河南省名校天一大联考2018-2019学年高二年级阶段性测试（四）数学文科试题

河南省名校天一大联考2018-2019学年高二年级阶段性测试（四)数学文科试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．在复平面内，复数所对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．集合，，则（ ）

A． B． C． D．

3．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴为（ ）

A． B． C． D．

4．已知命题存在，使成立，则为（ ）

A．存在，使不成立 B．存在，使成立

C．对任意，恒成立 D．对任意，恒成立

5．已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．

6．已知双曲线C：（）的左、右焦点分别为，，点A是双曲线右支上一点，且（O为坐标原点），则（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

7．阅读如图所示的程序框图，若输入，则输出S的值为（ ）

A． B．0 C．35 D．105

8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．

9．已知函数，且，则实数a的取值范围为（ ）

A． B．

C． D．

10．函数的零点个数为（ ）

A． B． C． D．

11．在中，，D是AC的中点，在方向上的投影为，则向量与的夹角为（ ）

A．45° B．60° C．120° D．150°

12．已知是等边三角形，点，，，…，依次是边BC上的14等分点，过（，2，…，13）作边BC的垂线，交边AB或边AC于，记.若，则（ ）

A．2 B． C． D．

13．已知x，y满足约束条件，则的最大值为_________.

14．某机构调查了200名老年人平均每周锻炼身体的时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图.根据直方图可知，这200名老年人中平均每周锻炼身体的时间不少于8小时的人数为_________.

15．已知圆与圆外切，若两个圆的一条外公切线与轴交于点，则______.

16．已知数列的通项公式为，，，其前三项和为17.设，则数列前1023项的和为_________.

17．已知函数.

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，求c.

18．某手机卖场在假期做促销活动，在箱子中装大小相同的五个小球，并在球上标数字.参加活动的消费者需从箱子中取两次球，每次取出一个球并放回，记录两次取出的球上的数字，设两次记录的数字分别为，奖励规则如下：①若，则奖励蓝牙耳机一个；②若，则奖励充电宝一个；③其余情况奖励数据线一条.小王了解了活动规则之后，准备参加这项活动.

（1）求小王获得蓝牙耳机的概率；

（2）比较小王获得充电宝和获得数据线的概率的大小，并说明理由.

19．如下左图，平行四边形中，，，分别是的中点.将四边形沿着折起，使得平面平面，得到三棱柱，如下右图.

（1）证明：；

（2）若，求三棱柱的体积.

20．已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的周长为，面积为4.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过的两条相互垂直的直线，，分别交椭圆C于另外两点M，N，若直线MN的斜率的取值范围为，求直线的斜率的取值范围.

21．已知函数.

（1）若，证明：当时，；

（2）对任意的，不等式恒成立，其中是的导函数，求实数的取值范围.

22．在直角坐标系中，以点为圆心，以1为半径作圆.以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程.

（Ⅱ）证明：直线l：（）与圆C相交.设相交的弦长为d，求.

23．已知函数.

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）若正实数a，b满足，证明：.

参考答案

1．A

【解析】

【分析】

化简复数z后可得其对应点为（1，3），从而可得答案．

【详解】

化简复数可得，

故z对应的点为（1,3），位于第一象限，

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的四则运算及其几何意义，考察基础知识的掌握，属于基础题.

2．D

【解析】

【分析】

化简集合A,根据交集计算即可.

【详解】

因为，，

所以，

故选：D

【点睛】

本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.

3．B

【解析】

【分析】

函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式，求出对称轴方程，可得结果.

【详解】

函数的图象向左平移个单位长度后，

得到函数为，

由对称轴，

解得，

当k=1时，，

故选：B.

【点睛】

本题考查三角函数图象变换及正弦函数的图象及性质，根据三角函数性质求出对称轴方程即可，本题属于简单题.

4．C

【解析】

【分析】

将存在性量词改为全称量词，并将结论否定即可.

【详解】

命题p：存在，使成立，

则为：对任意，恒成立    ，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了特称命题的否定，属于容易题

5．B

【解析】

【分析】

由三棱锥的三个侧面两两垂直可知三条侧棱两两垂直，构造长方体，长方体的对角线长即为外接球的直径，由此求球的表面积.

【详解】

因为三棱锥的三个侧面两两垂直，

所以，，两两垂直，

以，，为相邻的棱构造长方体，

则，

所以外接球的半径，

所以外接球的表面积.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了三棱锥外接球的表面积计算问题，解题关键是构造球的内接长方体，属于中档题.

6．A

【解析】

【分析】

由可得，由圆的性质可得，利用勾股定理及双曲线性质可得结果.

【详解】

由题意，，

因为，

所以，

所以点在以为直径的圆上，

所以，

所以，

所以，

所以，

又因为，

所以，

故选：.

【点睛】

本题考查圆锥曲线的综合应用，求解与双曲线性质有关的问题时要结合平面几何进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系，属于中等题.

7．D

【解析】

【分析】

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【详解】

模拟执行程序框图，可知：

S=1，x=7

满足条件x≥0,则S=1×7=7，x=7-2=5，

满足条件x≥0,则S=7×5=35，x=5-2=3，

满足条件x≥0,则S=35×3=105，x=3-2=1，

满足条件x≥0,则S=105×1=105，x=1-2=-1，

不满足条件x≥0,输出S=105.

故选：D.

【点睛】

本题考查程序框图，本题涉及循环结构，模拟程序运行过程，分析变量变化情况可得解答，属于简单题.

8．A

【解析】

【分析】

根据几何体的三视图得出该几何体是棱长为4的正方体被截去一个三棱锥剩余的部分， 结合图中数据求出该几何体的表面积.

【详解】

由三视图还原原几何体如图，

该几何体为边长是4的正方体截去三棱锥，

正方体的体积为：，

三棱锥的体积为：，

所以几何体的体积,

故选：A

【点睛】

本题考查了由几何体的三视图求体积的问题，根据三视图得出几何体的形状是解题的关键,属于中档题.

9．A

【解析】

【分析】

根据分段函数f（x），分别列出不等式即可得a的范围，从而求得结果．

【详解】

由函数，且，

可得或者，

解得或，

∴，

故选：A.

【点睛】

本题考查分段函数的性质及不等式，属于简单题.

10．C

【解析】

【分析】

由题意可知方程的根的个数即为函数零点的个数，可转化为函数与函数图象交点个数，画出函数图象即可求解.

【详解】

因为函数的零点个数即方程的根的个数，，

故可化为与图象的交点的个数，

当时，，

，

令，可解的，

所以直线与相切于点，

作出函数与函数图象如图：

由图象可知，函数与函数图象有2个交点，

故函数的零点个数为2个，

故选：C

【点睛】

本题主要考查了函数的零点，函数与方程，数形结合的思想，直线与曲线相切，属于难题.

11．C

【解析】

【分析】

设，向量与的夹角为，在方向上的投影为，利用线性代换并结合向量夹角公式即可求出夹角．

【详解】

，D是AC的中点，

则，，

向量在方向上的投影为，

设，向量与的夹角为，

则，

∴

，

故夹角为120°，

故选：C.

【点睛】

本题考查向量的投影，利用数量积求两个向量的夹角，属于中等题.

12．B

【解析】

【分析】

由题意，设等边三角形边长是14x，可求出，代入求和公式可解出x，即可得到边长.

【详解】

由题意，设等边三角形边长是14x，

点，，，…，依次是边BC上的14等分点，每段长度为x，

由题意，为直角三角形，

则，同理，，，……，，……，

，

，

故，

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列求和与解三角形的综合，考查综合分析及运算求解能力，属于中等题.

13．6

【解析】

【分析】

画出满足条件的平面区域，结合函数图象求出z的最大值过的点，求出点的坐标，代入即可．

【详解】

画出x，y满足约束条件的平面区域，如图示：

由得：，

平移直线，

显然直线过时，z最大，

由，解得，

z的最大值是6.

故答案为：6.

【点睛】

本题考查简单线性规划，此类问题利用数形结合将可行域画出，找出目标函数取最值的点代入即可，属于简单题.

14．128

【解析】

【分析】

由频率直方图的数据可得时间在区间的频率为，由此可估计200名老年人中每周锻炼身体的时间不少于8小时的人数.

【详解】

由直方图的数据得组距为4，

则时间在区间的频率为：，

由直方图的数据估计200名老年人中每周锻炼身体的时间在区间的约有（人），

故答案为：128.

【点睛】

本题考查频率分布直方图，利用频率分布直方图进行分析预测，属于基础题.

15．

【解析】

【分析】

由两圆外切得出，再由两圆的一条外公切线与x轴交于点得出，求出两圆半径得出结论即可．

【详解】

如图所示：

因为两圆外切，

所以．

又由图可知，

可解得，，

所以．

故答案为：2．

【点睛】

本题主要考查了圆与圆位置关系的应用，属于中档题．

16．1033

【解析】

【分析】

数列的通项公式为，及其前三项和为17，可求出q，代入可得数列通项，利用求和公式可得数列和.

【详解】

数列的通项公式为，，，其前三项和为17，

则，

解得（舍去），

可得

，

设数列前n项的和为，

则

，

故答案为：1033.

【点睛】

本题考查数列的前n项求和，解题关键是应用对数运算法则进行裂项，将求和问题转化为裂项相消，属于中等题.

17．（Ⅰ）； （Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）利用正弦函数和差公式化简，即可求出最小正周期；

（Ⅱ）由，可得A角，根据，，应用正弦定理可得b，再用余弦定理可求c.

【详解】

（Ⅰ）

，

∴，∴的最小正周期为.

（Ⅱ）∵，，

∴，得，

根据正弦定理可得，

根据余弦定理可得，.，

解得或（舍）.

∴.

【点睛】

本题主要考查了正弦函数和差公式及余弦定理、正弦定理在解三角形中的综合应用，在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息是解答的关键，着重考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于简单题．

18．（1）（2）小王获得充电宝的概率小于获得数据线的概率.见解析

【解析】

【分析】

列出所有的基本事件，设“”为事件A，则事件A包含的基本事件共有6个，代入公式即可；

列出所有的基本事件，设“”为事件B，则事件B包含的基本事件共有8个，代入公式即可．

【详解】

用有序数对表示小王参加活动先后记录的数字，则基本事件有：

，，，，；

，，，，；

，，，，；

，，，，；

，，，，.

基本事件的个数为.

（1）设“”为事件，则事件包含的基本事件共有个：，，，，，.

所以小王获得蓝牙耳机的概率为.

（2）设“”为事件，则事件包含的基本事件共有个：，，，，，，，.

所以小王获得充电宝的概率为.

设“其余情况”为事件，则事件包含的基本事件共有个，所以小王获得数据线的概率为.

因为，所以小王获得充电宝的概率小于获得数据线的概率.

【点睛】

本题主要考查了事件，基本事件的概念，古典概型概率的求法，属于中档题．

19．（1）见解析（2）3

【解析】

【分析】

由题意得平面BOD，即可得；

三棱柱可分割为四棱锥与三棱锥，分别计算棱锥体积，则三棱柱的体积.

【详解】

（1）取的中点，连接，

由平面几何的知识，易知是等边三角形.

∴，.

∵，

∴平面，

而平面，

∴.

（2）三棱柱可分为四棱锥与三棱锥.

由（1）知，而平面平面，且交线为，

∴平面.

同理可证平面.

四棱锥的体积，

三棱锥的体积，

∴三棱柱的体积.

【点睛】

本题考查线线垂直的判定，棱锥的体积公式及棱柱的体积，属于中档题．

20．（Ⅰ）； （Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）依题意知连接椭圆四个顶点所得为菱形，根据菱形性质及面积公式列方程可解出a、b，从而得到椭圆方程；

（Ⅱ）依题意知：，的斜率均存在，且不为零，设直线的斜率为，则直线的方程为与椭圆联立，运用韦达定理可解出M点坐标，同理解出N点坐标，由此得出直线MN的斜率，建立不等关系求k的取值范围即可.

【详解】

（Ⅰ）依题意知，∴.

∴椭圆的方程为.

（Ⅱ）依题意知：，的斜率均存在，且不为零，

设直线的斜率为，则直线的方程为.

联立得.

∴，，即.

用代替k，得.

∴直线MN的斜率.

∵，∴.

当时，，解得或.

∵，∴.

当时，，解得.

∵，∴.

综上，直线的斜率的取值范围为.

【点睛】

本题考查椭圆的方程计算及直线与椭圆综合问题，解答本题的关键有两个：一个是根据题意得到四边形是菱形，进而转化为a、b方程处理，二是利用韦达定理得出斜率，根据直线的斜率的取值情况，进行分类讨论求解，考查转化和计算能力，具有综合性和难度．

21．（1）见解析（2）

【解析】

【分析】

1求导得出的单调区间得出的极小值，得出证明即可；

2求出，将不等式转化为，时恒成立，令，则，，求出的最大值得出a的取值范围即可．

【详解】

（1），定义域为.

.

令，解得.

∵在上，，在上，.

∴在上单调递减，在上单调递增.

∴的极小值即最小值，为.

∴当时，.

（2）.

∵，

∴.

当时，，，

∴.

∴.

令，则，.

∵，

∴在上单调递增.

∴.

∴实数的取值范围为.

【点睛】

本题主要考查导数在函数中的应用，考查利用导数研究函数的单调性、极值及最值，求证不等式及不等式恒成立求参数的取值范围，属于较难题目．

22．（Ⅰ）； （Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由题意可得圆C的直角坐标方程，由，，，可得圆C的极坐标方程.

（Ⅱ）将l：代入圆C的极坐标方程，利用韦达定理可求.

【详解】

（Ⅰ）由题意知C：，

即.

由，，，

可得圆C的极坐标方程为.

（Ⅱ）将l：代入圆C的极坐标方程，得.

∵，∴直线l与圆C相交.

∵，，

∴.

【点睛】

本题主要考查直角坐标与极坐标转化以及极坐标方程求弦长，解答此题需要熟记直角坐标与极坐标转化公式，以及韦达定理利用，属于基础题.

23．（Ⅰ）； （Ⅱ）见解析.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由题意，根据零点分段法对分类讨论代入不等式求解即可；

（Ⅱ）根据基本不等式可得及绝对值三角不等式可得，由此得证.

【详解】

（Ⅰ）由题意得.

①当时，不等式可化为，无解；

②当时，不等式可化为，解得，∴；

③当时，不等式可化为，此不等式恒成立，∴.

综上，原不等式的解集为..

（Ⅱ）∵，a，b为正实数，

∴（当且仅当时等号成立），

而，即.

∴.

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式的应用，解绝对值不等式通常应用分类讨论去绝对值求解，属于中等题.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/ea817722996648d7c1c708a1284ac850ad0204c6.html