高中数学抛物线与直线的交点问题

抛物线与直线的交点问题

1、 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m（坐标系中的水平直线）的交点问题：

①把y=m代入y=ax2+bx+c得ax2+bx+c=m，即ax2+bx+（c-m）=0

此时方程的判别式△=b2-4a(c-m)。

△＞0，则抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m有两个交点；

△=0时有一个交点；

△＜0时无交点。

②特殊情形：

抛物线y=ax2+bx+c与直线y=0（x轴）的交点问题：

令y=0，则ax2+bx+c=0

此时方程的判别式△=b2-4ac

△＞0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点；

△=0时有一个交点；

△＜0时无交点。

2、抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+b的交点问题：

令ax2+bx+c=kx+b，整理方程得：ax2+(b-k)x+（c-b）=0

此时方程的判别式△=(b-k)2-4a（c-b）

△＞0，则抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+b有两个交点；

△=0时有一个交点；

△＜0时无交点。

总结：判别式△的值决定抛物线与直线的交点个数。

3、 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=0（x轴）的交点位置问题：

若ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0）

1 若x1x2＞0、x1+x2＞0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点在原点右侧

2 若x1x2＞0、x1+x2＜0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点在原点左侧

3 若x1x2＜0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分居于原点两侧

4、 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=0（x轴）的两个交点距离公式

若ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点（x1，0）、（x2，0）的距离为

︱x1-x2︱=

练习

1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根是－3和1，那么二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点是____________．

2．已知二次函数y＝kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为( )

A．k>－74 B．k<－74且k≠0 C．k≥－74 D．k≥－74且k≠0

3．若抛物线y＝x2－８x＋c 顶点在x轴上，则c 的值等于( )．

A．４ B．８ C．－４ D．１６

4．二次函数y＝ax2＋bx＋c 的值恒为负值的条件是( )．

A．a＞０, b2－４ac＜０ B．a＜０, b2－４ac＞０ C．a＞０, b2－４ac＞０ D．a＜０, b2－４ac＜０

5.直线y=3x－3与抛物线y=x2－x+1的交点的个数是______

6．若抛物线y=（m－1）x2+2mx+m+2恒在x轴上方，则m_______．

7．抛物线顶点C(２, )，且与x 轴交于A 、B 两点，它们的横坐标是方程2x2－7x＋1＝０的两根，则S△ABC ＝ ．

8．直线y=2x1与抛物线y=x2的公共点坐标是______________．

9、不等式x2-9＞０的解集为_________________；x2＞2x+1的解集为_____________.

10．利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的根．

11．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，－4），且过点B（3,0）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．

12．已知抛物线y＝x2＋ax＋a－2．

(1)证明:此抛物线与x 轴总有两个不同的交点;

(2)求这两个交点间的距离;(用关于a 的表达式来表达)

(3)a 取何值时,两点间的距离最小?

13．已知抛物线y=－x2+（m－2）x+3（m+1）交x轴于A（x1，0），B（x2，0）两点，交y轴正半轴于C点，且x12，│x1│>│x2│，OA2+OB2=2OC+1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线？如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e8a3bc8ff724ccbff121dd36a32d7375a417c6b4.html