[必备精品]2019高中数学 课时分层作业11 等差数列的前n项和 新人教A版必修5

课时分层作业(十一)　等差数列的前n项和

(建议用时：40分钟)

[学业达标练]

一、选择题

1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于(　　)

A．49　　　　　　　　　 B．42

C．35 D．28

B　[2a6－a8＝a4＝6，S7＝(a1＋a7)＝7a4＝42.]

2．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为(　　)

【导学号：91432169】

A．4 B.

C．－4 D．－

A　[由题S5＝＝＝55.解得a3＝11.

∴P(3,11)，Q(4,15)，

∴k＝＝4.故选A.]

3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　)

A．765 B．665

C．763 D．663

B　[∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，

∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.]

4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于(　　)

【导学号：91432170】

A．1 B．－1

C．2 D.

A　[＝＝＝＝·＝1.]

5．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为(　　)

A．9 B．10

C．19 D．29

B　[钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．

∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.

当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少， 为10根．]

二、填空题

6．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝________.

【导学号：91432171】

　[a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①

S5＝5a1＋×5×(5－1)d＝10，②

由①②联立解得a1＝1，d＝.]

7．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．

27　[由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.]

8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.

【导学号：91432172】

　[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由6S5－5S3＝5，得3(a1＋3d)＝1，所以a4＝.]

三、解答题

9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.

(1)求数列的通项公式；

(2)若Sn＝242，求n.

[解]　(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.

则解得

∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.

(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，

得方程242＝12n＋×2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.

10．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，求a2＋a3－a4＋a5＋a6.

【导学号：91432173】

[解]　∵Sn＝n2－2n，

∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝n2－2n－[(n－1)2－2(n－1)]

＝n2－2n－(n－1)2＋2(n－1)

＝2n－3，

∴a2＋a3－a4＋a5＋a6

＝(a2＋a6)＋(a3＋a5)－a4

＝2a4＋2a4－a4＝3a4

＝3×(2×4－3)＝15.

[冲A挑战练]

1．如图2­3­1所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于(　　)

图2­3­1

A.　　　　　　 B.

C. D.

C　[由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3n－3，n≥2，

所以a2＋a3＋a4＋…＋an＝

＝.]

2．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a(　)＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为(　　)

【导学号：91432174】

A．15 B．24

C．18 D．28

C　[设括号内的数为n，则4a2＋a10＋a(n)＝24，

∴6a1＋(n＋12)d＝24.

又S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)为定值，

所以a1＋5d为定值．

所以＝5，n＝18.]

3．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.

－　[当n＝1时，S1＝a1＝－1，所以＝－1.因为an＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以－＝1，即－＝－1，所以是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝(－1)＋(n－1)·(－1)＝－n，所以Sn＝－]

4．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________.

【导学号：91432175】

10　[因为{an}是等差数列， 所以am－1＋am＋1＝2am，由am－1＋am＋1－a＝0，得2am－a＝0，由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2，又S2m－1＝38，即＝38，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10.]

5．设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N*，所有项an>0，且Sn＝a＋an－.

(1)证明：{an}是等差数列．

(2)求数列{an}的通项公式．

[解]　(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1－，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝(a＋2an－3)－(a＋2an－1－3)．

所以4an＝a－a＋2an－2an－1，

即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，

因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝2(n≥2)．所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．

(2)由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e62e49ee1fd9ad51f01dc281e53a580216fc50f1.html