高三数学复习 概率 知识点、题型方法

绵阳市开元中学高2014级高三二轮复习

《计数原理与概率及其分布列》知识点、题型与方法归纳

制卷：王小凤 学生姓名：

【计数原理 知识梳理】

一、分类计数原理和分步计数原理：

分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。

分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。

区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。

二、排列与组合：

1．排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出个元素的问题；

区别：前者有顺序，后者无顺序。

2．排列数的公式：

注意：全排列：；

组合数的公式：

组合数的性质： ① ②

3．排列、组合的应用：

解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题，其次要搞清需要分类，还是需要分步

切记：排组分清(有序排列、无序组合)，分类分步明确

解排列组合的应用题，通常有以下途径：

①以元素为主，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素——特殊元素优先法

②以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置——特殊位置优先法

③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减不合要求的排列数或组合数——间接法

4．对解组合问题，应注意以下三点：

①对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法。

②是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”。

③命题设计“分组方案”是解组合题的关键所在。

5．解排列、组合题的基本策略与方法：

①整体排除法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。

②分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。这是解排列组合问题的基本策略之。注意的是：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。

③分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。

④插入法（插空法）：某些元素不能相邻采用插入法。即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。

⑤“捆绑”法：要求某些元素相邻，把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列，即是“捆绑法”。

【计数原理 题型应用】

1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )

A．10种 B．20种 C．25种 D．32种

2．从6位男学生和3位女学生中选出4名代表，代表中必须有女学生，则不同的选法有( )

A．168 B．45 C．60 D．111

3．用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有(　　)

A．30个　　　　 B．36个 C．40个 D．60个

4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同方法种数为(　　)

A．42 B．30 C．20 D．12

5．停车场上有一排七个停车位，现有四辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放方法数为（ ）

A． B． C． D．

6．有4位学生和3位老师站在一排拍照，任何两位老师不站在一起的不同排法共有（ ）

A．(4!)2种 B．4!·3!种 C．·4!种 D．·4!种

7．用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）

A.48个 B.36个 C.24个 D.18个

8．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是（ ）

A．15 B．45 C．60 D．75

【概率 知识梳理】

一、随机事件的概率

1、事件

(1)．在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件．

(2)．在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件．

(3)．在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件．

2、概率和频率

(1)．用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据．

(2)．在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．

(3)．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．

3、事件的关系与运算

4、概率的几个基本性质

(1)．概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)．必然事件的概率P(E)＝1.

(3)．不可能事件的概率P(F)＝0.

(4)．概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

(5)．对立事件的概率：

若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．

【题型应用】

互斥事件与对立事件的概率

1．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是(　　)

A．至少有一个红球与都是红球

B．至少有一个红球与都是白球

C．至少有一个红球与至少有一个白球

D．恰有一个红球与恰有二个红球

【总结】：要判断两事件是互斥而不对立的事件：只需判断交事件为不可能事件，和事件为必然事件。

2．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？

二、古典概型

1、基本事件的特点

（1）．任何两个基本事件是互斥的．

（2）．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

2、古典概型的两个特点

（1）．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．

（2）．每个基本事件出现的可能性相等，即等可能性．

[提示]　确定一个试验为古典概型应抓住两个特征：有限性和等可能性．

3、古典概型的概率公式:P(A)＝.

【题型应用】

1．某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：

(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；

(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．

【变式1】袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于(　　)

A．　　　　　　　　 B． C． D．

【变式2】在变式1条件下，则两球不同色的概率为______

2．任意抛掷三枚硬币,恰有两枚硬币正面向上的概率是( )

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

【变式】同时掷两颗骰子，向上点数之和为7的概率为（ ）

A． B． C． D．

三、几何概型

1．几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

2．几何概型的概率公式

P(A)＝.

（一）与长度、角度有关的几何概型

1．在等腰直角△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内作一条射线CD

与线段AB交于点D，则AD的概率为___________.

2．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.

(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；

(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．

（二）与面积有关的几何概型

1．（与线性规划交汇）若不等式组表示的平面区域为M，x2＋y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为（ ）

A． B． C． D．

2．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(　　)

A． B． C． D．

【变式】在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为(　　)

A． B． C． D．

（三）与体积有关的几何概型

1．在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD—A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为 (　　)

A．　 B．1－　　 C． D．1－

【离散型随机变量的概率分布 知识梳理】

1．离散型随机变量的相关概念

（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用字母、、、等表示；

（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。若是随机变量，（、是常数），则也是随机变量。

（3）离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值的概率为，则称表

为随机变量的概率分布，简称的分布列。

（4）离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：

；

2．两点分布：若随机变量X的分布列为:

则称随机变量服从两点分布. 而称为成功概率.

3．超几何分布：

一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则

即

若随机变量的分布列如上表，则称随机变量服从超几何分布.

4．条件概率：对任意事件和事件，在已知事件发生的条件下事件发生的概率，叫做条件概率。

记作，读作发生的条件下发生的概率。

条件概率计算公式

性质：（1） （2）若与为互斥事件，则

5．相互独立事件

定义：事件(或)是否发生对事件(或)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件

注：（1）互斥事件是指不可能同时发生的两个事件；相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响.

（2）如果、是相互独立事件，则与、与、与也都相互独立.

（3）两个相互独立事件、同时发生的概率(此公式可推广到多个相互独立事件)

6．独立重复试验及二项分布

定义：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验

在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是 ，

于是得到随机变量的概率分布如下：

由于恰好是二项式展开式：中的各项的值，所以称这样的随机变量服从二项分布，记作.

7．期望与方差

数学期望: 一般地，若离散型随机变量的概率分布为

则称…… 为的数学期望，简称期望

称为的方差；

意义：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平；方差描述了相对于均值的偏离程度

注．（1）若，则

（2）若服从两点分布，则，

（3）若，则，

二．题型训练

考点一. 随机变量及其分布列

1．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是（ ）

A．一颗是3点，一颗是1点 B．两颗都是2点

C．两颗都是4点 D．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点

2．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是（ ）

A．5 B．9 C．10 D．25

3．已知随机变量的分布列为

则为奇数的概率为

4．设随机变量的分布列为，，为常数，则 .

考点二. 两点分布与超几何分布

5．若，，则　　　　　

6．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用表示这6人中“三好生”的人数，则概率等于的是( ) ．

A． B． C． D．

7．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从中任取3件，求：　

(1)取出的3件产品中一等品件数的分布列；

(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．

考点三. 条件概率

8.下列正确的是（ ）．

A． = B． =

C． D． =

9．已知，，则下列式子成立的是（ ）．

A． B． +

C． D．

10．已知，，则( )

A． B． C． D．

11．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮三级以上风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在下雨天里，刮风的概率为（ ）

A． B． C． D．

12．一个袋中有9张标有1,2,3，…，9的票，从中依次取两张，则在第一张是奇数的条件下第二张也是奇数的概率（ ）

A． B． C． D．

考点四. 相互独立事件同时发生的概率

13．有一道题，三人独自解决的概率分别为，三人同时独自解这题，则只有一人解出的概率为 ( ) ．

A． B． C． D．

14．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )

A． B ． C ． D ．

15．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同则事件A发生的概率P（A）是（ ）

A. B. C. D．

16．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功飞行，若使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则的取值范围是（ ）

A． B. C. D．

17．甲乙丙射击命中目标的概率分别为、、，现在三人射击一个目标各一次，目标被击中的概率是（ ）

A. B. C. D.

18．甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（ ）

A． B． C． D．

考点五. 独立重复试验与二项分布

19．某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为

20．每次试验的成功率为，则在次重复试验中至少失败次的概率为（ ）．

A． B．

C． D．

21．加工某种零件需经过三道工序。设第一、二、三道工序的合格率分别为、、，且各道工序互不影响。

(1) 求该种零件的合格率；

(2) 从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率。

22．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列.

23．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：

（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；

（Ⅱ）成活的株数的分布列 及期望值。

考点六. 期望

24．某射手射击所得环数的分布列如下：

已知的期望，则的值为 .

25．若随机变量满足，其中为常数，则（ ）．

A． B． C． D．不确定

26．已知，且，则( ) ．

A． B． C． D．

27．一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为（ ）．

A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.4

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e9a0f909e3bd960590c69ec3d5bbfd0a7956d520.html