一句话一类题立体几何多面体与外接球问题专项归纳

发布时间：2018-07-01 11:33:44 来源：文档文库

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1、一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各顶点在一个球面上,则这个球的表面积是(　　)

A.16π B.20π C.24π D.32π

2、一个正四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为(　　)

A.3π B.4π C.3π D.6π

3.在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.

4.一个正四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为(　　)

A.3π B.4π C.3π D.6π

1、答案:C

解:由题意知,该棱柱是一个长方体,其长、宽、高分别为2,2,4.所以其外接球的半径R==.所以球的表面积是S=4πR2=24π.

2、答案:A以四面体的棱长为正方体的面对角线构造正方体,则正方体内接于球,正方体棱长为1,则体对角线长等于球的直径,即2R=,

所以S球=4πR2=3π.

3、解

将半球补成整个的球（见题中的图）,同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,那么这个长方体的体对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为a,球的半径为R,则根据长方体的对角线性质,得(2R)2=a2+a2+(2a)2,即4R2=6a2.

所以R=a.

从而V半球=R3==a3,

V正方体=a3.

因此V半球∶V正方体=a3∶a3=π∶2.

4

答案:A

解析:以PA,PB,PC为棱作长方体,则该长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球,所以球的半径R==2,所以球的表面积是S=4πR2=16π.

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关

案

例