3.1.1随机事件的概率

第三章 概率

【名师授课指导】

一、教材内容分析

1.本章内容包括三大节内容：

第1节 随机事件的概率，通过大量的实例介绍了概率的基本概念及性质，这是学习后续内容的基础和保证。

第2节 古典概型，这是一种很重要的概率模型，也是人们研究最早的一种概率模型。本节通过实例使学生理解古典概型的含义，探究其计算公式，要求学生会用列举法计算出随机事件包含的基本事件数，进而能根据公式得到随机事件的概率。

第3节 几何概型，它也是一种很重要的概率模型，要求学生理解几何概型的定义和计算方法，熟悉几何概型的几种形式，并能用概率公式求解一些简单的几何概型的概率。

2.本章教学地位及与其他章节的联系

概率论是研究现实世界中广泛存在的随机现象规律的学科，是现代数学的重要分支，是高中数学的重要内容之一。本章的内容实践性很强，要求学生联系生活实际，多动手、多动脑。学生在生活中都已经具备了概率论的基本常识，也是怀着强烈的好奇心来学习本章内容的，故本章也是学生感觉比较感兴趣的一章。

自从概率高中数学的内容以来，它便成为了高考的必考内容之一，所占分值一般在15分---20分，这个比例要大于它在整个高中数学中所占的课时比例，并且多于统计结合命题。

二、主要问题及教学建议

1.关于随机事件概率的教学

教学时，建议教师利用课本中的例子以及现实生活中的实例，分析其发生的条件及特点，使学生逐步地循序渐进地理解概率的相关概念。

2.关于古典概型的教学

对于古典概型的概念，教学时，建议教师在讲解过程中一要严卡概念，二要说明无论是实验中出现的总结果含有的基本事件的个数，还是事件A包含的基本事件的个数都是有限的（可数的），且每个基本事件出现的可能性都相等，也称为等可能事件。

对于古典概型概率的计算公式，建议教师一是要结合实例点明计算公式的来历（但不必进行严格的理论证明）,二是要讲明基本事件的个数的计算方法，这是学生学习的难点，也是解题的关键所在，可以介绍列举、列表、树状图等方法供同学们参考。

3.关于几何概型的教学

教学时，建议教师首先要让学生明白古典概型与几何概型的区别，清楚那些类型属于几何概型问题，其次要引导学生体会几何概型的计算公式的含义并会简单的应用。

三、其他应注意的问题

1.疑难警示

（1）本章含有大量的概念与公式，还有两种随机数的产生方法，对这些内容，需要搞清楚它们之间的联系与区别，从概念的内涵与外延两个方面来理解概念；对公式的应用，要特别注意其应用的前提条件。

（2）对于具体事件的概率，确定它是哪种类型的是一个难点，这就要求很好的把握概念，利用概念进行甄别。

（3）对于古典概型概率的计算，求出事件A所包含的基本事件数是解题的难点，要熟悉并掌握几种常见的计算基本事件数的方法。

2.拓展补充

（1）随机事件的产生原因

随机事件事件产生的原因是所给条件不能完全决定事态的发展，并且一个事件的产生于发展并非受一个条件影响，是多种因素共同作用的结果，由于多种因素的不确定性，才产生了事件的随机性，如“明天某地区是否降雨”、“一辆车经过某十字路口时是否遇到红灯”等。

（2）概率论的发展过程

与其它科学一样，概率论从最初的萌芽状态到现在较为完备的体系，也经历了漫长的发展过程，十五世纪在欧洲形成了概率论的萌芽，后来，数学家们陆续给出了概率的古典定义，概率的统计定义，到二十世纪初，又给出了概率论的公理化定义，极大地促进了近代概率论的发展。到今天，概率论产生了很多分支科学，应用于生产生活的各个方面。

3.1 随机事件的概率

3.1．1 随机事件的概率

【教学方案设计】

一、 新课导入

十七世纪资本主义上升的初期，西欧赌博盛行，不但赌注量大，而且赌法复杂。一些职业赌徒为求增加获胜的机会，迫切需要计算取胜的思路。法国一个名叫德·梅耳的江湖赌博家向数学家帕斯卡提出了一个“点的问题”：掷一粒骰子四次至少出现一对6点的机会要比掷两粒骰子四次至少出现一对点的机会更大些，这是否成立？这就是著名的“梅耳猜想”。帕斯卡看到这问题的潜在力，预示将有一个新的数学分支出现，便将这个问题连同自己的解法写信告诉了费尔马，并向费尔马提出了另一个问题：某人用骰子一枚掷点，说定掷八次中能有一次得6点，即可得全彩。现在，这人已经掷三次还没有得6点，设此时不再继续掷骰子，那么，如果给予相当的彩物，应该给多少呢？他们频繁的通信，开始了概率论的研究。他们的通信被荷兰来的惠更斯获悉。回荷兰后，他独立地研究这些问题，结果写成了《论掷骰子游戏中的计算》，时间是1657年。这是迄今被认为概率论中最早的论著。这节课我们来学习概率论中最基本的概念-----随机事件的概率。

二、教学建议

1.关于事件的概念及分类的教学

教学时，建议教师从具体的生活实例出发，引导学生分析这些实例的联系及区别，根据其区别把他们加以分类，从而得出事件的分类及概念。

2.关于频率与概率概念的教学

教学时，建议教师鼓励学生自己动手做掷硬币试验，记录并汇总实验结果，分别作频率变化曲线图或用计算机模拟试验，将二者对比，以体会频率的稳定性和概率的规律性。在此基础上，教师要重点强调频率和概率的区别和联系以及研究概率的必要性和可行性，以巩固和加深学生对概率概念的理解．

【课前新知初探】

【目标定位】

1、理解概率的含义(重点)。

2、理解频率与概率的联系和区别。(重点、易混点)

3、了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性。

【自主预习】

一、事件的概念及分类

【思考】上述表格中给事件分类的标准时什么？

提示：相对于条件S该事件是否发生．

二、频数与频率

在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称事件A出现的比例事件A出现的频率。

三、概率

1.含义：概率是度量随机事件发生的可能性大小的量。

2.概率与频率的区别于联系：

【点拨】正确理解频率与概率之间的关系

随机事件的频率，是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动的幅度越来越小。我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率。概率可以看做频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率。

【课堂要点探究】

【名师指津】判断事件类型的方法

（1）判定一个事件是哪类事件要看两点：一是看条件，二是看结果发生与否。在条件S下一定发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件。

（2）要注意的是事件发生与否都是对应于条件S而言的，离开了一定的条件讨论事件的类型是没有意义的。对于一个事件如果叙述不明确，则容易导致不同的理解。例如：如果把“在一定气压下，把水加热到，水就会沸腾”说成是一个事件，则这个事件的的类型就不明确，因为“在一个标准大气压或低于一个标准大气压下，把水加热到，水就会一定沸腾”，这是必然事件；“在高于一个标准大气压的情况下下，把水加热到，水不会沸腾”，这是不可能事件。所以，判断事件的类型，特别需要抓住事件的条件，针对这个条件进行分析判断。

【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件。

（1）若，则。

（2）明年，我国北方地区不会出现冬春连旱的情况。

（3）下届奥运会上，我国乒乓球运动员将夺得男子单打冠军。

（4）印度将开展载人航天试验，首次试飞成功。

（5）从含有1件次品的100件产品中任意抽取2件产品，抽到的都是次品。

【审题指导】根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义进行判断。

【规范解答】根据“在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件”可知（2）（3）（4）是随机事件。因为恒成立，根据“在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件”可知（1）是必然事件。根据“在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件”可知（5）是不可能事件。

【变式训练】指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件。

（1） 中国北方立春以后，不下雪。

（2） “神枪手”射击一次，中靶。

（3） 掷10枚硬币，正面皆朝上。

（4） 没有水分，种子发芽。

（5） 在地球上，向上抛一块砖头，砖头落地。

（6） 信奉道教的人长生不老。

（7） 若，则。

【解析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义判断。

（5）是必然事件，（4）、（6）是不可能事件，（1）、（2）、（3）、（7）是随机事件。

【误区警示】判断事件的类型，特别需要抓住事件的条件，针对这个条件进行分析判断。如（7），，则或，所以“若，则”是随机事件。

【名师指津】如何分析试验结果：

（1）首先要准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是后续学习求事件的概率的前提和基础。

（2）在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活的经验，按一定的次序一一列举，才能保证没有重复，也没有遗漏。

【特别提醒】列举试验结果时，不同的事件需按照不同的次序，不可生搬硬套。

【例2】指出下列试验的结果：

（1） 从集合任取两个元素组成的集合；

（2） 从1,2,3,4四个数中任取两个数（不重复）作为平面直角坐标系中点的坐标。

【审题指导】解答本题要根据我们所已知的数学知识按一定的次序逐个列出试验的全部结果，但特别要注意（1）、（2）两个小题的区别。

【规范解答】（1）结果：

（2）结果：（1,2），（2,1），（1,3），（3,1）,(1,4),(4,1),

(2,3),(3,2),（2,4），（4,2），（3,4），（4,3）。

【互动探究】把本例（2）中条件“任取两个数（不重复）作为平面直角坐标系中点的坐标”该为任取两个数（不重复）作差”，列出所有的结果。

【解题提示】按一定的次序一一列出，注意被减数与减数互换，则差不同

【解析】结果：

【名师指津】概率与频率的关系及求法：

（1）频率是试验中事件A出现的次数与试验总次数n的比值，利用公式可求事件A出现的频率。频率本身是随机变量，与具体的试验有关，但是当试验次数n很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动，这个稳定值就是概率。

（2）解此类题目的步骤是：先利用频率的计算公式一次计算出各个频率值，然后根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率。

【例3】某射击手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：

（1）填写表中击中靶心的频率；

（2）这个射击手射击一次，击中靶心的概率约是多少？

【审题指导】利用公式依次计算出频率值，然后根据所求出的频率值估计该射击手击中靶心的概率。

【规范解答】（1）表中依次填入的数据为：0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.

（2）因为频率值在0.90附近摆动，所以这个射击手射击一次，击中靶心的概率约为0.90.

【变式训练】

某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10分，然后作了统计，下表是统计结果：

贫困地区：

发达地区：

（1）利用计算器计算出两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率；

（2）求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率；

（3）分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别。

【解题提示】利用公式依次计算出频率值，然后根据所求出的频率值估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率，并从儿童的生长发育和受教育情况两个方面分析贫富差距造成的人的智力的差别。

【解析】（1）

贫困地区：

发达地区：

（2）两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率分别为0.503和0.553.

（3）经济上的贫困导致该地区生活水平落后，儿童的健康和发育会受到一定的影响；另外经济落后也会使教育事业发展落后，使儿童的受教育程度和入学率较低，这些都是贫富差距带来人们智力差别的原因。

【备选例题】某批乒乓球产品质量检查结果如下表所示：

（1）计算表中乒乓球优等品的频率（结果保留到小数点后三位）；

（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？

【审题指导】利用公式依次计算出频率值，然后根据所求出的频率值估计任取一个乒乓球，质量检查为优等品的概率。

【规范解答】（1）根据公式依次计算出表中乒乓球为优等品频率一次为：0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.

（2）由（1）知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值虽然不同，但却都在常数0.95附近摆动，所以从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率约为0.95.

【变式备选】某种菜籽在相同的条件下发芽试验的结果如下表：

求其发芽的概率。

【解析】我们表中数据可计算出在不同菜籽粒数的情况下菜籽发芽的频率分别是：1.000,0.800,,0.900，0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903,0.905。随着菜籽粒数的增加，菜籽发芽的频率逐渐接近于0.9，且在它附近摆动，故此菜籽发芽的概率约为0.9。

【规范警示提升】

【典例】从甲、乙、丙、丁四人中选出两人，分别在星期六和星期天两天值班，写出该试验的所有可能的结果。

【审题指导】解此类题目，首先要明确题意是四人中选两人分别安排在两天值班，其次在写出试验结果时，要按照一定的顺序，把所有可能的结果都写出来，做到不重不漏。

【规范解答】结果：

甲乙；乙甲；甲丙；丙甲；甲丁；丁甲；乙丙；丙乙；乙丁；丁乙；丙丁；丁丙。共12种可能的结果。

【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：

【即时训练】从2、3、4、9四个数中任取两个作对数的底数和真数，共可得到多少不同的个对数值？

【解析】共有12个不同的对数式：

，

但故共可得到8个不同的对数值。

【基础演练达标】

1.下列事件，是不可能事件的是（ ）

A．农历正月十七日是二十四节气中的雨水，这天济南必有雨

B．函数在其定义域上是增函数

C．实数的绝对值不小于零

D．离开阳光，植物生长

【解析】选D。A,B都是随机事件，C是必然事件，只有D是一定不会发生的事件，是不可能事件。

2．

3.从装有3个红球2个绿球的袋子中任取两个小球，这两个小球都是绿色的。这一事件是 事件。（填“必然”、“不可能”或“随机”）

【解析】因为去到的两个小球可能都是红球，也可能是一个红球和一个绿球或两个都是绿球，故“两个小球都是绿色的”这一事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件。

【答案】随机

4.数学测试后，成绩统计显示全班50名同学中，由10名同学的分数在90分以上。若设“分数在90分以上”为事件A，则事件A发生的频率为 。

【解析】由公式得。

【答案】

5.掷一枚硬币两次，可能出现正面向上的结果有几种情况？

【解析】可能出现4种情况：

正、正；正、反；反、正；反、反。

【知能提升作业】 （30分钟，50分）

【命题报告】

一、选择题（共4小题，每小题4分，共16分）

1.下列事件中是随机事件的是（ ）

A．若a,b,c都是实数，则a(bc)=(ab)c

B．没有水和空气，人也可以生存下去

C．，

D．山无陵,江水为竭,冬雷震震,夏雨雪,天地合

【解析】选D。A是必然事件；B，D是不可能事件；当或时，才有成立，故是随机事件。

2. （ 2010福州高一检测）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（ ）

A．频率就是概率

B．频率是客观存在的，与试验次数无关

C．概率是随机的，在试验前不能确定

D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

【解析】选D。根据频率与概率的定义可知选D。

3.

11人A必修三3.1.1知能提升作业T2

4.从三名同学中选两名同学代表高二（18）班参加教师节的文艺演出，共有（ ）不同的选法

【解析】

A．3 B．4

C．6 D．8

【解析】选A。设这三名同学分别为甲、乙、丙，则有以下三种选法：甲乙，甲丙，乙丙。

二、填空题（共2小题，共8分）

5.

11人A必修三3.1.1知能提升作业T5

6.高二（18）班有50名同学，其中10名同学是走读生，40名寄宿生。现在选11名同学在周日参加学校的义务劳动，则下列事件：

（1）从50名同学中任选11人，全部都是寄宿生；

（2）从50名同学中任选11人，全部都是走读生；

（3）从50名同学中任选11人，不都是寄宿生；

（4）从50名同学中任选11人，至少有一人是寄宿生；

（5）从50名同学中任选11人，寄宿生的人数比走读生的人数多，

其中 是必然事件； 是不可能事件；

随机事件。

【解析】50名同学中，10名同学是走读生，选11名同学在周日参加学校的义务劳动，所以不可能全部都是走读生，至少有一人是寄宿生，所以（2）是不可能事件，（4）是必然事件，（1）（3）（5）则可能发生，也可能不发生，所以是随机事件。

【答案】（4）； （2）； （1）（3）（5）

二、 解答题（每题8分，共16分）

7.

【解题提示】利用公式依次计算出频率值，然后根据所求出的频率值估计该厂生产的电视机优等品的概率。

11北师必修三3.1.1知能提升作业T7

8.从分别写有A、B、C、的三张卡片中任取两张（有放回），共有哪些可能的结果？

【解析】可能的结果列表如下：

所以，共有9个不同的结果。

【误区警示】解此题时，首先要注意条件是有放回的抽取，即拿出一个，记下字母然后放回，再抽取。其次要注意列举时按照一定的次序。

9. （10分）【挑战能力】

11北师必修三3.1.1知能提升作业T9

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e7f6fabe376baf1ffc4fadc5.html