证：．

【解析】

容易得到，∴，要证只要证，∵，∴原命题得证．

五、迭代放缩

【例25】已知，求证：当时，．

【解析】

通过迭代的方法得到，然后相加就可以得到结论．

【例26】设，求证：对任意的正整数k，若k≥n恒有：|Sn+k－Sn|<．

【解析】

，又，∴．

六、借助数列递推关系

【例27】求证：．

【解析】

设，则，从而，相加后就可以得到，∴．

【例28】求证：．

【解析】

设，则，从而，相加后就可以得到．

【例29】若，求证：．

【解析】

，∴就有．

七、分类讨论

【例30】已知数列的前项和满足证明：对任意的整数，有．

【解析】

容易得到，由于通项中含有，很难直接放缩．考虑分项讨论：当，且为奇数时，（减项放缩），于是：

当且为偶数时，；当且为奇数时，（添项放缩），由知：；由得证．

八、线性规划型放缩

【例31】设函数．若对一切，，求的最大值．

【解析】

由知：，即，由此再由的单调性可以知道的最小值为，最大值为1，因此对一切，的充要条件是：，即、满足约束条件，由线性规划得：的最大值为5．

九、均值不等式放缩

【例32】设，求证：．

【解析】

此数列的通项为；，，即．

注：应注意把握放缩的“度”，上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成，则得，就放过“度”了！根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里；其中，等的各式及其变式公式均可供选用．

【例33】已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：．

【解析】

．

【例34】已知为正数，且，试证：对每一个，．

【解析】

由得：，又，故，而，令，则=，∵，倒序相加得=，而，

则=，∴，即对每一个，．

【例35】求证：．

【解析】

不等式左=，原结论成立．

【例36】已知，求证：．

【解析】

；经过倒序相乘，就可以得到．

【例37】已知，求证：．

【解析】

；其中：，∵，∴，从而，∴．

【例38】若，求证：．

【解析】

；∵当时，，∴，∴，当且仅当时取到等号．∴，∴∴．

【例39】已知，求证：．

【解析】

．

【例40】已知函数f（x）=x2－（－1）k·2lnx（k∈N*）．k是奇数，n∈N*时，求证：[f’（x）]n－2n－1·f’（xn）≥2n（2n－2）．

【解析】

由已知得，（1）当n=1时，左式=右式=0．∴不等式成立；（2），左式=；令．由倒序相加法得：，∴；∴综上，当k是奇数，时，命题成立．

【例41】（2007年东北三校）已知函数．

（1）求函数的最小值，并求最小值小于0时的取值范围；

（2）令，求证：．

【解析】

【例42】（2008年江西卷）已知函数，．对任意正数，证明：．

【解析】

对任意给定的，，由；若令，则①，而②；先证；∵，，，又由，得．∴．再证；由①②式中关于的对称性，不妨设．则；当，则，∴，∵，，此时；当③，由①得，，，∵，∴④；同理得⑤，于是⑥；现证明⑦，∵，只要证，即，也即，根据③此为显然．因此⑦得证．故由⑥得．综上所述，对任何正数，皆有．

【例43】求证：．

【解析】

一方面：（法一）；（法二）；另一方面：．

十、二项放缩

，，，

【例44】已知，证明：．

【解析】

，即

【例45】设，求证：数列单调递增且

【解析】

引入一个结论：若，则（证略）；整理上式得：（）；以代入（）式得：；即单调递增．以代入（）式得；此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又∵数列单调递增，∴对一切正整数有．

注：上述不等式可加强为，简证如下：利用二项展开式进行部分放缩：；只取前两项有对通项作如下放缩：

；故有；上述数列的极限存在，为无理数；同时是下述试题的背景：（2001年全国卷理科第20题）已知是正整数，且（1）证明；（2）证明．

【分析】对第（2）问：用代替得数列是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列递减，且故即．当然，本题每小题的证明方法都有10多种，如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！

【例46】已知a+b=1，a>0，b>0，求证：．

【解析】

∵a+b=1，a>0，b>0，可认为成等差数列，设，从而．

【例47】设，求证．

【解析】

观察的结构，注意到，展开得：，即，得证．

【例48】求证：．

【解析】

参见上面的方法，希望读者自己尝试！

【例49】（2008年北京海淀5月练习）已知函数，满足：①对任意，都有；②对任意都有．

（1）试证明：为上的单调增函数；

（2）求；

（3）令，试证明：．．

【解析】

（1）运用抽象函数的性质判断单调性：∵，∴可以得到，也就是，不妨设，∴，可以得到，也就是说为上的单调增函数．

（2）此问的难度较大，要完全解决出来需要一定的能力！首先我们发现条件不是很足，尝试探索看看按（1）中的不等式可以不可以得到什么结论，一发现就有思路了！由（1）可知：，令，则可以得到：，又，∴由不等式可以得到，又，∴可以得到①．接下来要运用迭代的思想：∵，∴，，②；，，，．在此比较有技巧的方法就是：，∴可以判断③；当然，在这里可能不容易一下子发现这个结论，∴还可以列项的方法，把所有项数尽可能地列出来，然后就可以得到结论，∴综合①②③有=．

（3）在解决的通项公式时也会遇到困难．，∴数列的方程为，从而．一方面，；另一方面，，∴，∴综上有．

【例50】已知函数的定义域为[0，1]，且满足下列条件：①对于任意[0，1]，总有，且；②若，则有．

（1）求f（0）的值；

（2）求证：f（x）≤4；

（3）当时，试证明：．

【解析】

（1）令，由①对于任意[0，1]，总有，∴，又由②得即，∴．

（2）任取且设，则，∵，∴，即，∴，∴当[0，1]时，．

（3）先用数学归纳法证明：．当n=1时，，不等式成立；假设当n=k时，，由，得：．即当n=k+1时，不等式成立．由上可知，不等式对一切正整数都成立．于是，当时，，而[0，1]，单调递增，∴，∴．

【例51】已知：，求证：．

【解析】

构造对偶式：令，；则＝，又（，．

十一、积分放缩

利用定积分的保号性比大小；保号性是指：定义在上的可积函数，则．

【例52】求证：．

【解析】

，∵，当时，，，∴，．

利用定积分估计和式的上下界：定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和．

【例53】求证：，．

【解析】

考虑函数在区间上的定积分．如图，显然①；对求和，．

【例54】已知．求证：．

【解析】

考虑函数在区间上的定积分，∵②；∴．

【例55】（2003年全国高考江苏卷）设，如图，已知直线及曲线：，上的点的横坐标为（）．从上的点作直线平行于轴，交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点．的横坐标构成数列．

（1）试求与的关系，并求的通项公式；

（2）当时，证明；

（3）当时，证明．

【解析】

（1）（过程略）．

（2）由知：，∵，∴，∵当时，，∴．

（3）由知：，∴恰表示阴影部分面积，显然④，∴．

技巧积累：将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如：①；②；③；④．

十二、部分放缩（尾式放缩）

【例56】求证：．

【解析】．

【例57】设求证：．

【解析】

，又（只将其中一个变成，进行部分放缩），，于是．

【例58】设数列满足，当时证明对所有有：（1）；（2）．

【解析】

（1）用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，，成立．

（2）利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得：，．

注：上述证明（1）用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明（2）就直接使用了部分放缩的结论．

十三、三角不等式的放缩

【例59】求证：．

【解析】

（1）当时，．

（2）当时，构造单位圆，如图所示，∵三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积，∴可以得到；当时，∴当时，有．

（3）当时，，由（2）可知：，∴综上有．

十四、使用加强命题法证明不等式

（一）同侧加强：对所证不等式的同一方向（可以是左侧，也可以是右侧）进行加强．如要证明，只要证明（），其中通过寻找分析，归纳完成．

【例60】求证：对一切（），都有．

【解析】

．从而．

当然本题还可以使用其他方法，如：

，

∴．

（二）异侧加强（数学归纳法）

（三）双向加强：有些不等式，往往是某个一般性命题的特殊情况．这时，不妨“返璞归真”，通过双向加强还原其本来面目，从而顺利解决原不等式．其基本原理为：欲证明，只要证明：（，）．

【例61】已知数列满足：，，求证：（）．

【解析】

，从而，∴有，∴，又，∴，∴有，∴，∴综上有（）．

【引申1】已知数列满足：，，求证：．

【解析】

由上可知：，又，∴，从而（），又当时，，∴综上有．

【引申2】（2008年浙江卷）已知数列，，，（）．记，．

求证：当时．（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1），猜想：．

下面用数学归纳法证明：当时，，结论成立；假设当时，，则时，，从而，∴，∴综上有，故．

（2）∵，则，，…，，相加后可以得到：，∴，∴．

（3）∵，从而，有，∴有，从而，∴，∴，∴综上有．

【例62】（2008年陕西省卷）已知数列的首项，，．

（1）证明：对任意的，，；

（2）证明：．

【解析】

（1）【方法一】依题意，容易得到，要证，，，即证，即证，设，∴即证明，从而，即，这是显然成立的，∴综上有对任意的，，．

【方法二】，∴原不等式成立．

（2）由（1）知，对任意的，有．∴取，则，∴原不等式成立．

十五、经典题目方法探究

【例63】（2008年福建卷）已知函数．若在区间（）上的最小值为，令．求证：．

【解析】

首先，可以得到．先证明：．

【方法一】，∴．

【方法二】∵，，，，相乘得：，从而．

【方法三】设，，∵，∴，∴，从而．

下面介绍几种方法证明：．

【方法一】∵，∴，∴有．

【方法二】，∵，∴，令，可以得到，∴有．

【方法三】设，，∴，从而，从而，

，又，∴．

【方法四】运用数学归纳法证明：．

当时，左边，右边，显然不等式成立；假设（）时，；则当时，，∴要证明，只要证明：，这是成立的．这就是说当时，不等式也成立，∴综上有．

【例64】（2008年全国2卷）设函数．如果对任何，都有，求的取值范围．

【解析】

∵，∴．设，则

，，∵，∴．

当时，恒成立，即，∴当时，恒成立．

当时，，因此当时，不符合题意．

当时，令，则，故当时，．因此在上单调增加．故当时，，即．于是，当时，，∴综上有的取值范围是．

【变式1】若，其中1、2、3、、，且，，求证：．

【解析】

容易得到，由上面那个题目知道，就可以知道．

【变式2】（2006年全国1卷）已知函数．若对任意，恒有，求的取值范围．

【解析】

函数的定义域为，导数为．

当时，在区间为增函数，故对于任意，恒有，因而这时满足要求；当时，在区间为减函数，故在区间内任取一点，比如取，就有，且，因而这时不满足要求；当时，对于任意，恒有，这时满足要求．综上可知：所求的取值范围为．

放缩法证明不等式

1、添加或舍弃一些正项（或负项）

【例1】已知（），求证：（）．

【解析】

∵（1、2、3、、），∴，∴（）．

【点评】若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小．由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的．本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简．

2、先放缩再求和（或先求和再放缩）

【例2】函数，求证：（）．

【解析】

由得：（）．

【点评】此题不等式左边不易求和，此时根据不等式右边特征，先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和．若分子，分母如果同时存在变量时，要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式．如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可．

3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）

【例3】已知：，求证：．

【解析】

．

【点评】本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标．

4、放大或缩小“因式”

【例4】已知数列满足，，求证：．

【解析】

∵，，∴，，，∴当时，，∴．

【点评】本题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明．

5、逐项放大或缩小

【例5】设，求证：．

【解析】

∵，，∴，∴，∴．

【点评】本题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的．

6、固定一部分项，放缩另外的项

【例6】求证：．

【解析】

∵，∴．

【点评】此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处．

7、利用基本不等式放缩

【例7】已知：，证明：不等式，对任何正整数、都成立．

【解析】

要证，只要证：，∵，，故只要证：，即只要证：，∵，∴命题得证．

【点评】本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由放大即可．

8、先适当组合、排序，再逐项比较或放缩

【例8】已知：、、是正整数，且．

（1）证明：；（2）证明：．

【解析】

（1）对于，且，，同理，由于，对于整数1、2、、，有，∴，即．

（2）由二项式定理有：，，由（1）知：（），而，，∴（），∴，，，，，，，，∴，即成立．

构造法证明不等式（一）

1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点．

2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．

一、移项法构造函数

【例1】已知函数，求证：当时，恒有．

【分析】

本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数，从其导数入手即可证明．

【解析】

由题意得：，∴当时，，即在上为增函数；当时，，即在上为减函数；故函数的单调递增区间为，单调递减区间；于是函数在上的最大值为，因此，当时，，即，∴（右面得证）．

现证左面，令，，当时，；当时，，即在上为减函数，在上为增函数，故函数在上的最小值为，∴当时，，即，∴．综上可知：当时，有．

【点评】如果是函数在区间上的最大（小）值，则有（或），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证．

2、作差法构造函数证明

【例2】已知函数，求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方．

【分析】

函数的图象在函数的图象的下方不等式在上恒成立问题，即，只需证明在区间上，恒有成立，设，，考虑到，要证不等式转化变为：当时，，这只要证明：在区间是增函数即可．

【解析】

设，即，则；当时，，从而在上为增函数，∴，∴当时，，即，故在区间上，函数的图象在函数的图象的下方．

【点评】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式．读者也可以设做一做，深刻体会其中的思想方法．

3、换元法构造函数证明

【例3】（2007年山东卷）证明：对任意的正整数，不等式都成立．

【分析】

本题是山东卷的第（2）问，从所证结构出发，只需令，则问题转化为：当时，恒有成立，现构造函数，求导即可达到证明．

【解析】

令，则在上恒正，∴函数在上单调递增，∴时，恒有，即，∴，对任意正整数，取，则有．

【点评】我们知道，当在上单调递增，则时，有．如果＝，要证明当时，，那么，只要令＝－，就可以利用的单调增性来推导．也就是说，在可导的前提下，只要证明0即可．

4、从条件特征入手构造函数证明

【例4】若函数在上可导，且满足不等式恒成立，常数、满足，求证：．

【解析】

由已知：，∴构造函数，则，从而在上为增函数，∵，∴，即．

【点评】由条件移项后，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数，求导即可完成证明．若题目中的条件改为，则移项后，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结．

5、主元法构造函数

【例5】已知函数，．

（1）求函数的最大值；

（2）设，证明：．

【分析】

对于第（2）小问，绝大部分的学生都会望而生畏．学生的盲点也主要就在对所给函数用不上．如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的．

【解析】

（1）过程略；

（2）对求导，则．在中以为主变元构造函数，设，则．当时，，因此在内为减函数；当时，，因此在上为增函数．从而当时，有极小值，∵，，∴，即．又设，则；当时，．因此在上为减函数，∵，，∴，即．

6、构造二阶导函数证明函数的单调性（二次求导）

【例6】已知函数．

（1）若在上为增函数，求的取值范围；

（2）若，求证：当时，．

【解析】

（1），∵在上为增函数，∴对恒成立，即对恒成立；记，则；当时，；当时，．知在上为增函数，在上为减函数，∴在时，取得最大值，即，∴，即的取值范围是．

（2）记（），则，令，则；当时，，∴在上为增函数，又在处连续，∴，即，∴在上为增函数，又在处连续，∴，即．

【点评】当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题．不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为（或）恒成立，于是大于的最大值（或小于的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法．