2015-2016学年湖北省武汉外国语学校高二(上)期末数学试卷(文科)
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.已知命题P:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是正数,则下列命题中为真命题的是( )
A.(¬p)∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q) D.(¬p)∨(¬q)
2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )
A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石
3.“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件是( )
A.﹣2<m<﹣1 B.m<﹣2或m>﹣1 C.m<0 D.m>0
4.设y∈R,则点P(1,y,2)的集合为( )
A.垂直于xOz平面的一条直线 B.平行于xOz平面的一条直线;
C.垂直于y轴的一个平面 D.平行于y轴的一个平面
5.某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为( )
A.11 B.12 C.13 D.14
6.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为( )
A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8
7.已知x与y之间的几组数据如下表:
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=b′x+a′,则以下结论正确的是( )
A.>b′,>a′ B.>b′,<a′ C.<b′,>a′ D.<b′,<a′
8.将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则( )
A.对任意的a,b,e1>e2
B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2
C.对任意的a,b,e1<e2
D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2
9.某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是( )
A. B. C. D.
10.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
A.08 B.07 C.02 D.01
11.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=( )
A.0 B.2 C.4 D.14
12.椭圆x2+=1短轴的左右两个端点分别为A,B,直线l过定点(0,1)交椭圆于两点C,D.设直线AD,CB的斜率分别为k1,k2,若k1:k2=2:1,则直线l斜率k的值为( )
A.k=2 B.k=3 C..k=或3 D.k=2或
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见表(单位:人).则x= ,y= ;
若从高校B,C抽取的人中选2人作专题发言,则这2人都来自高校C的概率= .
14.一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行,某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的概率为 .
15.已知双曲线C:﹣=1,若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A、B两点,且=3,则双曲线C的离心率的最小值为 .
16.以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[﹣M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:
①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;
②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;
③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B.
④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>﹣2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.
其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号)
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知P:2x2﹣9x+a<0,q:且¬p是¬q的充分条件,求实数a的取值范围.
18.某学校共有高一、高二、高三学生2000名,各年级男、女人数如图:已知在全校学生中随机抽取1名,抽取高二年级女生的概率是0.19.
(1)求x的值;
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取60名学生,问应在高三年级抽取多少名?
(3)已知y≥245,z≥245,求高三年级中女生比男生多的概率.
19.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(﹣1,f(﹣1))处的切线方程为6x﹣y+7=0.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)求函数y=f(x)的单调区间.
20.已知圆C1:x2+y2+6x﹣4=0,圆C2:x2+y2+6y﹣28=0.
(1)求过这两个圆交点的直线方程;
(2)求过这两个圆交点并且圆心在直线x﹣y﹣4=0上的圆的方程.
21.我们把由半椭圆(x≥0)与半椭圆(x≤0)合成的曲线称作“果圆”,其中a2=b2+c2,a>0,b>c>0.如图,点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A2和B1,B2分别是“果圆”与x,y轴的交点.
(1)若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程;
(2)当|A1A2|>|B1B2|时,求的取值范围.
22.已知函数
f(x)=(cosx﹣x)(π+2x)﹣(sinx+1)
g(x)=3(x﹣π)cosx﹣4(1+sinx)ln(3﹣)
证明:
(Ⅰ)存在唯一x0∈(0,),使f(x0)=0;
(Ⅱ)存在唯一x1∈(,π),使g(x1)=0,且对(Ⅰ)中的x0,有x0+x1<π.
2015-2016学年湖北省武汉外国语学校高二(上)期末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.已知命题P:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是正数,则下列命题中为真命题的是( )
A.(¬p)∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q) D.(¬p)∨(¬q)
【考点】复合命题的真假.
【分析】由命题P:所有有理数都是实数,是真命题,命题q:正数的对数都是正数,是假命题,知¬p是假命题,¬q是真命题,由此能求出结果.
【解答】解:∵命题P:所有有理数都是实数,是真命题,
命题q:正数的对数都是正数,是假命题,
∴¬p是假命题,¬q是真命题,
∴(¬p)∨q是假命题,p∧q是假命题,
(¬p)∧(¬q)是假命题,(¬p)∨(¬q)是真命题,
故选D.
2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )
A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石
【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用.
【分析】根据254粒内夹谷28粒,可得比例,即可得出结论.
【解答】解:由题意,这批米内夹谷约为1534×≈169石,
故选:B.
3.“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件是( )
A.﹣2<m<﹣1 B.m<﹣2或m>﹣1 C.m<0 D.m>0
【考点】双曲线的标准方程;充要条件.
【分析】先计算方程表示双曲线的充要条件,再求出它的一个真子集即可.
【解答】解:若方程表示双曲线,则(2+m)(1+m)>0
∴m<﹣2或m>﹣1
∴要求“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件,则需要找出它的一个真子集即可
∵m>0时,m<﹣2或m>﹣1,结论成立,反之不成立
∴“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件是m>0
故选D.
4.设y∈R,则点P(1,y,2)的集合为( )
A.垂直于xOz平面的一条直线 B.平行于xOz平面的一条直线;
C.垂直于y轴的一个平面 D.平行于y轴的一个平面
【考点】空间直线的向量参数方程.
【分析】由题意及空间几何坐标系的坐标的意义,点P(1,y,2)的集合表示横、竖坐标不变,而纵坐标变化的点的集合,由此结合四个选项可以选出正确选项
【解答】解:点P(1,y,2)的集合为横、竖坐标不变,而纵坐标变化的点的集合,
由空间直角坐标的意义知,点P(1,y,2)的集合为垂直于xOz平面的一条直线
故选A
5.某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为( )
A.11 B.12 C.13 D.14
【考点】系统抽样方法.
【分析】根据系统抽样方法,从840人中抽取42人,那么从20人抽取1人.从而得出从编号481~720共240人中抽取的人数即可.
【解答】解:使用系统抽样方法,从840人中抽取42人,即从20人抽取1人.
所以从编号1~480的人中,恰好抽取=24人,接着从编号481~720共240人中抽取=12人.
故:B.
6.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为( )
A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8
【考点】茎叶图.
【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来,再除以5.找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数为中位数.据此列式求解即可.
【解答】解:乙组数据平均数=(9+15+18+24+10+y)÷5=16.8;
∴y=8;
甲组数据可排列成:9,12,10+x,24,27.所以中位数为:10+x=15,
∴x=5.
故选:C.
7.已知x与y之间的几组数据如下表:
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=b′x+a′,则以下结论正确的是( )
A.>b′,>a′ B.>b′,<a′ C.<b′,>a′ D.<b′,<a′
【考点】线性回归方程.
【分析】由表格总的数据可得n,,,进而可得,和,代入可得,进而可得,再由直线方程的求法可得b′和a′,比较可得答案.
【解答】解:由题意可知n=6, ===, ==,
故=91﹣6×=22, =58﹣6××=,
故可得==, ==﹣×=,
而由直线方程的求解可得b′==2,把(1,0)代入可得a′=﹣2,
比较可得<b′,>a′,
故选C
8.将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则( )
A.对任意的a,b,e1>e2
B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2
C.对任意的a,b,e1<e2
D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】分别求出双曲线的离心率,再平方作差,即可得出结论.
【解答】解:由题意,双曲线C1:c2=a2+b2,e1=;
双曲线C2:c′2=(a+m)2+(b+m)2,e2=,
∴=﹣=,
∴当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2,
故选:D.
9.某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是( )
A. B. C. D.
【考点】频率分布直方图;茎叶图.
【分析】根据题意,由频率与频数的关系,计算可得各组的频率,进而可以做出频率分布表,结合分布表,进而可以做出频率分布直方图.
【解答】解:根据题意,频率分布表可得:
进而可以作频率直方图可得:
故选:A.
10.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
A.08 B.07 C.02 D.01
【考点】简单随机抽样.
【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读,依次为65,72,08,02,63,14,07,02,43,69,97,28,01,98,…,其中08,02,14,07,01符合条件,故可得结论.
【解答】解:从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读,
第一个数为65,不符合条件,第二个数为72,不符合条件,
第三个数为08,符合条件,
以下符合条件依次为:08,02,14,07,01,
故第5个数为01.
故选:D.
11.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=( )
img/image110.png
A.0 B.2 C.4 D.14
【考点】程序框图.
【分析】由循环结构的特点,先判断,再执行,分别计算出当前的a,b的值,即可得到结论.
【解答】解:由a=14,b=18,a<b,
则b变为18﹣14=4,
由a>b,则a变为14﹣4=10,
由a>b,则a变为10﹣4=6,
由a>b,则a变为6﹣4=2,
由a<b,则b变为4﹣2=2,
由a=b=2,
则输出的a=2.
故选:B.
12.椭圆x2+=1短轴的左右两个端点分别为A,B,直线l过定点(0,1)交椭圆于两点C,D.设直线AD,CB的斜率分别为k1,k2,若k1:k2=2:1,则直线l斜率k的值为( )
A.k=2 B.k=3 C..k=或3 D.k=2或
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】求得AMB的坐标,设C(x1,y1),D(x2,y2),直线l:y=kx+1,运用直线的斜率公式,可得=2,由题设知y12=4(1﹣x12),y22=4(1﹣x22),由此推出3x1x2+5(x1+x2)+3=0,所以3k2﹣10k+3=0,由此可推导出k的值.
【解答】解:由题意可得A(﹣1,0),B(1,0),
设C(x1,y1),D(x2,y2),直线l:y=kx+1,
代入椭圆方程得(4+k2)x2+2kx﹣3=0,
△=4k2+12(4+k2)=16k2+48,
x1+x2=﹣,x1x2=﹣,
k1=,k2=,k1:k2=2:1,
所以=2,
平方,结合x12+=1,所以y12=4(1﹣x12),
同理y22=4(1﹣x22),代入上式,
计算得=4,即3x1x2+5(x1+x2)+3=0,
所以3k2﹣10k+3=0,解得k=3或k=,
因为=2,x1,x2∈(﹣1,1),
所以y1,y2异号,故舍去k=,
所以k=3.
故选:B.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见表(单位:人).则x= 1 ,y= 3 ;
若从高校B,C抽取的人中选2人作专题发言,则这2人都来自高校C的概率= .
【考点】频率分布表.
【分析】由已知得,由此能求出x=1,y=3,从高校B,C抽取的人中选2人作专题发言,基本事件总数n==10,这2人都来自高校C包含基本事件个数m==3,由此能求出这2人都来自高校C的概率.
【解答】解:由已知得,
解得x=1,y=3,
从高校B,C抽取的人中选2人作专题发言,
基本事件总数n==10,
这2人都来自高校C包含基本事件个数m==3,
∴这2人都来自高校C的概率:p=.
故答案为:1,3,.
14.一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行,某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的概率为 1﹣ .
【考点】几何概型.
【分析】根据题意,记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1”为事件A,则其对立事件为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过1”,先求得边长为4的等边三角形的面积,再计算事件构成的区域面积,由几何概型可得P(),进而由对立事件的概率性质,可得答案.
【解答】解:记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1”为事件A,则其对立事件为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过1”,
边长为4的等边三角形的面积为S=×42=4,
则事件构成的区域面积为S()=3×××π×12=,
由几何概型的概率公式得P()==;
P(A)=1﹣P()=1﹣;
故答案为:1﹣.
15.已知双曲线C:﹣=1,若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A、B两点,且=3,则双曲线C的离心率的最小值为 2 .
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由题意,A在双曲线的左支上,B在右支上,根据=3,可得3x2﹣x1=2c,结合坐标的范围,即可求出双曲线离心率的最小值.
【解答】解:由题意,A在双曲线的左支上,B在右支上,
设A(x1,y1),B(x2,y2),右焦点F(c,0),
∵=3,∴c﹣x1=3(c﹣x2),
∴3x2﹣x1=2c.
∵x1≤﹣a,x2≥a,∴3x2﹣x1≥4a,
∴2c≥4a,∴e=≥2,
∴双曲线离心率的最小值为2,
故答案为:2.
16.以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[﹣M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:
①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;
②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;
③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B.
④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>﹣2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.
其中的真命题有 ①③④ .(写出所有真命题的序号)
【考点】命题的真假判断与应用;充要条件;全称命题;特称命题;函数的值域.
【分析】根据题中的新定义,结合函数值域的概念,可判断出命题①②③是否正确,再利用导数研究命题④中函数的值域,可得到其真假情况,从而得到本题的结论.
【解答】解:(1)对于命题①,若对任意的b∈R,都∃a∈D使得f(a)=b,则f(x)的值域必为R.反之,f(x)的值域为R,则对任意的b∈R,都∃a∈D使得f(a)=b,故①是真命题;
(2)对于命题②,若函数f(x)∈B,即存在一个正数M,使得函数f(x)的值域包含于区间[﹣M,M].
∴﹣M≤f(x)≤M.例如:函数f(x)满足﹣2<f(x)<5,则有﹣5≤f(x)≤5,此时,f(x)无最大值,无最小值,故②是假命题;
(3)对于命题③,若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)值域为R,f(x)∈(﹣∞,+∞),并且存在一个正数M,使得﹣M≤g(x)≤M.故f(x)+g(x)∈(﹣∞,+∞).
则f(x)+g(x)∉B,故③是真命题;
(4)对于命题④,∵﹣≤≤,
当a>0或a<0时,aln(x+2)∈(﹣∞,+∞),f(x)均无最大值,若要使f(x)有最大值,则a=0,此时f(x)=,f(x)∈B,故④是真命题.
故答案为①③④.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知P:2x2﹣9x+a<0,q:且¬p是¬q的充分条件,求实数a的取值范围.
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的否定.
【分析】由q:,知q:2<x<3,由¬p是¬q的充分条件,知q⇒p,故设f(x)=2x2﹣9x+a,则,由此能求出实数a的取值范围.
【解答】解:∵q:,
∴q:2<x<3,
∵¬p是¬q的充分条件,
∴q⇒p,
∵P:2x2﹣9x+a<0,
设f(x)=2x2﹣9x+a,
∴,
解得a≤9.
18.某学校共有高一、高二、高三学生2000名,各年级男、女人数如图:已知在全校学生中随机抽取1名,抽取高二年级女生的概率是0.19.
(1)求x的值;
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取60名学生,问应在高三年级抽取多少名?
(3)已知y≥245,z≥245,求高三年级中女生比男生多的概率.
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;分层抽样方法;频率分布直方图.
【分析】(1)根据题意,有全校共有学生2000名,其中高二年级女生x名,且抽到高二年级女生的概率是0.19,结合频率、频数和样本容量之间的关系,可得,(2)根据高二男女生一起750人,又高一学生750人,所以高三男女生一起500人,按分层抽样,做出高三年级应抽取的人数;
(3)根据所给的条件列举出所有的情况,可得其情况数目,同时可得女生比男生多的情况数目,由等可能事件的概率公式,计算可得答案.
【解答】解:(1)根据题意,全校共有学生2000名,其中高二年级女生x名,
且抽到高二年级女生的概率是0.19,则有=0.19,
∴x=380;
(2)由图可得,高二男生有370人,则高二男女生一起750人,高一学生750人,
所以高三男女生共2000﹣750﹣750=500人,
按分层抽样,高三年级应抽取×500=15人;
(3)因为y+z=500,y≥245,z≥245,所以基本事件有:
y=245,z=255;y=246,z=254;y=247,z=253;y=248,z=252;y=249,z=251;y=250,z=250;
y=251,z=249;y=252,z=248;y=253,z=247;y=254,z=246;y=255,z=245;一共11个基本事件.
其中女生比男生多,即y>z的基本事件有:
y=251,z=249,y=252,z=248;y=253,z=247;y=254,z=246;y=255,z=245
共5个基本事件,
故女生必男生多的事件的概率为
19.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(﹣1,f(﹣1))处的切线方程为6x﹣y+7=0.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)求函数y=f(x)的单调区间.
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数解析式的求解及常用方法.
【分析】(1)根据导数的几何意义,结合切线方程建立方程关系,求出b,c,d,即可求函数f(x)的解析式;
(2)求函数的导数,即可求函数f(x)在定义域上的单调性.
【解答】解:(1)由f(x)的图象经过P(0,2),知d=2,
所以f(x)=x3+bx2+cx+2,则f'(x)=3x2+2bx+c.
由在M(﹣1,f(﹣1))处的切线方程是6x﹣y+7=0,
知﹣6﹣f(﹣1)+7=0,
即f(﹣1)=1,f'(﹣1)=6
∴,
即,
解得b=c=﹣3,
故所求的解析式是f(x)=x3﹣3x2﹣3x+2.
(2)∵f(x)=x3﹣3x2﹣3x+2.
∴f′(x)=3x2﹣6x﹣3=3(x2﹣2x﹣1).
由f′(x)=3(x2﹣2x﹣1)>0,
解得x>1+或x<1﹣,此时函数单调递增,
由f′(x)=3(x2﹣2x﹣1)<0,
解得1﹣<x<1+,此时函数单调递减,
即函数的单调递减区间为为(1﹣,1+),
函数的单调递增区间为为(﹣∞,1﹣),(1+,+∞).
20.已知圆C1:x2+y2+6x﹣4=0,圆C2:x2+y2+6y﹣28=0.
(1)求过这两个圆交点的直线方程;
(2)求过这两个圆交点并且圆心在直线x﹣y﹣4=0上的圆的方程.
【考点】直线与圆的位置关系;圆的一般方程.
【分析】(1)两圆相减,得到过这两个圆交点的直线方程.
(2)两圆联立方程组,求出两点的交点A,B,从而得到AB的中垂线方程,进而能求出圆心C的坐标和圆半径,由此能求出所求圆的方程.
【解答】解:(1)∵圆C1:x2+y2+6x﹣4=0,圆C2:x2+y2+6y﹣28=0,
∴两圆相减,得到过这两个圆交点的直线方程为:
6x﹣6y+24=0,即x﹣y+4=0.
(2)两圆交点为A,B,
解方程组,得或,
∴A(﹣1,3),B(﹣6,﹣2),
∴AB的中垂线方程为x+y+3=0.
由,解得x=,y=﹣,
所求圆心C的坐标是(,﹣).
圆半径|CA|==,
∴所求圆的方程为(x﹣)2+(y+)2=,即x2+y2﹣x+7y﹣32=0.
21.我们把由半椭圆(x≥0)与半椭圆(x≤0)合成的曲线称作“果圆”,其中a2=b2+c2,a>0,b>c>0.如图,点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A2和B1,B2分别是“果圆”与x,y轴的交点.
(1)若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程;
(2)当|A1A2|>|B1B2|时,求的取值范围.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)由三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形,得出a,b,c的关系,求出a,b,c的值,进而得出“果圆”的方程;
(2)由|A1A2|>|B1B2|可得a,b,c的不等关系式,把c用a,b代替,得到含有a,b的不等式,求解不等式得答案.
【解答】解:(1)由题意可得,F0(c,0),F1(0,﹣),F2(0,),
则|F0F1|==b=1,|F1F2|=2=1,
∴,,
故所求“果圆”方程为(x≥0)和(x≤0);
(2)由|A1A2|>|B1B2|,得a+c>2b,c>2b﹣a,即>2b﹣a.
两边平方得a2﹣b2>(2b﹣a)2,
则,又b>c,
∴b2>c2,即b2>a2﹣b2,
∴,即,
故∈().
22.已知函数
f(x)=(cosx﹣x)(π+2x)﹣(sinx+1)
g(x)=3(x﹣π)cosx﹣4(1+sinx)ln(3﹣)
证明:
(Ⅰ)存在唯一x0∈(0,),使f(x0)=0;
(Ⅱ)存在唯一x1∈(,π),使g(x1)=0,且对(Ⅰ)中的x0,有x0+x1<π.
【考点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用.
【分析】(Ⅰ)根据x∈(0,)时,f′(x)<0,得出f(x)是单调减函数,
再根据f(0)>0,f()<0,得出此结论;
(Ⅱ)构造函数h(x)=﹣4ln(3﹣x),x∈[,π],
令t=π﹣x,得u(t)=h(π﹣t),求出u(t)存在唯一零点t1∈(0,),
即证g(x)存在唯一的零点x1∈(,π),满足x0+x1<π.
【解答】证明:(Ⅰ)∵当x∈(0,)时,f′(x)=﹣(1+sinx)(π+2x)﹣2x﹣cosx<0,
∴函数f(x)在(0,)上为减函数,
又f(0)=π﹣>0,f()=﹣π2﹣<0;
∴存在唯一的x0∈(0,),使f(x0)=0;
(Ⅱ)考虑函数h(x)=﹣4ln(3﹣x),x∈[,π],
令t=π﹣x,则x∈[,π]时,t∈[0,],
记函数u(t)=h(π﹣t)=﹣4ln(1+t),
则u′(t)=﹣•
=﹣
=﹣
=
=,
由(Ⅰ)得,当t∈(0,x0)时,u′(t)>0;
在(0,x0)上u(x)是增函数,又u(0)=0,∴当t∈(0,x0]时,u(t)>0,
∴u(t)在(0,x0]上无零点;
在(x0,)上u(t)是减函数,且u(x0)>0,u()=﹣4ln2<0,
∴存在唯一的t1∈(x0,),使u(t1)=0;
∴存在唯一的t1∈(0,),使u(t1)=0;
∴存在唯一的x1=π﹣t1∈(,π),使h(x1)=h(π﹣t1)=u(t1)=0;
∵当x∈(,π)时,1+sinx>0,∴g(x)=(1+sinx)h(x)与h(x)有相同的零点,
∴存在唯一的x1∈(,π),使g(x1)=0,
∵x1=π﹣t1,t1>x0,∴x0+x1<π.
2016年4月18日
本文来源:https://www.2haoxitong.net/k/doc/ebc4b7b5dc36a32d7375a417866fb84ae55cc35e.html
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